Разностная производная правая

Для равномерной сетки определим операторы разностных производных — правой и левой д [c.161]

Разные аппроксимации производных позволяют конструировать разностные схемы с различными свойствами. Оценим погрешность разностной аппроксимации первой производной в точке Xi. Для этого разложим в ряд Тейлора функцию и в окрестности точки Х . Для правой разностной производной имеем [c.270]

Символическая запись О к) означает величину, имеющую тот же порядок малости, что и к. Говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный с порядком т в точке х = а ,-, если разность их значений в этой точке равна 0 к ). В этом случае правая (аналогично левая) разностная производная имеет первый порядок аппроксимации. Разностное выражение определено на двух точках ш Xi + к, т. е. имеет двухточечный шаблон. [c.270]

Будем рассматривать это выражение как левую разностную производную. Тогда правой разностной производной будет отношение [c.172]

Левая, правая и центральная разностные производные построены по. значениям функции в двух узлах, производная (14.5)—по значениям в трех узлах. Совокупность узлов, фигурирующих в разностном выражении того или иного дифференциального оператора, называется его шаблоном. [c.173]

Используя правую разностную производную по времени, получим [c.129]

X — Центральная разностная производная (> = ) аппроксимирует оператор со вторым порядком (аппроксимация второго порядка). Заметим, что если вместо -производной выбрать произвольную линейную комбинацию правой и левой производной [c.169]

Граничные условия (2.61) гл. 3 запишем, аппроксимируя оператор на внутреннем радиусе правой разностной производной [c.175]

Здесь производная по х заменена центрально-разностной, а производная по < — правой разностной производной. Отметим, что вычислительная сетка в данном случае не обязательно должна состоять из квадратных ячеек, так как к может и не быть равным к. Приняв г=к1к , получим для [c.121]

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному. [c.224]

В полученных уравнениях множители перед производными по X являются угловыми коэффициентами характеристик. Каждое из уравнений (3.62) — (3.64) аппроксимируется с помощью схемы левый уголок или правый уголок в зависимости от того, положителен или отрицателен угловой коэффициент соответствующей характеристики. Например, если характеристика расположена так, как на рис. 3.7, разностные уравнения имеют следующий вид [c.95]

Теория численных методов решения уравнений в частных производных представляет собой весьма обширный и достаточно сложный раздел математики, называемый теорией разностных схем, с которым можно познакомиться, например, по книгам [4, 14, 24, 26]. В данном учебном пособии основное внимание уделяется практическим вопросам построения и реализации на ЭВМ различных численных методик, а не их теоретическому исследованию и обоснованию. Как правило, будем ограничиваться лишь объяснением основных понятий, которые понадобятся в дальнейшем, причем некоторые вопросы рассмотрим не вполне строго с позиции математики. [c.70]

Для построения разностной схемы заменим в (3.33) производные разностными отношениями. Аппроксимация второй производной была рассмотрена в 3.1, соотношение (3.8). Первую производную в точке X Хп можно аппроксимировать левой или правой разностями с погрешностью О (Л) [c.84]

Эта формула называется центрально-разностной. Иногда при аппроксимации первой производной используются так называемые правые и левые конечно-разностные формулы, которые [c.481]

Этот метод получения конечно-разностных выражений основан на применении аппроксимирующей аналитической функции со свободными параметрами, которая строится по значениям в узлах сетки, а затем аналитически дифференцируется. Это обычный метод нахождения производных по экспериментальным данным. В идеале вид функции должен определяться приближенным аналитическим решением. Однако на практике обычно используются полиномы второго или третьего порядка. Полиномы высоких порядков часто приводят к неправдоподобным результатам. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется для получения решения вблизи границ, [c.94]

Уравнения теплопроводности составляются таким образом, что в первую половину промежутка At в правой части конечно-разностного уравнения производные по у являются [c.24]

