Лагранжиана закрепленная

Рассмотрим первые интегралы системы дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг закрепленной точки в случае, исследованном Лагранжем. [c.427]

Исследование движения твердого тела вокруг закрепленной точки в случае, рассмотренном Лагранжем, привело к возникновению термина циклические координаты . Мы не рассматриваем приме-нение метода Раута ). [c.431]

Условия (Ь) и (с) дают основания назвать тело, движущееся вокруг закрепленной точки и удовлетворяющее геометрическим условиям задачи Лагранжа, гироскопом ( 146). [c.437]

Найти решение уравнений движения осесимметричного волчка с закрепленной точкой (случай Ж. Лагранжа). [c.226]

Лагранж показал, как из найденных формул предельным переходом можно получить свободные колебания однородной струны (с закрепленными концами), масса которой уже не сконцентрирована в п точках, а распределена равномерно вдоль струны, имеющей плотность р. [c.258]

Пример. Рассмотрим движение твердого тела с закрепленной точкой О в случае Лагранжа, когда на тело действует сила веса Mg, существует ось динамической ш симметрии и центр тяжести D расположен на этой оси. [c.281]

Согласно теореме Лагранжа, консервативная механическая система находится в состоянии устойчивого равновесия только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна. Таким образом, если система находится в устойчивом равновесии, то всякие допустимые по условиям закрепления системы отклонения приводят к увеличению ее полной потенциальной энергии. [c.28]

Теория упругой заделки. При закреплении конца одномерной балки в каком-либо двумерном или трехмерном теле все исследователи, начиная с Бернулли, Эйлера, Лагранжа и др., принимали в рассматриваемом конце балки условия жесткой заделки. Согласно этому условию положение и направление упругой линии балки в этой точке было фиксированным и заданным. На самом деле, в заделке имеется смещение и поворот, определяемые упругими свойствами, нагрузками и формой всего тела в целом. [c.170]

Этот параграф посвящен построению корректной процедуры по становки задач динамики упругих систем с движущимися закреплениями и нагрузками. Формулируются вариационные задачи для систем, лагранжианы которых зависят от обобщенных координат, их первых производных и производных более высокого порядка. [c.18]

Помимо проблемы устойчивости движения, одной из классических задач теоретической механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, т. е. тела, закрепленного при помощи сферического шарнира. Этой задачей занимались самые выдающиеся ученые-механики Эйлер, Лагранж, Пуансо. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо для этого же случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки дал наглядную геометрическую картину этого движения. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет ось динамической симметрии, проходящую через неподвижную точку. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки имеет первостепенное значение для теории гироскопов, которая находит широкое применение в различных областях современной техники. После Эйлера и Лагранжа многие ученые безуспешно пытались найти новые случаи решения этой задачи. В 1888 г. Парижская академия наук объявила конкурс на лучшее теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Премию в этом конкурсе получила первая русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891). В своей работе Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки она дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа. Эта работа доставила С. В. Ковалевской мировую известность и, по выражению Н. Е. Жуковского, немало способствовала прославлению русского имени . [c.26]

Рассматриваемая задача о движении твердого тела около закрепленной точки интегрируется в квадратурах как частный случай двух более общих интегрируемых случаев, рассматриваемых выше (аналога случая Эйлера и аналога случая Лагранжа). [c.393]

Рассмотрим восходящее к Лагранжу обобщение вариационной задачи из п. 7. Пусть д [I1,I2I —> N — экстремаль функционала действия Ь(И, Ь = Т — V, ъ классе кривых с закрепленными концами, удовлетворяющих системе уравнений [c.25]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

Отметим известные общие решения задачи о движении тела с одной закрепленной точкой под действием однородного поля тяжести, которые справедливы при произвольных начальных условиях. Такими решениями являются решения а) задачи Эйлера (случай уравновешенного волчка), когда неподвижная точка и центр масс тела совпадают, б) задачи Лагранжа (случай симметричного неуравновешенного волчка), когда 1х — 1у Ф Ь у а центр масс находится на оси Ог, в) задачи Ковалевской (случай симметричного неуравновешенного волчка), когда 1х у =2/2, а [c.368]

Цилиндрический болт радиуса 7 , высоты Н и массы М (см. рисунок) закреплен в центре О основания. На болт надета гайка, которую можно считать полым цилиндром с внешним радиусом а К (а > 1), высотой / и массой т. Шаг винтовой нарезки равен /г. Составить функцию Лагранжа системы. [c.123]

