Условия совместности деформаций, ем. уравнения совместности деформаций

Другой подход заключается в том, что за основные неизвестные функции принимают напряжения. Для их отыскания следует в первую очередь использовать дифференциальные уравнения равновесия (1.1). К ним присоединяют условия совместности деформаций (1.10). Чтобы можно было ими воспользоваться, нужно выразить в них по закону Гука деформации через напряжения. Подобная замена после ряда преобразований с использованием уравнений равновесия (1.1) приводит к так называемым уравнениям Бельтрами-Мичелла 1281. [c.20]

Региение по методу, развитому в работе [208], точно удовлетворяет граничным условиям и приближенно — уравнению совместности деформаций. [c.245]

Во всех предыдущих рассуждениях мы не касались условий совместности деформаций (уравнения (IV) главы IV), которые для изотропного тела при отсутствии объемных сил принимают форму уравнений Бельтрами (VII) (глава V, 36). Эти уравнения также должны быть удовлетворены однако важно отметить, что уравнения неразрывности деформаций (IV) оказываются следствием вариационного уравнения (11.51) и могут быть из него выведены ). Поэтому, применяя вариационное уравнение (11.51) нет надобности заботиться об удовлетворении условий совместности (неразрывности деформаций). [c.341]

Основная система, загруженная всеми нагрузками и реакциями всех опор, сохранённых и отброшенных, совершенно эквивалентна той статически неопределимой конструкции, из которой она получена при условии, что удовлетворены уравнения совместности деформаций. Эти уравнения составляются, исходя из тех ограничений, которые опоры статически неопределимой системы накладывают на деформации. Совместное их решение с уравнениями равновесия и определяет величины всех неизвестных. [c.91]

Указанные зависимости называются, как и в теории упругости, условиями совместности деформаций, таких условий три. Они могут быть получены путем составления уравнений Кодацци—Гаусса для деформированной срединной поверхности "с этой целью шесть коэффициентов квадратичных форм Е, F, О, Ь, М и Ы для срединной поверхности, испытавшей деформацию, должны быть выражены через параметры деформации е , 82, ш, Хз и т. Число коэффициентов квадратичных форм равно шести, так как главные координатные дтш и после деформации срединной поверх- [c.80]

Однако при таком подходе к проблеме сложность ее -все же оставалась бы очень большой. Поэтому вносят следуюш,ее упрощение не принимают во внимание условия совместности деформаций и, используя то обстоятельство, что число уравнений равновесия равно числу искомых функций, находят решение из одних уравнений равновесия. Разумеется, неиспользование уравнений совместности деформаций вносит искажение в отыскиваемое решение по сравнению с действительным решением проблемы безмоментной теории оболочек, так как совместность де( юрмаций в срединной поверхности оказывается нарушенной однако с таким несовершенством примиряются. При этом следует все же иметь в виду, что нарушения совместности деформаций тем значительнее, чем резче неоднородность кривизн срединной поверхности оболочки, чем ре че изменяются толщина оболочки и нагрузка. В частности, безмоментная теория не дает возможности установить характер напряженного состояния при воздействии сосредоточенных сил, во всяком случае в окрестности точек их приложения, а эти-то области и представляют наибольший интерес при расчете, так как они наиболее напряжены. [c.133]

Второе уравнение, необходимое для определения искомых неизвестных Pj и Рз, получим из условия совместности деформаций [c.235]

Второе уравнение составим исходя из условия совместности деформации. Под давлением р каждый болт получит некоторое дополнительное удлинен не 6. [c.197]

Функции ф, удовлетворяющие уравнению (7.18), носят название бигармонических функций. Пользуясь бигармоническими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют уравнениям равновесия и условиям совместности деформаций. Эти решения следует лишь удовлетворить заданным граничным условиям. Такой метод решения задач, когда решение задается, а граничные условия определяют характер внешнего воздействия, носит название обратного. [c.134]

Три уравнения (1.8) не дают однозначного решения, так как в них входят шесть неизвестных функций напряжений. Поэтому можно подобрать множество разнообразных решений уравнений (1.8), в которые войдет достаточное число произвольных постоянных, дающих возможность удовлетворить условиям на поверхности (1.3). Значит, всякая задача определения напряжений по внешним силам — статически неопределима. Для ее решения необходимо составить дополнительные уравнения совместности деформаций. [c.12]

Все задачи теории упругости основываются на решении приведенных систем уравнений. Если заданы все внешние сильи приложенные к телу, и требуется определить напряжения, деформации и перемещения, такую задачу называют прямой. Она. решается интегрированием системы уравнений (1.6), (1.9), (1.11),. (1.16). Если заданы перемещения, деформации или напряжения и требуется определить все остальные величины, входящие в систему основных зависимостей теории упругости, в том числе и силы, задачу называют обратной. Эта задача решается особенно просто, если заданы перемещения и требуется определить все остальное. В этом случае деформации находят из зависимостей (1.9) простым дифференцированием. Условия совместности деформаций (1.11), (1.12) будут при этом всегда удовлетворены. Для определения напряжений в теле используют зависимости (1.21) и (1.10), на поверхности тела — уравнения (1.3). [c.21]