Здесь — значения функции в узлах, расположенных в окрестности центральной точки, которой соответствует / у. Информацию о коэффициентах при у и т в конечно-разностных выражениях очень удобно представлять с помощью вычислительных шаблонов, являющихся диаграммами, показывающими, какой вклад вносят узлы сетки в рассматриваемую производную. На рис. 5.5 представлены вычислительные шаблоны для некоторых часто встречающихся производных. Из этих элементов строятся более сложные вычислительные шаблоны для дифференциальных уравнений. Сложение производных осуществляется суперпозицией соответствующих вычислительных шаблонов. Этим методом собраны вычислительные шаблоны для Д/ и (рис. 5.6). Все приведенные вычислительные шаблоны имеют погрешность порядка Следует отметить, что можно построить и более точные (имеющие меньшую погрешность) вычислительные шаблоны, если пользователь готов включить в рассмотрение дополнительные узлы. В основе всех построенных до сих пор вычислительных шаблонов лежит центрально-разностная аппроксимация. Иногда, чтобы свести к минимуму распространение ошибок, пользуются левыми или правыми разностями. Вычислительными шаблонами следует пользоваться с осторожностью, так как построенное с их помощью разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение в частных производных, при счете может оказаться неустойчивым. Разностная схема считается неустойчивой, если погрешность, каково бы ни было ее происхождение, с течением времени не убывает. Трудности, связанные с неустойчивостью разностных схем, особенно часто возникают в эволюционных задачах [c.110]

Кроме того, второе приближение явилось как бы связующим звеном для двух самостоятельных разделов механики сплошных сред физики ударных волн, использующей нелинейный аппарат конечно-разностных соотношений, и акустики, имеющей на вооружении математический аппарат нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Следует заметить, что при решении ряда проблем нелинейно-акустический и газодинамический подходы одинаково эффективны. В частности, правило равенства площадей может быть получено как с помощью интегральных соотношений на разрыве (см. гл. I, 4), так и предельным переходом Re- oo в решениях уравнения Бюргерса, (но не в самом уравнении ). [c.177]

Из примера видно, что погрешность аппроксимации определяется не только шагами сетки, но и величиной производных от точного решения исходной задачи, которые, конечно, не известны. А так как структура этой погрешности у различных схем, как правило, неодинакова, то на заданной сетке схема с высоким порядком аппроксимации может в принципе дать менее точное разностное решение, чем схема низкого порядка аппроксимации. Поэтому при априорном сравнении аппрокси- [c.36]

Центральным моментом разностной схемы является метод расчета производных ду/дз, дг/дз, дг/дд и др/дв, входящих в правые части уравнений (3.10), (3.11). Обратимся к разностной записи производных ди/дз и дг/дз. На рис. 3.1 представлена типичная зависимость V на контуре сопла от его длины в дозвуковой части [c.100]

Разностные формулы для производных более высокого порядка выводятся с использованием полиномов высших порядков. Выражения, полученные при помощи полиномов порядков выше второго, уже не идентичны выражениям, полученным разложениями в ряды Тейлора, и в каждом случае ошибка аппроксимации должна проверяться при помощи разложения в ряд Тейлора. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется только для вычислений значений производных вблизи границ (см. разд. 3.3.2). [c.44]

Для точности разностных решений при фиксированном шаге h или для увеличения шага h при фиксированной точности естественно использовать схемы высокого порядка аппроксимации. Однако для реального h увеличение к необязательно уменьшит правую часть (0.5), поскольку константа С сама может возрастать с ростом к как величина, ограничивающая высшие производные, входящие в погрешность аппроксимации. Например, для [c.5]

В оригинале — forward finite differen es. При переводе было принято название правые разности в соответствии с терминологией, используемой в отечественной литературе в настоящее время для разностных производных [8 ]. —Прим. ред. [c.206]

Важной особенностью разностной схемы является метод расчета производных dvjdx, drjdx, входящих в правые части уравнений (7.19) — (7.22). Запишем производные dv/dx и drJdx в разностном виде. На рис. 7.3 изображена типичная зависимость v на контуре сопла от его длины в дозвуковой части сопла. В области 1, соответствующей дозвуковому течению с малыми скоростями, изменение функции V невелико и ее производные малы. Наоборот, области //и [c.189]

При вычислении производных в крайних точках слоя х полагают равным Xi-i или д ,+, для левого и правого конца соответственно. В остальных точках слоя x = xi. При вычислении производных трехточечная разностная схема в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором, который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши в эллиптической области. Изложенная разностная схема имеет второй порядок точности по который обеспечивается итерациями по I. [c.190]

Перейдем от системы разностных уравнений к системе уравнений, содержащих ( в качестве неизвестных функций. Вначале выберем одну (любую) из входящих в разностные уравнения производных. После этого все уравнения разделятся на две группы 8 первую попадут уравнения, содержащие эту производную, во вторую — не содержащие. В уравнениях первой группы исключим выбранную производную и сравним левые части полученн%1х уравнений с левыми частями уравнений второй группы. При совпадении левых частей приравниваем правые части и получаем уравнения для 1. После исключения выбранной производной следствия уравнений первой группы и уравнения второй группы образуют новую систему разностных уравнений, в которой снова выбирается одна из частных производных, и вся процедура повторяется. [c.226]