Однородный диск радиуса К и массы т (см. рисунок), насаженный в центре нод прямым углом на невесомый гладкий стержень, конец О которого закреплен сферическим шарниром, может поступательно двигаться вдоль этого стержня. Центр диска соединен с точкой О пружиной жесткости с, длина которой в недеформированном состоянии равна /о- Составить уравнения движения диска в форме Лагранжа. [c.123]

Изучение явления продольного изгиба продолжил выдающийся французский математик и механик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813). Он рассмотрел шарнирно закрепленный по концам стержень, нагруженный осевой сжимающей силой, и нашел ее критическое значение [c.559]

Замечание. Твердое тело, закрепленное в точке О, в отсутствие внешних сил, представляет собой лагранжеву спстему, конфигурационным пространством которой является группа, а именно 30(3), причем функция Лагранжа инвариантна относительно левых сдвигов. [c.131]

Рис. 30. Для волчка Лагранжа существуют два простых частных периодических решения, для которых ось волчка вертикальна, а центр масс находится выше либо ниже точки закрепления — для краткости верхнее и нижнее решение соответственно. Традиционно, волчок, вращающийся в верхнем положении называют спящим волчком . В пространстве

В теории же упругости конечной целью обычно является определение перемещений точек упругого тела, для которого задаются первоначальная форма, условия закрепления и нагрузка. При этом требуется определить и форму тех участков поверхностей, ограничивающих тело, перемещения которых явным образом не заданы. Иными словами, краевые условия в теории упругости, вообще говоря, задаются на границах, форма которых зависит от искомых величин. Поэтому наиболее подходящим математическим аппаратом будут в данном случае криволинейные координаты Лагранжа х, у, г, поскольку в них уравнения границ тела после деформации будут иметь вид, идентичный уравнениям границ тела до деформации. Можно привести и другие соображения в пользу выбора этой системы координат. В частности, использование ряда важных деформационных гипотез теории упругости (например, гипотезы прямых нормалей в теории пластин и оболочек, плоских сечений в теории изгиба) оказывается наиболее удобным именно в координатах х, у, г (ввиду простоты записи в данной системе уравнений материальных волокон и слоев как до, так и после деформации). [c.18]

Случай Лагранжа (случай симметричного гироскопа). Тело имеет ось симметрии, например Oz. В силу сим.метрни J — Jу и эллипсоид инерции для закрепленной точки будет эллипсоидом вращения. Закрепленная точка О и центр масс С расположены на оси симметрии. В этом случае могут быть указаны шесть независимых первых интегралов, из которых углы Эйлера вычисляются в квадратурах. [c.482]

До конца XIX в. случаи движения твердого тела, исследованные Эйлером и Лагранжем, были единственными, в которых было проведено полное интегрирование системы дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14). На протяжении большей части минувшего столетия изучались разные свойства движений в указанных двух классических случаях. При этом были найдены результаты, о характере которых дает представление интерпретация Пуансо движения по инерции твердого тела вокруг закрепленной точки. В этом направлении работали Максвелл, Сильвестр, Мак-Куллах, Якоби, Сомов, Дарбу и др. [c.448]

Пример. Случай этот встречается в движении твердого тяжелого тела с одной закрепленной точкой — в случае Лагранжа. Если за определяющие переменные взять углы Эйлера, которыми определяется положение главных осей эллипсоида инерции тела, построенного для неподвижной точки, относительно неподвижных осей OxijjiZi, где Zi вертикальна и направлена вверх, то [c.312]

Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, 1 f, Yu Тэ> Ifs Однако глубокое исследование Гюссона ), выполненное в более изящной форме Бургаттив), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [c.168]

Тяжелое твердое тело, закрепленное в одной точке. Общий СЛУЧАЙ. Для изучения установившихся движений вернемся к рассуждениям п. 48, но в качестве параметров Лагранжа примем, как это было сделано в 5 гл. VIII, проекции р, q, г угловой скорости на оси, неизменно связанные с телом и являющиеся главными осями инерции относительно неподвижной точки О, и направляющие косинусы "(2 Те нисходящей вертикали относительно этих неподвижных в теле осей. [c.333]

Особое значение имели работы Д. Бернулли и Эйлера о малых колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах. Бернулли и Эйлеру прпнадленшт также решение нескольких трудных задач о малых колебаниях воздуха в трубах, которыми занимался позже также Лагранж. Труды Бернулли принесли ему очень широкую известность. Он был избран членом академии наук в Петербурге, Париже, Берлине, Лондоне. Паригк-ская академия наук 10 раз присуждала ему премии, назначавшиеся за лучшие работы по вопросам механики, математики и физики. [c.193]

