Преобразование квадратичной формы

При суммировании в глобальный вектор F на й-е место попадет сумма р. + а. +1. Задача вычисления интегралов типа (13.15) не содержит принципиальных трудностей, так как погрешность интерполяции функции х) на отрезках может быть согласована с погрешностью метода, и численных квадратур можно избежать даже для функций f(x) сложного вида. Перейдем к преобразованию квадратичной формы (13.13). Полученную сумму, не очень удобную для записи, перепишем в другом виде. Аппроксимируемый функционал является квадратичным и поэтому для функций и " должен иметь квадратичное представление относительно компонент вектора q = [q, 72, , дм- ) [c.165]

Внося эти значения д в 2Т, получим вьфажение 27 в функции от р, также представляющее собой функцию второй степени. Переход от живой силы 7, выраженной в переменных д, к живой силе 7, выраженной в переменных / , представляет собой хорошо известное преобразование квадратичной формы в присоединенную к ней форму. Такое преобразование применяют, в случае трех переменных, при переходе от уравнения конического сечения в точечных координатах к уравнению в тангенциальных координатах. [c.234]

С помощью действительного неособого линейного преобразования квадратичные формы (9.1.9) и (9.1.10) можно одновременно привести к суммам квадратов с положительными коэффициентами. Одновременное приведение двух квадратичных форм к суммам квадратов всегда возможно, если по крайней мере одна из форм определенно-положительная. (То обстоятельство, что [c.142]

Из выражений (8.10.11), (8.10.12) следуют формулы преобразования матриц податливостей или жесткостей при замене переменных Pi или Aj как формулы матриц преобразования квадратичной формы. [c.81]

При преобразовании квадратичной формы к новым переменным г, вводимым с помощью линейного преобразования [c.765]

Соотношения (5) и (6) представляют собой любопытные тождества, связанные с преобразованиями квадратичных форм. Они проверяются прямым вычислением. [c.11]

Полином устойчивый 451 Потери гистерезисные энергии деформации 166 Преобразование квадратичной формы 48 [c.586]

В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования [c.237]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Заметим, что квадратичная форма, стоящая в левой части уравнения (1.94), является инвариантом преобразования координат, поскольку константа к не зависит от выбора координатной снсте.мы ). [c.80]

Метод выделения квадратов связан с линейным преобразованием координат. Поэтому потенциальная энергия остается положительно определенной квадратичной формой ). Мы не изменяем обозначения коэффициентов этой формы, обозначая их, как и раньше, с и, хотя они и отличаются от коэффициентов, входящих в выражение потенциальной энергии в формулах (II. 175). [c.232]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

В этом случае преобразования, которые надо выполнить, чтобы перейти от квадратичной формы Т, выраженной через 9, 9, 9, к форме Т, выраженной через р , р , р , совпадают с теми, которые надо выполнить для перехода от квадратичной формы к форме сопряженной, как, например, для перехода от уравнения конического-сечения в точечных одно.родных координатах к его уравнению в однородных тангенциальных координатах. [c.469]

Примечание. Для того чтобы выполнить преобразование Гамильтона, нужно было предположить, что уравнения (2) разрешимы относительно q , 2, 9д. Такое разрешение всегда возможно. Возьмем, например, случай, когда равенства, определяющие значения новых переменных, не содержат явно времени. Тогда Т б щет однородной функцией второго порядка, т. е, квадратичной формой относительно и определитель из коэффициен- [c.470]

Замечание.—В случае, когда связи не зависят от времени, преобразование функции Т посредством замены переменных д переменными р представляет особый интерес. Так как Г —однородная квадратичная форма от переменных д , то мы можем написать [c.233]

Эта книга в течение долгого времени являлась классическим введением в математические методы теоретической физики. В главе 1, озаглавленной Алгебра линейных преобразований и квадратичных форм очень хорошо и ясно изложен вопрос о собственных значениях матрицы линейных преобразований, а также многие другие относящиеся сюда вопросы. В Приложении к главе 1 кратко рассмотрены бесконечно малые преобразования. [c.161]

