Уравнение струн

Мы не будем также останавливаться на математических работах Даламбера, лишь отметим, что его труды в этой области часто были связаны с его исследованиями по механике. Так, например, изучение теории функций комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой (таково, например, уравнение струны ). [c.194]

Важнейшим уравнением гиперболического типа является волновое уравнение, или уравнение струны, [c.108]

Кроме этих двумерных уравнений, в качестве естественного обобщения уравнения струны в исследованиях Лагранжа по теории звука было выведено трехмерное уравнение вида [c.271]

Вывод уравнения струны. Наиболее простым примером одномерной системы с распределенными параметрами является гибкая струна, т. е. нить, сильно натянутая между неподвижными точками. Натяжение предполагается настолько большим, что силы, вызывающие изгиб струны, значительно меньше сил растяжения. Сила натяжения струны может быть вычислена на основании закона Гука для одно- [c.93]

Для свободных колебаний [f х, t) = 0 при г = 0] дифференциальное уравнение струны имеет вид волнового уравнения [c.95]

К дифференциальному уравнению струны приводятся многие задачи математической физики. В таких случаях можно пользоваться методом аналогий —зная решение одной задачи, можно записать решение задачи, относяш.ейся к другой области, но соответствующей одним и тем же дифференциальным уравнениям, аналогичным граничным и начальным условиям. К подобному типу относят задачи [c.96]

Таким образом, частные решения волнового уравнения струны с закрепленными концами имеют вид [c.99]

Общим решением волнового уравнения струны является сумма всех его част-ных решений (IV. 1.27) [c.99]

Решение волнового уравнения струны, удовлетворяющее начальному условию (IV. 1.42), имеет вид [c.106]

Уравнение (IV.3.7) аналогично волновому уравнению струны. Поэтому методы его решения могут быть применимы к данному случаю, а если окажется, что и граничные условия аналогичны граничным условиям задачи о колебаниях струны, то решение соответствующей задачи о колебаниях струны может быть полностью использовано как решение задачи о колебаниях стержня. [c.112]

Плоские волны. Когда потенциал скорости—функция одной координаты X и времени t, то уравнение (VI.2.1) совпадает с волновым уравнением струны [c.162]

Мы видим, что это уравнение совпадает с уравнением струны, при постоянных р и Л. Это значит, что решения уравнения струны действительно являются экстремалями нашего функционала действия. [c.36]

Волновое уравнение. Струной называют в акустике тонкую гибкую нить, в которой с помощью внешних сил создано большое натяжение. Под это определение подходят не только струны музыкальных инструментов, но также, например, натянутый шнур, трос или резиновый жгут, показанный на рис. 166. При , [c.217]

Предварительные замечания. Линейное волновое уравнение всегда является в теории упругих волн приближенным уравнением закон Гука ( 1)—приближенный закон при выводе волнового уравнения для газов и жидкостей ( 4) мы заменяли истинное нелинейное соотношение между давлением и деформацией линейным при выводе волнового уравнения струн мы заменяли истинное нелинейное соотношение между силой и смещением линейным соотношением. Но в действительности в акустике наблюдаются при не очень малых деформациях нелинейные явления. Особенно большое не только теоретическое, но и практическое значение имеют нелинейные явления в газах. Их рассмотрением мы здесь ограничимся, [c.230]

Уравнение распространения волн вдоль упругой струны и уравнение распространения продольных волн в упругой среде имеют аналогичные математические формы. На рис. 5 изображена часть поперечной волны на упругой струне с постоянной линейной [c.72]

Уравнение (2-1) выражает амплитуду волны как функцию расстояния X и времени 9. При условии, что внешняя сила не действует на струну, отдельная волна будет перемещаться, не изменяя формы вдоль по струне с постоянной скоростью. [c.72]

Выше суммарная вертикальная сила, действующая на струну, была выражена уравнением [c.72]

Распространение продольных волн выражается аналогичным уравнением, если функцию рассматривать как плотность среды. В этом случае модуль упругости Е заменяет натяжение струны т, масса единицы объема заменяет массу единицы длины р и скорость распространения волны будет иметь вид [c.73]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны. [c.377]

Чтобы найти уравнение движения, нужно, следуя принципу Д Аламбера, эту силу приравнять силе инерции элемента струны, [c.564]

Это и есть уравнение плоских поперечных колебаний натянутой струны. [c.565]

