Частота струн - Уравнение

Второй конец укреплен на рычаге 3, имеющем измерительный наконечник 4. При отсутствии измеряемой детали 5 начальное натяжение струны создается за счет предварительного прогиба пружины. В этом случае начальная частота струны определяется уравнением (II.7), которое применительно к величине упругой деформации струны, примет вид [c.317]

Разность частот струн, обусловленная действием входного перемещения А, определяется с помощью уравнений (11.13) и (11.14) [c.319]

Уравнение (65) для мод было получено без рассмотрения граничных условий. (На рис. 2.11 нет никаких границ). Наиболее общее решение этого уравнения имеет вид (71), где BIA и k определяются из граничных условий. Если подставить решение (71) в уравнение (65), то мы найдем дисперсионное соотношение (70), не зависящее от граничных условий, т. е. от величин А, В и k. Сделайте это сами (задача 2.19). Для наших граничных условий (струна закреплена в точках г=0 и z=L) моды определяются уравнением (72), с коэффициентами из уравнений (73), а частоты следуют из уравнения (70). Заметим, что моды, следующие из уравнений (73), те же, что и в случае непрерывной струны. Разница лишь в том, что у непрерывной струны N=oo и для нее нельзя указать самой высокой моды. Заметим также, что у струны с грузами сегменты между грузами являются отрезками прямой, а не гладкими синусоидальными функциями. На рис. 2.12 показан случай, когда N=5. [c.82]

Уменьшение длины рабочей части струны при сохранении требуемой частоты колебаний достигается в основном аа счет изменения диаметра струнной проволоки. При этом с понижением частоты на октаву измерение длины струны определяется уравнением [см. формулу (3.36)] [c.117]

При выводе уравнений (5.6) и (5.7) следует выполнить в (5.5) интегрирование по частям в двух последних членах и учесть граничные условия. Уравнение (5.6) совпадает с уравнением (4.5) и описывает продольные колебания в струне, а уравнение (5.7) -соответственно. поперечные колебания струны. Набор собственных частот и собственных форм поперечных колебаний определяется согласно методу Фурье (см. 8.4) и равен [c.245]

Определить частоты собственных колебаний струны (длины /). Решение, Уравнение движения струны [c.141]

Уравнение волны, распространяющейся по струне со скоростью v и частотой V вдоль оси X (рис. 52), имеет вид [c.290]

Р = — ( Т/к1) (к1/2) и кривые F = tg(/ /2). Точки их пересечения дают значения к, удовлетворяющие уравнению (10.2.18). При малых к это уравнение определяет собственные частоты нечетных обертонов ненагруженной струны к//2 = (2дг + 1) я/2, т. е. [c.331]

Отсюда видно, что при 2кТ tg (к//2) /г смещение струны Уо(() z(i). Тогда в уравнении для генератора (10.4.2) можно пренебречь /о по сравнению с г. В данном случае струна практически не оказывает влияния на генератор. При этом генератор работает на частоте [c.343]

Величину к можно выразить через параметры струны и пока еще неизвестную частоту системы ю. Для этого, предполагая, что процесс носит гармонический характер, подставим ро(0 = = Д ехр [/((о/ +ф)] в уравнение колебаний струны (10.4.1). В результате получается следующее соотношение [c.343]

Это уравнение для данной частоты со,. совпадает с уравнением частот для автоколебательной системы, нагруженной дополнительным контуром с парциальной частотой <о (см. (7.4.7)). При связи, большей критической, т. е. при сса > 4fi (0 , вблизи частоты со имеет место явление затягивания. Струна обладает бесконечным числом собственных частот u j, и явление затягивания будет возникать вблизи любой из частот со (s = l, 2,. ..). Зависимость частоты рассматриваемой сложной системы от настройки генератора ur имеет вид, изображенный на рис. 10.19. Так как величина критической связи (см. 7.4) зависит от частоты, то при достаточно высоких частотах связь станет меньше критической и области затягивания исчезнут. [c.345]

В случае свободных гармонических колебаний струны фиксированной частоты ш амплитуда и(х) будет определяться из уравнения вида (170) при /(л ) = О, т. е. из однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. [c.114]

