Равновесие тонких стержней

РАВНОВЕСИЕ ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ 227 [c.227]

РАВНОВЕСИЕ ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ 229 [c.229]

Для равновесия тонкого стержня будут иметь силу уравнения (72)—(74) п. 64, из которых для удобства мы перепишем здесь неопределенные уравнения [c.230]

РАВНОВЕСИЕ ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ 231 [c.231]

РАВНОВЕСИЕ ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ 235 [c.235]

Вывести из внутренних уравнений равновесия тонкого стержня (п. 68) три дифференциальных соотношения, каждое из которых содержит только одну из величин Ф1, Ф , Га. [c.241]

Полученная система уравнений равновесия (8), (9) совершенно аналогична по внешнему виду системе уравнений равновесия тонкого стержня [15]. [c.335]

ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ. [c.12]

Кинетические аналогии Кирхгофа. Мы переходим к применению развитой в предыдущей главе теории. Начнем с доказательства теоремы Кирхгофа, устанавливающей совпадение уравнений равновесия тонкого стержня, который в начальном состоянии был призматическим, а затем деформирован силой и парой, приложенными в конце, с уравнениями движения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки. [c.416]

Задачи о равновесии тонких стержней [c.422]

Вывести уравнение равновесия для слабого изгиба тонкого стержня (кругового сечения), имеющего е своем естественном состоянии форму дуси окружности и изгибаемого в своей плоскости приложенными, к нему радиальными силами. [c.118]

Аналогичные результаты справедливы и для волн изгиба тонких стержней колебания изгиба предполагаются малыми. Уравнения движения получим, заменив в уравнениях равновесия слабо изогнутого стержня (20,4) силы —Кх, —Ку произведениями ускорений X, Y на массу pS единицы длины стержня (S — площадь его сечения). Таким образом, [c.140]

Это замечание важно тогда, когда вещество тела изотропно. Пользуясь им, всегда можно представить уравнения равновесия и движения бесконечно тонкого стержня, поперечное сечение которого всюду имеет одинаковую форму, когда он в его естественном состоянии как-нибудь искривлен или скручен. При этом величина, которую мы обозначили через о, может быть положена равной нулю. [c.342]

Пример такого движения представляет маятник, у которого нить заменена легким тонким стержнем, повернутый на 180°. Если х представляет горизонтальное перемещение, отсчитываемое от положения неустойчивого равновесия, то реакция опоры вначале будет mg, где т — масса груза, а ее горизонтальная составляющая при малом х будет иметь величину и будет направлена наружу. Следовательно, в данном случае применимо уравнение (1) при — [c.39]

Тонкие стержни. Рассмотрим тело с криволинейной направляющей, равновесие которого мы изучали в предыдущих пунктах, и предположим, что наибольшее измерение h его нормальных сечений о сравнимо с элементом дуги ds направляющей, в том смысле, что может рассматриваться наравне с ним как величина первого порядка. Такое тело в отношении геометрической конфигурации можно рассматривать как материальную линию. Что же касается нагрузок и вызываемых ими усилий, то мы будем считать, что, несмотря на малость поперечных сечений, нужно принимать во внимание также н моменты. Материальная система, определяемая таким образом, носит название тонкого стержня. [c.230]

В предположении, что внешние силы приложены исключительно к концам тонкого стержня, находящегося в равновесии (F = 0), на основании уравнений (75) остается постоянным не только Ф, но также и Г Ф. [c.241]

Уравнение для перемещений остается без изменения, так как при установившемся движении форма стержня может быть определена как форма неподвижной трубки, с которой совпадает стержень. Для гибких тонких стержней распределенный момент, вызванный инерцией вращения, как правило, является малым, и им можно пренебречь (J 0). Если слагаемое, зависящее от скорости продольного движения, объединить с осевой силой [как это сделано в (5.6)], то уравнения, характеризующие стационарное движение стержня, эквивалентны уравнениям равновесия. Сила Q, входящая в уравнение моментов, может быть заменена на Q< так как справедливо равенство [c.107]

Основная система уравнений, описывающая колебания тонкого стержня, нелинейна если колебания происходят около состояния статического равновесия и малы, то уравнения можно линеаризовать и представить в виде [20, 25] [c.38]