Характер колебаний, которые струна совершает в действительности, зависит от начальных условии. Например, струна будет колебаться только в основном тоне, если при t = О она имела форму первой кривой (п = 1) и все ее точки были в покое. Если же начальная форма струны иная, то кроме основного тона появляются и обертоны, так как колебания струны представляют совокупность налагающихся друг на друга отдельных колебаний. Уравнение движения примет в этом случае такой вид [c.567]

Определить частоты собственных колебаний струны (длины /). Решение, Уравнение движения струны [c.141]

Это обычное волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны. Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей продольной монохроматической волны [c.142]

Уравнение (7.221) эквивалентно уравнению колебаний системы с одной степенью свободы, например приведенной на рис. 7.24. Если не учитывать силу веса, то уравнение малых колебаний массы т, закрепленной на струне (рис. 7.24), имеет следующий вид [c.220]

Суперпозиция в классической и квантовой физике. Суперпозиция часто встречается в классической физике это хорошо известная суперпозиция классических волн. С математической точки зрения классическая суперпозиция и суперпозиция в квантовой физике аналогичны. Именно это обстоятельство немало способствовало развитию квантовой теории. В то же время оно затрудняло осмысливание физического содержания получаемых в теории результатов, так как порождало соблазн проводить неоправданные аналогии с классическими волнами. Как писал Дирак, допущение суперпозиционных связей между состояниями приводит к математической теории, в которой уравнения движения, определяюш,ие состояния, линейны по отношению к неизвестным. Ввиду этого многие пытались установить аналогии с системами классической механики, такими, как колеблющиеся струны или мембраны, которые подчиняются линейным уравнениям, а следовательно, и принципу суперпозиции. Важно помнить, однако, что суперпозиция в квантовой физике существенным образом отличается от суперпозиции, встречающейся в любой классической теории. Это [c.108]

Это и есть уравнение продольных колебаний струны. [c.27]

Рис, 111.7. К выводу уравнения Бернулли для элементарной струн вязкой жидкости [c.71]

Уравнение волны, распространяющейся по струне со скоростью v и частотой V вдоль оси X (рис. 52), имеет вид [c.290]

Состояние струны при малых продольных колебаниях в ней определяется заданием смещения ее точек F х, t) (и соответствующей скорости Т (х, /)), а изменение состояния — волновым уравнением [c.251]

Если струна -зажата на неподвижных концах х = 0 и х = а, то решение волнового уравнения (14.90) при граничных условиях Ч "(О, t) =4 (а, /) =0 имеет вид [c.251]

В акустическом приближении уравнения газовой динамики сводятся к одно-му уравнению гиперболического типа второго порядка (уравнению струны, (4.(1) гл. I) для возмущения любого из газодинамических параметров. Решение этого уравнения представляет собт дне волнг.1 с неизменны.м про([ илем, которые распространяются в противоположные стороны со скоростью звука. [c.156]

Поперечные колебания струны. Выведем дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны. Для этого рассмотрим отклонение струны, закрепленной в точках Л и Б (рис. 541, а). Первоначальное ее натяжение пусть будет Р. Будем считать отклонение незначительным, а изменением усилия натяжения Р при этом пренебрежем, т. е. Р = onst. Длина струны I. [c.564]

Применяя к рассматриваемому случаю истечения жидкости уравнение Бернулли для потока, мы должны помнить, что последнее справедливо для сечений с гидростатическим распределением давлений. В качестве таких сечений можно выбрать сечение на свободной поверхности лпщкости в сосуде и сжатое сечение струн. [Во втором сечении давления не подчиняются закону 2- - =со1151, так как/7=сопз1. [c.97]

В. М. Коновалов исследовал водяные струн, вытекающие из сопла в пространство, замятое водой, находящейся в неподвижном состоянии. Считая, что масса струп изменяется по длине ее за счет подсасывания в нее жидкости из окружающего пространства, проф. Коновалов применяет к струе общее уравнение движения потока с переменной массой. Принимая затем давление в струе постоянным II пренебрегая обычными силами трения, он приходит к уже известному нам положению, что секун.лпое количество движения в каждом сечении струи имеет одно и то же значение. Далее, из уравнения динамического равновесия, составленного с учетом сил сопротивления трения, и уравнения постоянства количества движения В. М. Коновалов получает для средней скорости в сечении струи, отстоящем на расстоянии I от насадка, сле.чующее выражение [c.113]

Плоокая продольная волна. Пусть массовые силы отсутствуют, поперечный потенциал яр тождественно равен нулю, а продольный потенциал ф зависит только от Х и t. Тогда уравнение (10.6) превращается в уравнение колебаний струны [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...