Отыскивая решение (6.57) в виде (/) = А ехр (iQt) и устремляя t придем к уравнению, определяющему частоты колебаний движущейся по струне массы при t оо [c.267]

Уравнения для двух крайних атомов, очевидно, будут отличаться от уравнений для внутренних атомов из-за отсутствия соседа с одной стороны. Это может осложнить процесс нахождения решений уравнения (21.4), однако мы можем о йти трудность, употребляя метод, впервые использованный Борном и Карманом >). Чтобы уравнения движения крайних атомов были те же, что и для внутренних атомов, мы предположим, что с каждого конца существуют добавочные атомы. Это предположение не может существенно изменить функцию распределения частот, если только число атомов достаточно велико. Кроме того, мы предположим, что фаза колебаний первого атома совпадает с фазой гипотетического N- - 1-го атома. В качестве альтернативы мы можем предположить, что крайние атомы закреплены. Однако периодические> граничные условия более удобны, так как онн позволяют без введения бесконечной струны находить элементарные решения в виде бегущих волн и, кроме того, оперировать с определённым числом степеней свободы. [c.133]

Скорость волн в струне. Уравнение (22) связывает между собой длину волны и частоту для поперечных стоячих волн в непрерывной однородной струне. Постоянная (То/ро) " имеет размерность скорости, поскольку In имеет размерность [длина/время]. Скорость uo=(To/po) 2 носит название фазовой скорости бегущих волн для этой системы. (Мы будем изучать бегущие волны в главе 4.) При изучении стоячих волн мы не нуждаемся в понятии фазовой скорости, так как стоячие волны никуда не бегут . Они стоят и колеблются , как большой размазанный гармонический осциллятор. В этой главе мы не будем называть отношение (То/ро) " скоростью, так как хотим, чтобы читатель привык к представлению о стоячих волнах. [c.64]

Это уравнение переходит в классическое волновое уравнение, только если Го(2) и ро(2) превращаются в константы, не зависящие от 2. В нормальной моде неоднородной струны, так же как и в моде однородной струны, каждая часть струны совершает гармоническое колебательное движение с одинаковой частотой и фазовой константой [c.77]

Моды неоднородной струны образуют полный набор функций. Приведем без доказательства свойства нормальных мод неоднородной струны с закрепленными в точках 2=0 яг=Ь концами. Первая мода соответствует решению А (2) уравнения (59), которое обращается в нуль только в точках 2=0 и 2=L (оно похоже на одну полуволну искаженной синусоиды , у которой нет узлов между нулем и L). Этой моде соответствует частота oi. Следующая мода имеет один узел между 2=0 и z=L и, таким образом, представляет полную длину волны искаженной синусоиды. Ей отвечает частота 2 т-я мода имеет т—1 узлов между 2=0 и z=L и соответствует т полуволнам искаженной синусоиды. Существует бесконечное число мод (для непрерывной струны). Функции Ах г), Ла г), А (г),..., которые определяют пространственную часть моды, образуют полный набор для любой подходящей функции / (2), равной нулю на концах. Подходящая функция f (г) должна быть такой, какую могут образовать либо струна, либо пружина без нарушения наших предпо- [c.77]

Таким образом, фазовая скорость поперечных бегущих волн для непрерывной струны постоянна и не зависит от частоты. Уравнение (26) аналогично результату, полученному в главе 2 для отношения со/й в случае стоячих волн в непрерывной струне [уравнение (2.22), п.2.21. [c.157]

Также удовлетворяет уравнению (133), что легко показать. Если среда недиспергирующая, то все гармонические стоячие волны удовлетворяют уравнению (134). Это следует из уравнения (135), если = у для всех частот. (Для стоячих волн Уф означает со/ , Хотя понятие фазовой скорости не будет естественным параметром Для описания стоячих волн.) Это также следует из того факта, что стоячая волна может быть представлена суперпозицией бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Напомним, что впервые с классическим волновым уравнением мы встретились в п. 2.2 при изучении стоячих волн в непрерывной струне. [c.283]

