Разностная производная центральная

При 0 = 0,5 дифференциальный оператор Ьф аппроксимируется центральной разностной производной [c.44]

Для центральной разностной производной получим [c.270]

Центральная разностная производная определяется так [c.173]

Левая, правая и центральная разностные производные построены по. значениям функции в двух узлах, производная (14.5)—по значениям в трех узлах. Совокупность узлов, фигурирующих в разностном выражении того или иного дифференциального оператора, называется его шаблоном. [c.173]

Далее будем употреблять термины — значение в среднем слое ((), значение в верхнем слое ((+ (о) и в нижнем (/ — /о). Для аппроксимации производных во внутренних точках используются центральные разностные производные (14.3) гл. I. Пере- [c.644]

При = I f-производная называется центральной разностной производной д [c.162]

X — Центральная разностная производная (> = ) аппроксимирует оператор со вторым порядком (аппроксимация второго порядка). Заметим, что если вместо -производной выбрать произвольную линейную комбинацию правой и левой производной [c.169]

Аппроксимирующая алгебраическая система задачи получается при замене в уравнении Чаплыгина производных центральными разностными отношениями по схеме крест . Простейший итерационный процесс соответствует схеме простой итерации с переносом центральной точки пятиточечного шаблона в последующую итерацию (схема Якоби). Однако [c.116]

Здесь производная по х заменена центрально-разностной, а производная по < — правой разностной производной. Отметим, что вычислительная сетка в данном случае не обязательно должна состоять из квадратных ячеек, так как к может и не быть равным к. Приняв г=к1к , получим для [c.121]

НОЙ катастрофе. Классическим историческим примером здесь является явная схема Ричардсона для параболического уравнения теплопроводности, в которой использовались конечно-разностные аппроксимации производных центральными разностями как по пространственным переменным, так и по времени. О Брайен с соавторами [1950] показал, что эта схема безусловно неустойчива ). [c.18]

Помимо соотношений (1.2), (1.3), используют также центральную, или двустороннюю разностную производную [c.99]

Производные этих функций по координатам в соответствии с трехточечным вариантом численного дифференцирования заменим их центрально-разностными аналогами [c.319]

Примеры аппроксимаций. Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Это наиболее простой способ аппроксимации. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные (центральные) [c.77]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Эта формула называется центрально-разностной. Иногда при аппроксимации первой производной используются так называемые правые и левые конечно-разностные формулы, которые [c.481]

Это так называемая пятиточечная центральная разностная схема, аппроксимирующая первую производную с точностью, пропорциональной четвертой степени шага. [c.78]

Запишем эти соотношения в разностной форме, представив производную с той же точностью, что и в дифференциальном уравнении. Это можно сделать, использовав, например, центральные разности (3.45), (3.48), но тогда необходимо рассматривать законтурные точки (i = — 1 == + 1). При этом уравнения (3.57) примут вид [c.80]

Формулы (5.2) являются центральными для производных. Если воспользоваться ими для перехода от дифференциальных уравнений и краевых условий к конечно-разностным, то метод прогонки даст более точные приближения. Он удобен тем, что в нем при любой величине шага сетки решение сводится к раскрытию определителя четвертого порядка. Это позволяет, уменьшая последовательно шаг, получить точный результат. При этом длина I должна быть выбрана такой, чтобы отброшенная часть не влияла на критический параметр усилий (телшературы). [c.165]

В этой связи рассмотрим соотношение между конечно-раз-ностными и дифференциальными производными (рис. 2.2). Отличие конечных производных вперед, назад и центральных в соответствии с (2.14) от дифференциальной является функцией О (Дх). И тем не менее, несмотря на конечно-разностный характер разрешающих уравнений (2.17) использование дифференциальных соотношений, не следующих из принятой модели оболочки, дает достаточно устойчивые результаты. Это может быть следствием комплекса причин [c.22]

Выражения (6.28) и (6.29) представляют первую и вторую производные через конечные разности. Эти выражения называются центральными. разностями, поскольку они. содержат ординаты, относящиеся к точкам, лежащим по обе стороны от точки г. Можно также получить выражения, содержащие (помимо ординаты в точке i) ординаты, относящиеся к точкам, которые расположены или только справа, или только слева от точки i, Такие выражения называются разностями для интерполирования соответственно вперед или назад. Кроме того, в конечно-разностной форме можно представить и производные порядка выше второго. Однако конечно-разностных формул, приведенных выше, будет достаточно для определения прогибов балок ). [c.234]

Составим конечно-разностный аналог уравнений (23.2),предварительно введя новую переменную ф=—Дф (ф имеет смысл проекции вихря скорости на направление, перпендикулярное плоскости движения). Заменяя производные по времени односторонними разностями, а производные по координатам — центральными, получим [c.161]

При решении задачи численным методом использовалась прямоугольная сетка с постоянными шагами. Аппроксимирующая система алгебраических уравнений, как обычно в методе сеток, получалась заменой производных в уравнении Чаплыгина центральными разностными формулами второго порядка точности на гладких решениях. Решение алгебраической системы проводилось методом итераций по явной двухслойной схеме Якоби. Интегральное граничное условие на звуковой линии заменялось разностным условием для двух соседних итераций, аппроксимирующим исходное условие в сходящемся итерационном процессе. [c.106]

