Траектория трансверсальной

Наибольшие и наименьшие значения напряжений о-д., (Ту, т лежат в контуре массива. Главные направления совпадают с омываемыми водой и воздухом боковыми поверхностями П., остальные главные направления перпендикулярны к ним. Направления главных напряжений в сечении массива П. характеризуются траекториями (фиг. 10), которые начинаются перпендикулярами у одной стороны контура П. и приближаются асимптотически к его другой стороне. Вдоль траекторий трансверсальных напряжений не существует. Вырежем мысленно (фиг, 11) из тела плотины очень маленькую призму длиною-1 у водной стороны, причем одна боковая грань лежит в контуре, вторая — перпендикулярна к ней, а третья горизонтальна первые 2 боковые грани перпендикулярны к главным направлениям. Равновесие призмы требует, чтобы сумма моментов всех сил, действующих вокруг произвольной точки (например вокруг точки О), была равна нулю [c.335]

Определить уравнение траектории в координатной форме, а также скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиальную и трансверсальную составляющие скорости и радиус кривизны траектории в момент = я/6 сек. Изобразить на рисунке траекторию, скорости и ускорения в указанный момент времени. [c.116]

Требования общности положения. 1. На росток семейства в точке (О, 0) произведения фазового пространства на пространство параметров налагаются те же требования общности положения, что и в п. 2.1, гл. 1.2. На поле Vq налагается следующее нелокальное требование rnW =0. Другими словами, гомоклиническая траектория входит внутрь, а не в. край устойчивого множества. 3. Локальное семейство трансверсально пересекает гиперповерхность векторных полей с вырожденной особой точкой. [c.111]

Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. Подробнее о гиперболической теории см. том 2 настоящего издания. [c.114]

Будем предполагать, что векторное поле, имеющее цикл с мультипликатором 1 и с некомпактным объединением множества гомоклинических траекторий с L, удовлетворяет следующим условиям общности положения его неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических, кроме L, циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально между собой и с St, SI, Wi, Wl, последние пересекаются трансверсально в каждой точке, не принадлежащей L. [c.121]

Обозначим через у(ф) векторное поле, порождающее поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом ф. Обозначим через R множество дуг фе в пространстве диффеоморфизмов, таких что у(фь)6б1, у(фе) трансверсально пересекает B в точке (фб) г (фь) удовлетворяет условиям типичности, главное из которых состоит в следующем. Неблуждающее множество у(фг,) состоит из конечного множества циклов, причем если один из них ме гиперболический, то его устойчивые и неустойчивые множества и многообразия трансверсально пересекаются между собой и с многообразиями других циклов, а если все циклы гиперболичны, то их многообразия трансверсально пересекаются по всем траекториям, за исключением одной. [c.125]

Третье требование общности положения на поле v при 0<О. Пусть X — точка гомоклинической траектории. Требуется, чтобы плоскости L-(x) и Z-+(.v) пересекались трансверсально (то есть по прямой, порожденной вектором у(х)). [c.129]

Рассмотрим точку х гомоклинической траектории и росток п — 1)-мерной плоскости П в этой точке, трансверсальный полю [c.129]

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149]

Для оптимального управления движением манипулятора требуется предварительное (до начала движения) вычисление его конечного состояния, сводящееся в рассмотренном случае к отысканию минимума функции / на конечном числе точек, являющихся корнями трансцендентных уравнений (14) или (22). Для более сложных кинематических схем манипуляторов число таких уравнений может совпадать с числом управляемых координат, а уравнения экстремалей при задании траектории движения могут быть проинтегрированы только численно, что дополнительно усложняет и без того нетривиальную задачу поиска всех экстремалей, удовлетворяющих условию трансверсальности [6]. Такие предшествующие процессу управления вычислительные процедуры являются неизбежной и в большинстве случаев чрезмерной платой за минимизацию функционала /. Есть причины, вынуждающие отказаться от строгих методов оптимизации, т. е. методов, обеспечивающих отыскание экстремума 1) разрыв между получением системой двигательного задания и началом движения, равный времени вычисления оптимального управления 2) неопределенность двигательной задачи при неполной информации о состоянии окружающей среды, когда эта задача доопределяется в процессе движения, и предварительное отыскание конечного состояния манипулятора либо невозможно, либо должно быть основано на статистическом подходе. Обе причины существенны, когда система управления двия<ением предназначена для выполнения разнообразных, не повторяющихся двигательных задач. При управлении циклически повторяющимся движением процесс оптимизации может быть проведен один раз, а его результаты использованы неоднократно [c.32]

В тех случаях, когда конец фазовой траектории должен принадлежать заданной замкнутой области, математическая теория оптимальных процессов дает специальные условия (условия трансверсальности), позволяющие установить, в какую точку этой области должна попасть оптимальная траектория. Здесь эти условия не используются, так как выбор mr(l) очевиден. [c.75]