Если в дисперсионном уравнении между шик зависимость линейная, т. е. справедливо (4.30), то говорят, что в данном случае среда без дисперсии. В этом случае фазовая скорость, определяемая как ш/к, будет постоянной и не зависящей от частоты (рис. 4.12 а). В частности, при ка 1 цепочка атомов-шариков в одномерной решетке ведет себя как упругая струна, описываемая волновым уравнением. В этом случае речь идет о распространении упругих волн в сплошной среде со скоростью V, равной скорости звука (отсюда название акустическая ветвь для нижней кривой рис. 4.5). Из уравнения (4.29) при и), немного больших Шо, следует, что дисперсионная кривая имеет вид параболы [c.72]

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией, в частности в цепочке маятников с собственными частотами расположенных на расстояниях а С А (дисперсионная кривая — сплошная кривая на рис. 4.12 6). Мы уже говорили, что при о о —О дисперсия исчезает длина нитей маятников так велика, что у них нет собственного периода колебаний, цепочка превращается в данном случае в упругую струну. Дисперсия исчезла, когда исчез собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый маятник имеет собственный период Т = 27г/ о среда из маятников не будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической частоте все маятники будут колебаться синфазно волн нет, существуют только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (4.21) и (4.23), в которых соотношение между а и Л может быть любым, то нетрудно видеть, что дисперсия в системе сохраняется даже при Шо 0. Действительно, в этом случае мы приходим к цепочке из шариков, связанных пружинками. В этой среде дисперсия существенна, пока а не мало по сравнению с Л. Таким образом, в решетке из шариков дисперсия определяется собственным пространственным масштабом — периодом решетки . С этим же связана дисперсия в решетке из равноудаленных частиц разной массы (см. (4.16)). Что касается цепочки из связанных маятников, когда Шо ф О и расстояние а сравнимо с Л, то дисперсия определяется и временным, и пространственным масштабами. Аналогично характеризуется дисперсия и для цепочки из магнитных стрелок, где наряду с периодом а фигурирует частота шн, связанная с существованием внешнего магнитного поля (см. (4.26)). Таким образом, можно сказать, что существование дисперсии в среде связано с наличием в ней собственных, независимых от параметров волны пространственных или временных масштабов. [c.73]

Если струна закреплена в двух точках, абсциссы которых х и лгд находятся в отношении г к 1, то уравнение частот имеет вид = 1 или [c.245]

В соответствии с уравнением (4.70) собственная круговая частота системы молоток — струна для среднего регистра [c.137]

Учитывая, что р1 — Р АР, найдем в соответствии с уравнением (3.10) изменение частоты при изменении усилия натяжения струны [c.362]

Конечно, мы могли бы подойти к задаче о струне таким образом рассмотреть колебания N равномерно размещённых масс на невесомой нити и затем положить N стремящимся к бесконечности. В таком случае мы имели бы бесконечное число уравнений движения, и решение их позволило бы определить положение каждой из бесконечного числа точек струны в зависимости от времени. Решение таких уравнений может быть получено. Оно показывает, что у струны существует бесконечное число собственных (допустимых) частот, что находится в соответствии с результатами предшествующей главы. Но это очень сложный путь решения задачи, которая сама по себе совершенно проста. Поэтому необходима новая точка зрения, новый метод решения. [c.90]

Уравнение колебаний и выражение для допустимых частот в форме (9.7) выражает исключительно важное свойство однородной, гибкой струны, натянутой между двумя жёсткими опорами. Оно устанавливает, что частоты всех обертонов подобной струны составляют целое кратное от основной частоты. Обертоны, имеющие такое простое соотношение с основным тоном, называются гармониками. Основная частота является первой гармоникой, удвоенная основная частота = 2vi называется второй гармоникой, частота vg = 3vi — третьей гармоникой и т. д. ). [c.104]

Если мы интересуемся движением при установившемся режиме, мы считаем, что все переходные процессы закончились, и в результате осталась некоторая форма струны, которая периодически пульсирует с частотой o)/2it. Другими словами, мы полагаем у х, t) =Y х)е . Это позволяет написать для У уравнение [c.118]