Здесь — значения функции в узлах, расположенных в окрестности центральной точки, которой соответствует / у. Информацию о коэффициентах при у и т в конечно-разностных выражениях очень удобно представлять с помощью вычислительных шаблонов, являющихся диаграммами, показывающими, какой вклад вносят узлы сетки в рассматриваемую производную. На рис. 5.5 представлены вычислительные шаблоны для некоторых часто встречающихся производных. Из этих элементов строятся более сложные вычислительные шаблоны для дифференциальных уравнений. Сложение производных осуществляется суперпозицией соответствующих вычислительных шаблонов. Этим методом собраны вычислительные шаблоны для Д/ и (рис. 5.6). Все приведенные вычислительные шаблоны имеют погрешность порядка Следует отметить, что можно построить и более точные (имеющие меньшую погрешность) вычислительные шаблоны, если пользователь готов включить в рассмотрение дополнительные узлы. В основе всех построенных до сих пор вычислительных шаблонов лежит центрально-разностная аппроксимация. Иногда, чтобы свести к минимуму распространение ошибок, пользуются левыми или правыми разностями. Вычислительными шаблонами следует пользоваться с осторожностью, так как построенное с их помощью разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение в частных производных, при счете может оказаться неустойчивым. Разностная схема считается неустойчивой, если погрешность, каково бы ни было ее происхождение, с течением времени не убывает. Трудности, связанные с неустойчивостью разностных схем, особенно часто возникают в эволюционных задачах [c.110]

Переходя к конечно-разностной аппроксимации, в выражениях (VII. 14) заменяем центральными разностями все пространственные и вторые по времени производные, а первые производные по с целью сохранения явной схемы аппроксимируем левосторонними двухточечными разностями. В результате получаем формулы, определяющие [c.197]

Согласно основной идее конечно-разностного метода решения дифференциальных уравнений заменим частные производные функций p(q , у) разностными отношениями. Применяя формулы центральных разностей, имеем [c.7]

Центральным моментом разностной схемы является метод расчета производных ду/дз, дг/дз, дг/дд и др/дв, входящих в правые части уравнений (3.10), (3.11). Обратимся к разностной записи производных ди/дз и дг/дз. На рис. 3.1 представлена типичная зависимость V на контуре сопла от его длины в дозвуковой части [c.100]

Аппроксимирующая система алгебраических уравнений для уравнения (4) получена заменой в дифференциальном уравнении производных центральными разностными формулами. Решение аппроксимирующей системы проводилось, аналогично плоскому случаю, методом итераций с прогонкой вдоль прямых г = onst. [c.120]

В соответствии с этим определением односторонние разностные производные (1.2), (1.. )) аппроксимируют произподную (1.1) с первым порядком, а центральная производная—со вторым. [c.100]

Граничные условия задачи выражаются в конечно-разностной форме. Для казкдой точки контура можно записать два граничных условия. В эти уравнения помимо значений прогибов внутри контура п па контуре входят значения прогибов в законтурных точках. В итоге получается система линейных алгебраических уравнений, пз которых определяются значения прогибов во всех узловых точках. Зная величины прогибов в каждой точке, можно определить, далее, через них вторые производные д и>1дх и д юЮу и, следовательно, величины изгибающих моментов Мх и Му. Точность полученных результатов решения задачи зависит от размера шага к. По мере уменьшения шага точность возрастает, но одновременно возрастает и число уравнений, которые нужно решать для определения прогибов в узловых точках. При замене производных конечными центральными разностями ошибка пропорциональна Поэтому точность вычисления быстро возрастает с уменыненпем шага. Вместе с тем примерно пропорционально 1/к возрастает число уравнений. [c.211]

Погрешность системы обыкновенных уравнений (46.26), заменяющих уравнение (46.13) в частных производных, определяется погрешностью от замены производных разностными отношениями. Обычно разности берут первые центральные, т. е. используют для аппрокси--чации в сечении д = г,- формулу Стирлинга первого порядка [c.327]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Здесь все производные и сама функция / соответствуют точке О Дхг, Ау1 — расстояния по осям х п у от точки О до точки i (рис. 3.4, а). Число соотношений (3.66) зависит от количества точек, расположенных вокруг центральной точки. Например, для четырехэлементной прямоугольной девятиточечной разностной схемы (рис. 3.5), где Ах-1= Ал , Ддга = Дл Дл з — = 0 Axg = — Длг ДлТд = — Дх [c.82]

Как указывалось выше, вычислительные шаблоны для данного дифференциального уравнения в частных производных можно видоизменить так, чтобы учесть неправильную форму границ pa мaтpнвae юй области. Для этого, записывая производные в центрально-разностной форме, следует учесть вклад узлов, лежащих на границе области. В качестве примера рассмотрим вы- [c.111]

Чтобы получить значения Ф в каждой точке временного интервала, необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (11.10). Существуют два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из них заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использовании конечных элементов, определенных теперь уже не в пространственной, а во временной области. Этот метод обсуждается в гл. 17 в связи с методом Галёркина. Здесь мы рассмотрим конечно-разностное решение. [c.205]

Учитывая, что в установившемся течении имеют место соотношения р.м, = и°>0 как следствия закона сохранения массы компонентов, схему можно упростить, исключив в ней р,. Кроме того, в качестве Д " в (9) рассмотрим центральную разпостщ> ю производную, т. е. Д <р =(ф(,-1 — ф 1)/2/1. В ре.зультате получим следующие разностные уравнения, в которых учтено, что в ударной волне м, >0 [13] [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...