Задача геометрически нелинейная с кручение

При использовании аппарата геометрически нелинейной теории упругости обнаруживается более точная картина деформации круглого цилиндра при чистом его кручении. Если торцы не закреплены против сближения, то первоначально прямолинейные продольные волокна в процессе кручения не испытывают растяжения. Но поскольку прямолинейная ось каждого из таких волокон превращается при кручении в равновеликую по длине винтовую кривую, концы последней должны располагаться в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, расстояние между которыми меньше расстояния между плоскостями торцов до деформации. При сопоставлении деформации двух первоначально прямолинейных продольных волокон, находящихся на разных расстояниях от оси цилиндра, обнаруживается, что винтовые кривые, в которые превращаются оси этих волокон, имеют различные кривизны — большую у более удаленного от оси цилиндра волокна. Вследствие этого перемещения в направлении параллельном оси цилиндра точек торцов, находящихся на разных расстояниях от оси цилиндра, различны и торцы, строго говоря, перестают быть плоскими. Если же сближению торцов воспрепятствовать, то при кручении цилиндра первоначально прямолинейные продольные волокна испытывают растяжение. Однако при малых углах закручивания перемещения точек торцов в направлении, параллельном оси цилиндра, оказываются величиной более высокого порядка малости, чем перемещения этих же точек в плоскостях торцов, и описанный эффект почти не проявляется, вследствие чего им пренебрегают. При больших углах закручивания этим эффектом пренебрегать нельзя и задача в таком случае становится геометрически нелинейной. [c.34]

Последовательность отыскания функций следующая. Интегрируя (16.14) находим и, V, ш, Все уравнения в (16.14) и соответствующие граничные условия являются самостоятельными — изгибы в двух главных плоскостях, кручение и осевая деформация в рассматриваемой (линейной) постановке задачи происходят независимо друг от друга. В случае нелинейной в геометрическом смысле постановки задачи этой са.мостоятельности не было бы. Далее, из (16.9), дифференцируя уже найденные функции, получаем у,х, х.у, X- и Ёг. После ЭТОГО из (16.12) определяем Мх, Му, М и Ы из (16.7), 5 находим Qx и из (16.11) ,в получаем ух и Уу и, наконец, из (16.9) в находим и Оу. [c.553]

Целый ряд нелинейных дифференциальных уравнений типа рассматриваемых в этой книге допускает непосредственную геометрическую интерпретацию. В частности, в таком виде можно переформулировать уравнения Гаусса, Петерсона—Кодацци н Риччи и, таким образом, через их репшния выразить компоненты метрического тензора, векторов кручения и тензоров вторых квадратичных форм двумерных минимальных поверхностей. В целом данная интерпретация связана с внутренней геометрией поверхностей в евклидовом, псевдоевклидовом или аффинном пространствах (минимальные поверхности и двумерные поверхности постоянной кривизны). Простейшие из этих уравнений (в частности, уравнения Лиувилля, синус-Гордона и Лунда — Редже) впервые возникли именно в задачах дифференциальной геометрии. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...