Классический продольный изгиб при сжатии длинного тонкого стержня показан на рис. 1. В действительности линия приложения нагрузки не совпадает с продольной осью стержня, вследствие чего возникает изгибающий момент относительно его центра и стержень изгибается. При незначительных нагрузках для сохранения прямолинейности стержня и возвращения его в исходное положение при небольших боковых смещениях достаточно упругого противодействия, т. е. система будет находиться в стабильном равновесии. При увеличении нагрузки до некоторого значения достигается состояние нейтрального равновесия, при котором изгибающие силы и силы упругого противодействия уравновешены, и любые боковые смещения стержня не нарушают его стабильности. При дальнейшем увеличении нагрузки происходит потеря устойчивости стержня, так как малейшая несоосность вызывает катастрофический продольный изгиб его, заканчивающийся течением материала или разрушением стержня. Критическая нагрузка, необходимая для нейтрального равновесия, зависит от соотношения между длиной и толщиной стержня, модуля упругости материала стержня и способа приложения нагрузки к его концам. [c.9]

Ои вывел общие уравнения равновесия для пространственной изогнутой кривой стержня в предположении больших прогибов. Он доказал далее, что если силы приложены только по концам стержня, то эти уравнения оказываются тождественными с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Благодаря этому стало возможным уже известные решения динамики твердого тела применить непосредственно к определению деформации тонкого стержня. Этот прием получил известность под наименованием динамической аналогии Кирхгоффа. В качестве простого примера применения этой аналогии сопоставим поперечное выпучивание сжатого стержня АВ (рис. 131, а) с колебанием математического маятника (рис. 131,6). Оба эти явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, существующая же между ними связь сводится к следующему если точка М движется но кривой АВ с постоянной скоростью, так что дугу АВ она проходит за время, равное полупериоду маятника, и если М начинает удаляться от в тот момент, когда маятник находится в крайнем положении п касательная к кривой в А образует с вертикалью угол, равный тому, которым определяется крайнее положение маятника, то и при всяком [c.307]

Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным. [c.257]

Таким образом, в случае тонких стержней и пластинок отпадают те условия, на которых построено доказательство теоремы об однозначности решения уравнений теории упругости, и мы встречаемся с возможностью существования нескольких форм равновесия при одних и тех же внешних силах. Так, например, при действии продольных сжимающих сил прямой стержень может сохранить свою прямую ось но при некоторых условиях эта ось может и искривиться, тогда мы [c.257]

Кроме указанных видов деформаций в сопротивлении материалов особо рассматривается так называемый продольный изгиб. Это деформация изгиба длинного тонкого стержня, сжимаемого силой, направленной по его оси. При некотором значении величины этой силы стержень может потерять устойчивую форму равновесия и выпучиться в сторону — изогнуться (рис. 5, е). [c.15]

Точка массы т движется по гладкому тонкому стержню, вращающемуся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью 0 вокруг оси, проходящей через неподвижную точку стержня О. Ось и материальная точка соединены между собой пружиной жесткости х и длины а в ненапряженном состоянии (см., (1.42)). Определить собственную частоту колебаний точки около положения устойчивого равновесия. [c.268]

Пример 8.3. Равновесие тонкого неоднородного стержня. [c.347]

Как уже говорилось, при рассмотрении упругого изгиба тонкого стержня (полоски) не будут вводиться какие-либо ограничения на возможные формы равновесия упругой линии и на упру- [c.21]

Таким образом, решается вопрос об устойчивости различных форм равновесия при плоском изгибе тонких стержней в задачах основного класса. Аналогичный подход может быть применен и в задачах, сводящихся к основному классу. [c.93]

Имея в виду эти замечания, показать, что если при равновесии тонкого стержня, имеющего форму винтовой линии, внешняя сила F обращается в нуль и, следоват ьно, усилие Ф передается неизменным, то проекции его Фд на касательную. Фа на главную нормаль, Ф3 на бинормаль будут изменяться вместе с 9 согласно формулам [c.241]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

А. Вдияние жесткости на форму подвешенной проволоки. В качестве другого примера равновесия тонкого стержня под действием сил, распределенных по длине, рассмотрим задачу о проволоке, подвешенной в двух точках на равной высоте ). Предположим, что она весьма сильно натянута при помощи больших сил, приложенных на концах, так что упругая линия в любой точке мало наклонена к горизонту обозначим наклон касательной к горизонтальной прямой через б. Мы можем положить в уравнениях (10) и (11) 254 и в уравнениях (12) 255 следующее [c.440]