Поскольку распределенная система может взаимодействовать с со средоточенной (имеются в виду закрепления, сосредоточенные нагрузки и т.д.), то к выражению (1.2) следует добавить функции Лагранжа соответствующих сосредоточенных систем, расположен- [c.19]

С. А. Довбыш [51] применил теорему 1 к изучению возмущений интегрируемой задачи Лагранжа из динамики твердого тела. Выбирая подходящим образом единицы массы, длины и времени, можно считать, что главные моменты инерции тела относительно точки закрепления равны /1 = /2 = 1, /3, координаты центра масс относительно осей инерции суть О, О, 1, а вес тела равен единице. Пусть с — постоянная интеграла площадей. [c.298]

Для получения приближенных решений на практике часто используется вариационный принцип Лагранжа. Согласно этому принципу истинное деформированное состояние отличается от всех геометрически возможных, т, е. соответствующих заданным условиям закрепления, тем, что Д.ЧЯ него реализуется минимальное значение полной энергии, т. е. выполняется услогше [c.314]

В качестве примера с тремя степенями свободы рассмотрим лагранжев тяжелый симметричный волчок, закрепленный в точке на оси. Здесь сразу видны три первых интеграла Н, М , М . Легко проверить, что интегралы и Мд находятся в инволюции. Далее, многообразие Н = кв фазовом пространстве компактно. Поэтому мы без всяких вычислений сразу можем сказать, что при большинстве начальных условий ) движение волчка условнопериодично фазовые траектории заполняют трехмерные торы Н = Сг, М = Са, М = Сд. Соответствующие три частоты называются частотами собственного вращения, прецессии и нутации- [c.239]

А. Системы, близкие к интегрируемым. Мы рассмотрели выше довольно много интегрируемых систем (одномерные задачи, задача двух тел, малые колебания, случаи Эйлера и Лагранжа движения твердого тела с закрепленной точкой и т. д.). Мы изучили характер фазовых траекторий в этих системах они оказались обмотками торов , заполняющилш всюду плотно инвариантные торы в фазовом пространстве каждая траектория распределена на этом торе равномерно. [c.256]

Замечание 3. Интеграл Гесса, как и интеграл Лагранжа, имеются в более сложной системе с пятью степенями свободы [41] — тело, подвешенное на невесомом жестком стержне струне), движется в поле тяжести [153]. Для интегрируемости этой системы даже при наличии указанных интегралов не хватает еще трех инволютивных интегралов. Они неизвестны, а единственный случай интегрируемости связан с полным разделением движений, когда точка закрепления тела на струне совпадает с центром масс. [c.250]

Поскольку I является минором диагонального элемента детермнианта Лагранжа, то / О представляет собой уравнение, служап ее для определения периодов системы при наложении иа нее связи 61 = 0. Поэтому отсюда заключаем, что хотя все значения р уменьшаются при увеличении на р, инерции какой-либо части системы, никакое увеличение, как Гм велико оно ни было, не может уменьшить их настолько, чтобы какие-либо из них стали меньше соответстец-ющих значений, получаемых при абсолютном закреплении той части системы, инерция которой была увеличена. [c.71]

Рассматриваемая задача может быть также решена методом Лагранжа, несмотря иа то, что кинематические уравнения содержат производные по временн определяющих параметров. Чтобы сделать это, прибегнем к методу неопределенных множителей (см. т. 1, гл. VII). Пусть оси координат будут те же, что и раньше. Пусть ОС — тот диаметр, который был вертикален во время вращения шара на вершине поверхности, G/4, GB — два других диаметра, образующих вместе с диаметром G систему прямоугольт.1х координат, закрепленную в шаре. Пусть положение этих осей относительно неподвижных осей задается углами Эйлера 0, ф, г з. Тогда живая сила шара будет [c.204]

Условие Ыг=Из предполагает наличие жесткого элемента между точками 2 и 3, поэтому упруго деформируются лишь звенья А и С. Таким образом, как следует из анализа решения, смещение точки 2, вызванное действием силы Ра, равно Р2/2 0- Это же значение для смещения получается, если действует лишь сила Р3. Множигель Лагранжа / Рг+Рз) — силовой параметр в этом случае он соответствует силе, передаваемой через жесткое звено. Заметим, что связи наложены на закрепленную конструкцию. Поэтому здесь может быть применена процедура (7.20), (7.21), в которой обращается базисная матрица жесткости. [c.214]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...