С рассеиванием энергии. Кроме того, здесь хорошо изложены вынужденные колебания и вопросы перехода к непрерывным системам. Наиболее ценными являются сведения, изложенные в конце книги, где коротко рассматриваются квадратичные формы и преобразования к главным осям. При изложении вопроса об одновременной диагонализации матриц Г и V автор не пользуется матричной алгеброй, но успешно преодолевает трудности, связанные с наличием кратных корней. [c.376]

Эта книга убедительно доказывает важность теории малых колебаний в современной электротехнике. Значительное внимание уделяется в ней квадратичным формам и преобразованиям к главным осям. Изложение вопросов, связанных с использованием матричной алгебры, проводится на высоком уровне и отличается изяществом. [c.376]

V в результате такого преобразования. На первых порах можно только сказать, что она должна стать некоторой квадратичной формой новых переменных Uk с новыми коэффициентами b ik [c.184]

Мы получили замечательный результат в новой системе отсчета диагональную форму принимает не только квадрат расстояния s , но и потенциальная энергия V. Одним линейным преобразованием координат можно одновременно привести к диагональному виду две квадратичные формы, из которых одна положительно определенная (в остальном эти формы произвольны). [c.185]

Преобразования Лоренца. Преобразование (9.2.9) является частным случаем более широкой группы преобразований, которые исторически не очень заслуженно называются преобразованиями Лоренца . Они характеризуются произвольными четырехмерными поворотами евклидова пространства четырех измерений с координатами = ix, Xj = iy, x = iz, Xi = t. Можно обойтись и без мнимых величин. Для этого следует определить преобразования Лоренца как группу линейных преобразований четырех действительных величин, (х, у, z, t), оставляющих инвариантной квадратичную форму [c.344]

Достаточно вспомнить, что если квадратичная форма подвергается произвольному линейному однородному преобразованию, то ее Дискриминант умножается па квадрат модуля рассматриваемого линейного преобразования. [c.403]

Чтобы одновременно определить нормальные координаты н главные частоты, достаточно совместно привести к каноническому виду две квадратичные формы Т и и (п. 13). Не прибегая к общему правилу, которое потребовало бы решения уравнения третьей степени, мы придем к цели путем двух последовательных линейных преобразований, которые приведут от 0 toj, к некоторым трем новым нормальным координатам т , С (в широком смысле, определенном в п. 13). [c.410]

Отсюда следует, что Т является однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей, если I не входит явно в соотношения (5.20), определяющие преобразование, т. е. при этом условии [c.64]

Опуская два штриха в конечных координатах, можно выразить этот результат так. Даны две квадратичные формы А и В, причем А — положительно определенная, тогда существует линейное однородное преобразование, - которое превращает А в сумму квадратов переменных, а В — в квадратичную форму, в которой отсутствуют произведения членов, соответственно этому кинетическую и потенциальную энергии (101.41) можно преобразовать к следующим выражениям [c.361]

Группа преобразований Лоренца состоит из тех преобразований (обязательно линейных), которые сохраняют квадратичную форму dx dxr. Любое такое преобразование имеет вид [c.392]

Второе преобразование, осуществляемое при помощи матрицы 91, имеет целью сделать матрицу квадратичной формы Т единичной, т. е. [c.148]

В результате второго преобразования первую квадратичную форму (Т) привели к сумме квадратов. Остается выполнить третье преобразование, которое привело бы матрицу второй квадратичной формы ([/) к диагональному виду, не нарушив вида матрицы первой квадратичной формы. С этой целью используем в качестве матрицы преобразования Мр — фундаментальную матрицу матрицы Р, т. е. [c.148]

Отметим, что в цепной системе возможно полное разделение переменных при переходе к главным координатам оно происходит в том случае, если отношения Ь /с одинаковы при всех г, в силу чего преобразование (3.18) одновременно приводит к сумме квадратов все три квадратичные формы (3.10). [c.49]