Полезно, пожалуй, дать здесь один пример применения этого уравнения. Когда плоская звуковая волна с частотой (о/27г падает на струну, на неё действует сила, которая имеет одно и то же значение фазы вдоль всей струны, если направление распространения волны перпендикулярно к струне фаза меняется от точки к точке, если фронт волны составляет некоторый, не равный нулю, угол с направлением струны. В случае косого падения сила на единицу длины в точке см от одного конца струны может быть записана в общем виде [c.120]

Нагрузкой струны является весь резонатор. Частотное уравнение (10.2.17) решаем снова графически (рис. 10.10). Правая его часть обращается в бесконечность на частоте резонатора ОЗрез = При 0) [c.333]

Исследование уравнений типа (6,46) удобно проводить графически с помощью дисперсионных поверхностей. На рис. 6.6 в качестве примера приведена часть дисперсионной поверхности для квадратной решетки из одинаковых струн. По горизонтальным осям отложены безразмерные комноненты постоянной распространения i>=ifxi i и 2 = Ы2 2, а по вертикальной оси — безразмерная частота а — kil — k2h- При больших значениях переменных 1, 2, о изображенная часть поверхности повторяется с периодом 2п, [c.188]

Еслиуои / —действительные числа, ТО у ( , t) в любое время t и на произвольном расстоянии от начала можно изобразить суммарным вектором двух векторов вынужденных колебаний с амплитудами г/о и г/ в начале и конце струны. Величины этих векторов изменяются гармонически с угловой частотой (3 в зависимости от расстояния Е- Их фаза — а или же [+ а (Z — Е)1 изменяется линейно с расстоянием g и частотой а. Оба вектора вращаются с угловой скоростью ю. Проекции векторов г/о, yi, заданные уравнением (4), например на действительную плоскость, определенную осью Е и действительной осью координат, равны сумме обоих векторов, заданных уравнением (8). В результате получаем действительные корни уравнения (3). Из уравнения (8) видно, что пока вынужденные колебания находятся только на одном конце струны, появляются на струне узлы на расстояниях удовлетворяющие условию РЕ = хп (и = 0,1 для уа Ф О, у 1=1=0) или же условию р (Z — Е) = у-я (х = О, 1, [c.171]

Это уравнение было использовано для определения влияния жесткости фортепьянных струн на последовательность собственных частот. Однако вопрос осложняется неопределенностью характера граничных условий струну, опирающуюся на подставку, нельзя считать в точности ни подпертой, ни закрепленной в точке onopjj. Для иллюстрации существа дела будет, пожалуй, достаточно рассмотреть систему волн [c.173]

Уравнение (65) выглядит устрашающе . Оно определяет зависимость формы моды от угловой частоты. Попытаемся угадать его решение, опираясь на известное нам решение для мод непрерывной струны с закрепленными в точках z=0 и z=L концами. Для этой задачи мы нашли, что моды имеют вид [c.81]

Дисперсионное соотношение для струны рояля. Мы нашли, что моды реальной струны не удовлетворяют дисперсионному соотношению (75). Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля, например обертоны С256, 0384 и С512 основного тона С128, не будут выдерживаться точно. Действительно, это так. Из уравнения (74) или из графика рис. 2.13 видно, что возрастание волнового числа й вызывает не прямо пропорциональные, а несколько меньшие увеличения частоты. Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля будут чуть-чуть ниже предсказываемых теорией для непрерывной струны частота второй гармоники будет Уа< 256, третьей Уз< 384 и т. д. На самом деле это не так Обертоны струны рояля не будут ниже, они будут выше (т. е. будут диезными) обертонов, следуюш,их из уравнения (75). Объяснение в том, что ни модель совершенно непрерывной и совершенно упругой струны, ни модель струны с грузами не дают правильного описания колебаний струны рояля. В частности, модель струны с грузами хуже модели непрерывной струны, так как она дает поправку, знак которой неверен. [c.84]

При определенных условиях вынужденное плоское движение нелинейного упругого стержня (балки, полоски) описываемое уравнением (3.3.5), становится неустойчивым и возникают трехмерные движения. Похожее явление известно и для плоского движения натянутой струны [133]. В Корнеллском университете мы провели несколько экспериментов с толщиномерами — очень тонкими, гибкими, упругими стальными стержнями прямоугольного сечения (например, 0,25 мм X 10 мм X 20 см) (рис. 3.27). Их слабое боковое движение (по отношению к неизогнутому стержню) почти невозможно без продольного изгиба или перекоса локальных поперечных сечений. Однако при сильном изгибе в разрешенном направлении становятся возможными и боковые смещения, сопровождающиеся перекосом поперечных сечений. Мы показали, что плоские колебания стержня в разрешенном направлении на частоте, близкой к [c.108]

