Ряды Разложение по функциям Бесселя

Видим, что (3-49) представляет собой разложение функции F r) в ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности [c.89]

Граничное условие (4-146) можно представить через разложение в ряд Фурье по функции Бесселя в виде [c.201]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Ранее при нахождении весовых и переходных функций кожухотрубчатого теплообменника, математическая модель которого учитывает тепловую емкость стенки, помимо точных аналитических выражений типа (4.2.30) и (4.2.32) были получены также разложения этих функций в ряды по функциям Бесселя. Аналогичные разложения в ряды нетрудно получить и для функций Т[ [х, t) и [c.154]

Для функций Т х, t) и f g f) мы получили кроме выражений (4.2.30) и (4.2.32) также разложения в ряды по функциям Бесселя (4.2.33), (4.2.34). Производя по формулам (4.2.37), (4.2,38) замену аргументов л и i в этих разложениях, можно получить выражения для функций hu t) и h it), аналогичные (4.2.43) и (4.2.44), в которые вместо ф1( ) и щ 1 ) будут входить ряды по функции Бесселя. Чтобы не загромождать изложение, эти представления для функций h t) и h 2 t) выписывать не будем. Исследуем общий вид функций /гц(0 и h i t). Поскольку функции Ф1( ) и fpa( 0 имеют запаздывание на величину l/w , то при [c.160]

Формулы (4.2.65) и (4.2.67) дают выражения для функций Tjg (х, /) и / д з(х, /) с помощью функции Бесселя /о(/) нулевого порядка. Кроме этих выражений можно получить для з(х, t) и Т зд х, /) разложения в ряды по функциям Бесселя In t) произвольного целого порядка. Делается это точно так же, как и ранее при выводе разложений (4.2.33), (4.2.34) для случая [c.170]

Можно получить также для hn(t) и h 2(t) выражения в виде разложений в ряды по функциям Бесселя. Для этого нужно вместо соотношений (4.2.65), (4.2.67) использовать соотношения (4.2.68), (4.2.69). [c.172]

Исследование возможности разложения произвольной функции в ряд по функциям Бесселя можно найти в [24, 26—30]. [c.194]

В интервале 30° <С ш 90°, в котором не удается получить таких простых аналитических зависимостей, полуширину фокальной полосы можно определить, вычислив потенциал методом перевала и разложением в ряд по функциям Бесселя. По полученным таким способом данным построена остальная часть кривой куо на рис. 17. [c.171]

Для другого граничного условия ди/дЫ — О решение аналогично, вид его остается тем же— (6.10), лишь значения коэффициентов становятся другими. Частота к входит только в радиальные функции, поэтому, согласно замечанию в п. 6.8, тот же математический аппарат позволяет решить акустическую задачу и о шаре с конечными значениями рис. При решении этой задачи внешнее поле выражается через те же функции (6.7), а внутреннее поле представляется в виде ряда по функциям Бесселя с полуцелым индексом, которые, единственные из цилиндрических функций, не имеют особенностей при р = О, Полные поля и их производные сшиваются при всех углах, а так как угловые функции образуют полную систему и ортогональны, то в обоих рядах для внешнего и внутреннего полей коэффициенты разложения почленно равны между собой. В результате получаем формулы, аналогичные формулам для коэффициентов разложения полей дифракции на диэлектрическом цилиндре. [c.65]

В общем случае будем считать функцию (г) такой, что она допускает разложение в ряды по функциям Бесселя или представление в виде интеграла Фурье-Бесселя. В этом случае решение рассматриваемой задачи получится в виде комбинации частных решений, найденных [c.653]

Соотношение (13) представляет собой разложение функции в ряд по функциям Бесселя. Для определения постоянных С воспользуемся тем же приемом, что и в предыдущей задаче, но предварительно докажем, что система функций У1с J iax), У х Jo(bx) является ортогональной. Введем обозначения [c.119]

Здесь, как и прежде, е — малое возмущение (в конце вычислений полагают, что е = 1). Резонансные гармоники возмущения можно выявить с помощью разложения в ряд по функциям Бесселя [c.100]

Задача о дифракции неустановившихся гравитационных волн была впервые рассмотрена Л. А. Бойко и решена им путем разложения искомого решения в ряды по функциям Бесселя [2]. [c.570]