Отметим одну интересную особенность, связанную с выполнением условий трансверсальности на конце траектории, в случае, когда конец траектории должен лежать на некоторой линии (или поверхности). Эта линия, на которой по условию должен лежать конец траектории, может быть другой трещиной или свободной гранью тела. [c.20]

Трансверсальное ускорение точки равно нулю. Определить скорость, ускорение точки, радиус кривизны траектории и годограф скорости. [c.490]

Однако при растяжении (рис. 3.14—3.18) расслоению большинства слоистых композитов, особенно содержащих слои 90°, предшествует появление ряда трансверсальных трещин. Вследствие этого положение области расслоения оказывается не столь четко определенным, как при сжатии. Траектория расслоения в осевом направлении сильно изменчива и зависит от размера и расположения трансверсальных трещин, типа слоистого композита, вида материалов арматуры и матрицы, образующих композит. Расслоение слоистых композитов [c.150]

Равенства (16)-(19) являются следствием интегрального равенства (14). Из (19) на концах траектории вспомогательной системы имеем условия трансверсальности [c.115]

Топологические препятствия к существованию нетривиальных групп симметрий обратимых систем впервые получены автором в [106] (теорема 2). Там же сформулирована в виде гипотезы теорема 1. Эта теорема доказана С. В. Болотиным с помощью детального анализа семейства траекторий, двоякоасимптотических к периодическим траекториям из различных гомотопических классов. Более точно, доказано, что в предположениях теоремы 1 3 найдется замкнутая гиперболическая траектория с трансверсально пересекающимися асимптотическими поверхностями. Из этого результата вытекает, в частности, стохастизация фазового потока и, как следствие, отсутствие дополнительных интегралов и групп симметрий (см. по этому поводу гл. V). [c.156]

Если /1(7) =. .. = / (7) = О и ранг матрицы -/у(7) равен п-1, то при малых е п-мерные поверхности Л+ и А пересекаются трансверсально на (2п - 1)-мерном уровне энергии по двоякоасимптотической траектории 7е, причем 7 — 7 при е — 0. [c.256]

Теорема 2 [29]. Пусть р — слабо нерезонансные положения равновесия с вещественными характеристическими показателями. Если существует трансверсальная двоякоасимптотическая к р траектория 7, не являющаяся главной при I — оо, то [c.300]

Обозначим через и устойчивое и неустойчивое многообразия положения равновесия. Они состоят из траекторий гамильтоновой системы в фазовом пространстве, асимптотических к го при =Ьос соответственно. При некоторых условиях, с помощью вариационных методов, можно доказать существование траекторий, двоякоасимптотических (гомоклинических) к го [1, 2]. Пусть 7 С П — одна из таких траекторий. В случае общего положения, траектория 7 является трансверсальной, т. е. многообразия Ж и пересекаются вдоль 7 под ненулевым углом. [c.150]

Параметром семейства является значение постоянной э ергии. Действительно, предположим, что при некотором выборе згачения постоянной энергии замкнутая траектория трансверсально пересекает описанную выше 2п — 2-мерную площадку в 2п — 1-мерном многообразцп уровня энергии. Тогда и при близких значениях постоянной энергии будет существовать подобная же замкнутая траектория. По теореме о неявной функции мы можем даже утверждать, что эта замкнутая траектория гладко зависит от значения постоянной энергии. [c.356]

Следствие 2. Известно, что эллиптические периодические траектории общего положения в гладкой гамильтоновой системе с двумя степенями свободы являются орбитально устойчивыми на уровне энергии [3]. Этот же результат остается верным и в случае кусочно-глад ких гамильтонианов, если дополнительно потребовать, чтобы периодическая траектория трансверсально пересекала поверхности потери гладкости (что, кстати сказать, тоже является условием общего положения). В случае трех и более степеней свободы приходится говорить об орбитальной y Toii4HBo TH для большинства начальных условий. [c.154]

Лемма (В. С. Афраймович, 1985). Если векторное поле, удовлетворяющее требованиям, наложенным в примере 2 или 3, имеет гомоклиническую траекторию цикла, по которой трансверсально пересекаются множества 5 и S , то все векторные поля из некоторой окрестности поля в пространстве х (Л ) имеют бесконечное множество неблуждающих траекторий и, следовательно, поле не принадлежит границе множества векторных полей Морса—Смейла. [c.91]

Рнс. 42. Трансверсальное сечение множества гомоклинических траекторий s-крнтнческого цикла (компактный случай) [c.117]

В этом параграфе рассматриваются бифуркации векторного поля, лежащего на границе множества систем Морса—Смейла, для которого неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально по всем траекториям, за исключением одной — простого касания либо квазитрансверсального пересечения. [c.138]