Струн поперечные колебания 74, 75, 77, 134, 193 бесконечно большая нагрузка 134 возбуждение импульсом 211 возбуждение щипком 210 вынужденные колебания 215 графический метод 250, 252 жесткость 229, 262 закрепленные концы 202 Зеебека наблюдения 206 значения Т я V 201 конечная нагрузка 227 меняющаяся линейная плотность 138, 237, 257 нагрузка в виде двух масс 186 нагрузка, сосредоточенная в отдельных точках 195 начальные условия 210 несовершенная гибкость 262 обще-дифференииальное уравнение 200 отражение в закрепленной точке 251 отражение в точке соединения 256 периодическая сила, приложенная в одной точке 218 податливость концов 222 скрипичная струна 230 собственные частоты 206, соединенные струны 256, 262 узлы при приложении силы 256, фор1епиапная сгруна 212 [c.502]

Рассмотрим отдельно случай свободного конца струны (т = 0). При этом а = О, и аргумент функции Nq на одном из концов струны обращается в бесконечность. Чтобы избежать этого, необходимо потребовать С 2 = О, тогда вместо приведенной выше системы уравнений получаем единственное соотношение iJo 2k) = О, откуда следует, что к = где 1Утп — п-й корень функции Бесселя т-го порядка. Пз справочника можно найти = 2.405, i 02 = 5.520, щз = 8.654. Тогда первые три собственные частоты есть toi = 1.27 , с 2 = 2.76 , 3 = 4.337 [c.140]

При заданном а это уравнение возможно решить только численно. Па-нример, при а = 1 (масса струны равна массе шарика), оно дает следующие первые корни для параметра к = 1.056, К2 = 4.082, кз = 7.738. Следовательно, первые собственные частоты равны 1.05бУ , [c.140]

Процесс колебания струны в данном случае затухающий. Чем больще постоянная времени колебаний, тем длительнее процесс затухания колебаний струны. Круговые частоты компонентов затухающего колебания опишутся уравнением [c.89]

Рещение этого уравнения позволяет оценить влияние жесткости струны на негармоничность обертонов. Частота колебаний струны может быть получена из уравнения (3.19) [c.90]

При расчете акустического аппарата фортепиано первоначально определяется исходя из заданных габаритов мензура инструмента, т. е. параметры струн, обеспечивающие требуемые частоты, некоторые скорости распространения волн по струнам и их волновые сопротивления. Зная параметры струн, можно подобрать оптимальные параметры молотков, время касания 1М0Л0ТК0М струны при ударе. В некоторых пределах молено варьировать величины о и tк, подбирая, например, массы и упругости молотков и корректируя места ударов молотков по струнам (рис. 4.13). График построен по зависимости Д = р (] 4-+ е ко)/(2й ) от величины 21Гс/р в соответствии с уравнением (4.68). [c.136]

Уравнения (4 93) и (4 94) пока ывают, что скорость движения молотка включает в себя колебательную составляющую с круговой частотой со. Если общая гибкость элементов клавишного механизма будет достаточно велика, колебательная составляющая может существенно сказываться на динамической характеристике клавишного механизма [7] (рис. 4.24). При этом нарастание прикладываемого к клавише усилия может привести к снижению скорости молотка в момент, предшествующий удару по струне. Поэтому при проектировании клавишных механизмов частоту собственных колебаний механизма необходимо делать либо слишком большой, чтобы t > I/ o, либо слишком малой, чтобы os (at 1, sin 0. Один из путей уменьшения колебательной составляющей, практически реализуемой в современных механизмах, — снижение гибкости элементов механизма, массы клавиши и других подвижных элементов по отношению к массе молотка. Если эти условия выполняются достаточно хорошо, уравнения (4.93), (4.94), (4.95) и (4.96) примут следующий вид [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...