Метод сеток, или метод конечных разностей, является эффективным инструментом теоретического изучения конвективных процессов. Основная идея метода такова. В области определения дифференциальной задачи выбирается конечное множество точек (узлов), называемое сеткой. Функции и производные в каждом узле приближенно заменяются (аппроксимируются) некоторыми линейными комбинациями значений соответствующих функций, входяищх в уравнения и краевые условия, в узлах сетки. В результате этих замен нелинейная дифференциальная задача ЕК сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций в узлах. Такую систему принято называть разностной задачей, или разностной схемой. Несмотря на нелинейность и большое, как правило, число неизвестных, разностная задача более предпочтительна для решения, чем исходная дифференциальная, так как допускает применение вычислительной техники. Найденное на ЭВМ решение разностной задачи (разностное решение) принимается за приближенное решение исходной задачи в узлах сетки. Оно имеет вид числовой таблицы, размер которой пропорционален количеству узлов. [c.28]

Важной особенностью разностной схемы является метод расчета производных ди/дх, дг1дх, входящих в правые части уравнений (2.52), (2.53). На рис. 2.7 представлена типичная зависимость и х) ыа контуре дозвуковой части сопла. В области I, соответствующей [c.84]

Система (2.72)... (2.75) решается следующим образом. Нетрудно видеть, что правые части уравнений являются функциями Wo, фо, Щ, Го и их производных по 0 при этом функции Uo S, 0) и Го(5, 0) и их производные по 0 известны из начальных условий. Поскольку на плоскости s = Sq заданы все искомые функции, в том числе Wo и фо, то систему (2.73), (2.74) можно проинтегрировать численно в направлении s, используя какую-либо разностную схему, вдоль нескольких плоскостей 0 = onst и определить на всей начальной поверхности ij3 = onst функции Шо(5, 0) и фо(5, 0), 3 затем из соотношений (2.72) и (2.75)—функции Vq, ро и ро- [c.72]

При вычислении производных в крайних точках слоя s полагается равным Si-1 или s,+i для левого и правого концов соответственно. В остальных точках слоя s=s,. Производные dp/dQ и dr/dQ вычисляются аналогичным образом. Однако при этом, по-видимому, целесообразно использовать трехточечную схему с постоянным шагом А0 на плоскости s= onst, который тем не менее. может изменяться от одной плоскости к другой. Очевидно, что формула (3.12) получена в результате дифференцирования интерполяционного полинома Лагранжа, проходящего через точки 5, 1, Si и s,+i. Трехточечная разностная схема при вычислении производных в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором в смысле Тихонова А. Н., который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши. Производная входящая [c.102]

При расчетах неравновесных течений приходится проводить численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый неравновесный релаксационный процесс. Кинетические и релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старщей производной, что существенно усложняет их численное интегрирование. К числу релаксационных относятся уравнения сохранения массы химической компоненты (1.15) для определения колебательной энергии (1.16) для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках (1.18) для определения массы конденсата в течениях с конденсацией. Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рунге — Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможен даже при использовании современных вычислительных мащин. [c.104]

Значения Р (г, г) находились в точках, принадлежащих окре-стности правого отверстия, с помощью численных методов. Для вычисления интегралов (130) от скоростей деформации ползучести использовалась квадратурная формула Гаусса с разбиением толщины оболочки на 6 интервалов (5 учлов) производные по координатам заменялись разностными соотношениями. Приращение меры упрочнения на шаге времени находилось в предположении постоянства скоростей деформации ползучести в пределах шага. [c.111]

Заметим, что выражение в квадратных скобках правой части уравнения (3.2) есть разностная аппроксимация второй производной a d uldx . Переходя к пределу сплошной среды, вместо (3 2) получим обычное волновое уравнение дисперсия при этом исчезает. Итак, в данном случае дисперсия — это следствие дискретности структуры твердого тела. [c.153]

Подставив зпачепне этих производных в (4. 0), (4,41) и проведя громо, Д1 ио, но несложные выкладки, можио показать, что правые части днфференциально-разностных уравнений (4.40), (4.41) совпадают с правы.мн частями урант1еинн симметричной схемы (см. (3.1), (3.2)). [c.394]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...