Теорема. Предположим, что /е — кривая С -диффеомор-физмов компактной поверхности М такая, что 1) при е==Ео /е, ишет диссипативную неподвижную седловую точку р и гомоклиническую траекторию простого касания Wp и Wl 2) /f трансверсально пересекает в точке /о. Тогда существуют значения 8>ео, для которых /е имеет бесконечно много устойчивых периодических траекторий. [c.148]

Задача 5.22. Точка совершает центральное движение, при котором ее трансверсальное ускорение относительно центра О равно нулю. Траектория точки — лемниската = 2b os2 p, где р — расстояние точки от центра О, Ь — постоянная величина. В начальный момент р = Рс, скорость [c.489]

Для доказательства рассмотрим ш-мерную площадку П = = х,у X = Жо , трансверсально секущую 7, и отображение последования F П -+ П, которое определяется следующим образом. Траектория решения системы (8.2) с начальными данными ж(0) = = Жо, 2/(0) = 2/0 ( уо мало) снова пересекает площадку П через промежуток времени, близкий к р, в точке (жо,2/1). Положим у = [c.220]

Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t — 00. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... (А. Пуанкаре [146]). [c.252]

Ясно, что невозмущенное стационарное поле скоростей имеет две гиперболические особые точки ( /За, 0), соединенные тремя парами сдвоенных сепаратрис (фазовый портрет системы изображен на рис. 8). Как показано выше, эти пары сепаратрис расщепляются и трансверсально пересекаются при добавлении малого возмущения еН = ехсозХЬ для почти всех значений Л. При малых е ф О вблизи расщепленных сепаратрис будем иметь острова с хаотическим поведением траекторий частиц жидкости. [c.279]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

U) оно имеет 2п различных трансверсальных гомоклинных траекторий (на энергетической поверхности, содержащей точку р) [c.297]

В невозмущенной задаче асимптотические поверхности (7.2) сдвоены и все гомоклинные траектории нетрансверсальны. Оказывается, при малых возмущениях задачи Лагранжа равновесие (7.1) не исчезнет и снова будет точкой типа седло — фокус, но появятся трансверсальные гомоклинные траектории. Таким образом, к возмущенной задаче Лагранжа можно будет применить теорему 1. [c.299]

С. В. Болотин указал интересное применение теоремы 2 в динамике твердого тела. Речь идет о возмущении приведенной задачи Лагранжа, рассматривавшейся в п. 2. Если постоянная площадей равна нулю, то характеристические числа неустойчивого равновесия оказываются вещественными, и поэтому теорема Деванея неприменима. В [29] показано, что если тензор инерции не шаровой, и центр масс тела несколько смещен относительно оси динамической симметрии (при этом его г-координата отлична от нуля), то возмущенная задача Лагранжа допускает не являющуюся главной трансверсальную гомоклинную траекторию к слабо нерезонансному положению равновесия. Для построения нужной траектории используются идеи теории возмущений (см. 1). Эта задача обсуждается также в работе [51]. [c.301]

Методы символической динамики применимы к описанию поведения системы вблизи трансверсальной гомоклинной траектории. Пусть р — гиперболическая неподвижная точка отображения 3 произвольного многообразия М на себя. Можно считать, что М — фазовое пространство неавтономной периодической гамильтоновой системы, а. 3 — отображение за период (см. п. 4 1). Пусть Л+ и — асимптотические инвариантные поверхности точки р, пересекаюшиеся трансверсально. Точки д е Л+ П Л естественно назвать трансверсальными гомоклинными точками Иш 3 д) = [c.305]

Теперь мы можем сформулировать теорему Деванея, упоминавшуюся в п. 1 7. Итак, пусть р — точка покоя гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, а го — ее характеристические числа, 7 — трансверсальная гомоклинная траектория для точки р. [c.308]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

Обычно доказательства неинтегрируемости и хаотического поведения гамильтоновых систем основаны на построении трансверсальных гомоклинических траекторий к гиперболическим положениям равновесия или периодическим траекториям. Как правило, доказать существование таких траекторий удается только для систем, близких к интегрируемым, когда можно применить один из методов теории возмущений, например основанный на интеграле Пуанкаре-Мельникова 21]. Если в системе нет малого параметра, то методы теории возмущений неприменимы. Тогда приходится использовать непертурбационные методы, одним из которых является вариационный метод. В настоящей работе подход, основанный на вариационных принципах механики, проиллюстрирован на простейшем случае автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. По поводу других классов систем см., например, [1, 2, 6, 9, 10, 12, 16, 25-28] и библиографии в этих работах. [c.147]

Как показал Деваней [18], для автономных систем, существование трансверсальной гомоклинической траектории к положению равновесия, в общем случае, не влечет сложного поведения траекторий системы, и, в частности, ее неинтегрируемости. Действительно, для седло-вого положения равновесия даже с четырьмя трансверсальными гомоклиническими траекториями возможна интегрируемость системы 18]. Сначала обсудим более простой случай положения равновесия типа седло-фокус. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...