Действительно, рассмотрим, например, задачу о равновесии тонкого заделанного на одном конце прямоугольного стержня под действием силы, приложенной на другом его конце (рис. 115). В этом случае при достаточно большой силе Р возможно неединственное решение задачи. Стержень может остаться прямолинейным или изогнуться, например, так, как показано на рис. 115. [c.346]

Конечные деформа1, ии бесконечно тонкого первоначально цилиндрического стержня. Расширение бесконечно малого элемента последнего. Упрощение, про-исходящее от того, что сечение есть эллипс, или его плоскость есть плоскость симметрии. Потенциал сил, производимых расширением. Живая сила стержня. Равновесие стержня под влиянием сжимающих сил, приложенных по концам его. Аналогия относящейся сюда задачи с задачей о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Стержень может представлять винтовую линию Равновесие изогнутого стержня, бывшего первоначально винтовой линией) [c.336]

Теперь мы будем рассматряаать равновесие и движение тел, размеры которых в каком-либо направлении можно считать бесконечно малыми. К ним могут быть отнесены тонкие стержни и пластинки. Тела, которые мы будем рассматривать, могут испытывать конечную деформацию, причем расширения не перестают быть бесконечно малыми. Мы можем применить нашу теорию также и к таким случаям, когда можно, разбив тело на части с измерениями одного порядка, применить выведенные выше уравнения сначала к одной из этих частей. [c.336]

Мы ограничимся случаем = onst, т. е. предположением, что в естественном состоянии тонкий стержень имеет форму дуги окружности или, в частности, прямолинейного отрезка. Если усилие Ф (постоянное вдоль тонкого стержня, п. 69) равно нулю и, следовательно, равны нулю силы Fa, Fb, действующие на концах, то из равенства (78) мы увидим, что вдоль тонкого Стержня изгибающий момент Г остается постоянным, так ч то на основании равенства (79 ) постоянной будет также и кривизна т. е. фигурой равновесия плоского тонкого стержня (плоская эласт.ика) будет все еще дуга окружности (или прямолинейный отрезок). [c.236]

В заключение заметим, что Г. И. Пшеничнов выводил континуальные уравнения, описывающие деформирование решеток, основываясь на принятии некоторых соотношений, связывающих усилия и моменты с соответствующими деформациями (уравнения состояния). В данной же работе ребра учитывались естественным образом njrreM подсчета их реакций на деформацию оболочки и включения этих реакций в число действующих сил. Таким образом, уравнения 15.71)—(15.72) порождены операторами уравнений равновесия теории тонких стержней, а соответствующие уравнения в работе 1151]—операторами уравнений равновесия теории оболочек и уравнениями состояния. Приведенные примеры показали, что эти два подхода согласуются. [c.518]

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и, v, w ) и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у и w решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющееся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла. [c.258]

Рассмотрим сравнительно длинный и тонкий прямолинейный стержень, нагруженный центрально лриложенной сжимающей силой (рис. 12.2, а). Если приложить к стержню поперечную нагрузку, т. е. слегка изогнуть его, то при малых значениях сжимающей силы после снятия поперечной нагрузки стержень вернется в прямолинейное состояние. Это значит, что прямолинейная форма равновесия оси стержня устойчива. При большем значении сжимающей силы слегка изогнутый поперечной нагрузкой стержень после ее устранения медленнее, как бы неохотнее , возвращается в прямолинейное состояние. Но все же прямолинейная форма равновесия еще устойчива. Наконец, при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равнове-. сия оси стержня становится неустойчи- [c.447]

Описанная здесь периодическая упругая кривая будет широко использоваться в дальнейшем изложении. Она сыграет большую роль в качественном исследовании возможных форм равновесия упругой линии тонкого стержня (полоски) для сколь угодно больших перемещений при изгйбе при любых способах нагружения и закрепления во всех задачах основного класса и сводящихся к нему. [c.51]

Описанные же в предыдущих главах методы эллиптических параметров и диаграмм упругих параметров во всех случаях являются важными для качественного иследования различных возможных форм равновесия упругой линии при больших перемещениях, обусловленных изгибом тонких стержней. Указанные методы во многих задачах позволяют довести до конца также и численные расчеты. В тех же случаях, когда на этом пути встречаются трудности (в задачах любого класса), надо воспользоваться численным методом, основы которого излагаются ниже. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...