Теорема 1. Вещественная квадратичная форма (2.50) всегда может быть приведена при помощи ортогонального преобразования к канонической форме [c.47]

Теорема 2. Две вещественные квадратичные формы А (х, х) и В (х, х) могут быть приведены при помощи одного линейного преобразования соответственно к виду [c.47]

Примем за обобщенные координаты динамической модели привода координаты 8у, связанные с координатами ф/ преобразованием (5.16). В этом случае кинетическая и потенциальная энергии системы представляются в виде канонических квадратичных форм (5.17) с диагональными матрицами соответственно инерционных и квазиупругих коэффициентов. [c.158]

Координаты Yy, в которых кинетическая энергия системы выражается в виде суммы квадратов обобщенных скоростей, а потенциальная энергия — в виде канонической квадратичной формы обобщенных координат, Называются нормальными координатами. Матрица v преобразования (5.29) является частным случаем модальной матрицы г, а нормальные координаты — частным видом главных координат. [c.159]

Простейшим доказательством является следующее I). Известао, что при любом линейном преобразовании квадратичной формы [c.182]

В соответствии с общим определением тензоров компоненты тензора инерции /,ь при повороте осей координат относительно начала преобразуются в Jui (г, k=x, у, г ). Причем компоненты Jш определяются через компоненты Jui и представляют квадратичные формы относительно направляющих косинусов. В последнем можно убедиться непосредственным вычислением Jиспользуя формулы преобразования координат при повороте координатной системы. Тензор инерции будет второго занга. [c.173]

При линейном преобразовании кородинат (II.190) кинетическая и потенциальная энергии приобретают вид квадратичных форм обобщенных скоростей 0 и обобщенных координат 0 . Получим [c.243]

Понятию о главных координата.х. можно дать гео.метрическое истолкование. Для этого за.метим, что одна квадратичная форма всегда может быть при надлежащем линейном преобразовании приведена, и не единственным образом, к виду, в котором не содержится произведение переменных, причем для этого не требуется решения никаких уравнений. Рассматривая, в частности, знакоопределенную положительную форму, можно написать [c.565]

Здесь Ьц, bi2, Ъц, й], 2 не зависят от выбора нормального сечения I, а зависят лишь от координат той точки, через которую проведено нормальное сечение. В то же время эти величины зависят от выбора направлений координатных линий, проходяш,их через данную точку. На поверхности суш,ествуют два взаимно ортогональных направления Tj, To, для которых k принимает соответственно минимальное min и максимальное йтах значения. Из курса математики известно, что любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, который содержит лишь квадраты переменных. Это приведение эквивалентно преобразованию одних ортогональных координат в другие ортогональные координаты, в которых квадратичная форма обретает канонический вид. Пусть координатные оси aj и совмеш,ены с теми ортогональными осями, в которых упомянутая вторая квадратичная форма приводится к каноническому виду, т. е. в этих осях = О и [c.421]

Использованное здесь преобразование переменных, соответствующее переходу от переменных к переменным применяется обычно в теории квадратичных форм для приведения (по методу Лагранжа) квадрати ной формы к сумме квадратов. Действительно, применив несколько раз подобные преобразования, мы представим квадратичную форму от п переменных в виде суммы п квадратичных форм, каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е. равна произведению квадрата этой переменной на некоторый вещественный коэффициент. [c.275]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Легко видеть, что (87.19) есть достаточное условие для каноничности преобразования. Эта инвариантная билинейная форма может рассматриваться как основа теории КП, так же как известные инвариантные квадратичные формы dx -Ь dy -f dz ) и (dx -f dy + dz — dt ) могут считаться соответственно основами преобразования твердого тела в пространстве и лоренц-преобразовапий в пространстве времени. Так же как эти квадратичные формы определяют квадраты инвариантных элементов длины, так билинейная форма определяет инвариантный элемент площади [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...