Рассмотрим сначала задачу I предыдущего параграфа, в которой температура поверхности постоянна. Ранее, в б гл. VII, уже отмечалось, что решением (2.7) предыдущего параграфа неудобно пользоваться при малых значениях v.tja , например при значениях, меньших 0,02. Аналогичное затруднение встречалось и в задачах для пластины и шара. В этих случаях другие решения можно найти, как и в 5 гл. XII, разлагая v в ряд по экспоненциальным функциям с отрицательным показателем. В задачах для цилиндра метод решения еще сложнее он заключается в использовании асимптотического разложения функций Бесселя, вводимого с тем, чтобы получить формулу с показательными функциями, коэффициенты которых служат членами рядов по Ijq [1,7]. [c.325]

Подстановка его в разложение (е) немедленно приводит к результату (134). Для прямоугольных пластинок, у которых оперты лишь два противоположных края, а условия по двум другим краям произвольны, функции влияния можно получить подобным же образом. Однако в этом случае возникает необходимость вычислить предварительно значения А. из трансцендентного уравнения частот. Следующим объектом, для которого функцию влияния можно получить в виде ряда, является круглая пластинка, для которой формы колебаний, поддающиеся представлению в функциях Бесселя, хорошо известны. [c.373]

Так как определенные интегралы, содержащие функции Бесселя и Хевисайда, вычислены ранее (см. п. 6.1.3), то параметры разложения нагрузки (7.55) в ряд по собственным функциям [c.386]

Если радиус цилиндра а достаточно мал, чтобы А а и % а были малы по сравнению с единицей [что, согласно (3.47) и (3.48), эквивалентно тому, что длина волны колебаний велика по сравнению с радиусом цилиндра], то, пренебрегая в разложении функций Бесселя в степенные ряды степенями А а и у/а выше первой, получим [c.61]

Используя разложения для эллиптического движения и функции Бесселя (см. ч. II, 3.01), можно представить выражение (Я1/А) в виде двойного ряда Фурье по кратным средних аномалий М и Мг- [c.407]

Введение функций Бесселя. Хотя соотношения, полученные в предыдущем разделе, являются весьма полезными, более общее значение имеет разложение функций в периодические ряды по средней аномалии. Первой задачей, которую необходимо рассмотреть, является решение уравнения Кеплера относительно и в виде ряда Фурье по средней аномалии. [c.62]

Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений в этом случае они называются возмущениями по координатам. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в 1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в 1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит опреде ления асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда в 1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в 1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в 1.7. [c.9]

Якоби [1849] получил разложения в виде нормальных решений для функций Бесселя первого порядка при больших значениях аргумента. Аналогичные результаты для уравнения Эйри получил Стокс [1857]. Хорн [1903] дал обоснование асимптотическим решениям в виде произведения экспонент и рядов по убывающим степеням х. [c.333]

Здесь взят частный случай разложения по функциям Бесселя первого рода, так как функции Бесселя второго рода для х = 0 обращаются в бесконечность, что не отвечает существу задачи. Таким образом из сказан юго становится очевидным, что решение уравнения (94) следует искать в форл е двойного ряда типа [c.104]

Как и при нахождении весовой функции g2 t), для hnit) можно вместо выражения (4.1.61) получить разложение в ряд по функциям Бесселя произвольного порядка п. Для этого при переходе к оригиналу в выражении (4.1.61) воспользуемся разложением (4.1.56) функции 2"- [t(p)] (при Ро = 0, a RiR l/w, Ь — R2 + Яз). Тогда для /in (О получим [c.136]

В этом случае мы предполагаем, что функцию / (г) можно разложить в ряд (4.1), где а теперь являются корнями (4.3). Разложение в такой ряд (ряд Дини) и соответствующие разложения в ряд по функциям Бесселя п-то порядка рассматриваются в книге Ватсона [24]. [c.194]

С помощью разложения в ряды можно также исследовать, как изменяется концентрация энергии в зависимости от дефокусировки. Можно, например, вычислить полную энергию, содержащуюся внутри круга данного радиуса Z, как это сделал Волф (Е, Wolf, 1951), с помощью разложения в ряд по функциям Бесселя на фиг. 77 представ- [c.178]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

По составленной на основе (1)—(4) ФОРТРАН-программе ОС ЕС ЭВМ были проведены расчеты напряженно-деформированного состояния и условий отрыва от основания упругого изогнутого диска. Модифицированные функции Бесселя рассчитывались по специальной программе, позволяющей при больших значениях аргумента вычислять только их отношения. Функции Струве, входящие в выражения для коэффициентов разложения степенных функций в ряд Фурье — Бесселя, считались путем представления их в виде ряда по функциям БессЪля с переменным значком. [c.23]

Разложение функции Бесселя, рассматриваемой как функция индекса, в ряд по главным частям.— Вестн. МГУ, серия физ.-матем. и естеств. наук, 1951, 8, вып. 5, 19—20. [c.808]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...