Перемещения (и деформации) срединной поверхности пластины и и о выражаются через компонент перемещения ш, который должен быть задан и определен так, чтобы описывающая его функция была непрерывной. В этом случае все перемещения будут известными, уравнения совместности деформаций удовлетворены. Необходимо выполнить и условия равновесия (1.8). Два первых уравнения равновесия удовлетворены надлежащим выбором компонентов напряжений Ххг и Туг в 1У.4. Удовлетворим третье уравнение (1.8) [c.65]

При рещении задач в напряжениях за неизвестные принимаются компоненты напряжений Озс, Оу, Ог, Тжу, Хуг, Хх1, вместо щести соотношений (1.9) берут три условия совместности деформаций (1.11), совместно с уравнениями равновесия ( 111.20) и системой [c.107]

Принцип Кастильяно в интегральной форме выражает условия совместности деформаций тела. Если функционал Кастильяно выразить только через напряжения (о), то отвечающие ему уравнения Эйлера дадут для постоянных объемных сил уже знакомые нам уравнения Бельтрами (2.42) — условия совместности деформаций, выраженные через напряжения. [c.64]

Полученное уравнение хорошо известно в методе сил и выражает условие равенства нулю прогиба у шарнирной опоры. Оно является условием совместности деформаций данной простейшей статически неопределимой системы. [c.65]

Уравнение (4.19) или, что то же, (4.20) называется бигармоническим уравнением плоской задачи. Оно представляет собой условие совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений ф. [c.78]

Уравнения совместности деформаций в некоторых системах координат (условия Сен-Венана) [c.56]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Непосредственной проверкой легко убедиться, что при условии (9.82) первое уравнение удовлетворяется тождественно. Таким образом, условие совместности деформаций для данной задачи имеет вид (9.82). [c.245]

Второе уравнение можно получить из условий совместности деформаций. Одну из заделок отбрасываем (нижнюю) и заменяем реакцией Кв. [c.133]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Исследование проведем сразу на примере смешанной задачи (т. е. будем исходить из условий (1.2)). Рассмотрим множество тензоров, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и первому из условий (1.2). Обозначим это множество через /( ). Образуем теперь множество Кг тензоров, удовлетворяющих уравнениям совместности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами — Митчелла) ( 4 гл. И), причем соответствующие смещения должны удовлетворять первому из условий (1.2). [c.626]

Точно так же уравнения, вытекающие из условий совместности деформаций, будут формально совпадать с исходными уравнениями с заменой е /(л ,/) на гц р,х). Краевые условия в трансформантах таковы [c.666]

Для стержневой системы, изображенной на рис. 3.21, уравнение равновесия и условие совместности деформации имеют вид (3.37), (3.39). [c.76]

Это и есть условие (уравнение) совместности деформаций. Заменим здесь деформации через усилия согласно соотношениям упругости (17.23) и придем к уравнению совместности в усилиях d -Nx d -N,, /д- N,, а -Л Л [c.412]

Это условие совместности деформаций, полученное в результате исключения т е , Еу, е у функций перемещений и (х, у), v (х, у) и представляющее собой условие интегрируемости системы уравнений (19.2), если на них смотреть как на систему дифференциальных уравнений для определения функций и, v при заданных е. ., и у. Таким образом, из выражения (19.2) можно найти и, v только в том случае, если е ., е , г у удовлетворяют условиям совместности (19.4). [c.441]

Решение задачи в напряжениях строится на базе двух уравнений равновесия, записанных в виде (19.3) с привлечением условия совместности деформаций (19.4). С помощью соотношений упругости [c.441]

Соотношения Коши (19.2), уравнения равновесия (19.3) и условия совместности деформаций (19.4) для плоского напряженного состояния сохраняют свой вид таким же, как и в случае плоской деформации. [c.443]

Решение задачи в напряжениях. В этом случае к уравнениям равновесия (19.27) следует добавить условие совместности деформаций, выраженных через напряжения. Так как процедура получения уравнений совместности, состоящая в исключении перемещений и, V из выражений деформации (19.28), трудоемка, то получим уравнение совместности иным путем. [c.455]

Таким образом, dr согласно формуле (19.41) при / (ф), определяемом в виде формулы (19.42), и Оф = т ф = О удовлетворяет уравнению равновесия и условие совместности деформаций выполнено. При силе Pi, параллельной оси Ох, напряженное состояние симметрично относительно этой оси и, следовательно, в формуле (19.42) должно быть А 0. Таким образом, можно считать [c.459]

Уравнение совместности деформаций получается из условия, что удлинение болта, сложенное с укорочением трубки, должно равняться перемещению гайки [c.57]

Для определения 15 неизвестных функций имеется 15 основных уравнений (3 уравнения равновесия, 6 уравнений — соотношения Коши и 6 уравнений закона Гука). Кроме того, найденные напряжения, перемещения и деформации должны удовлетворять статическим условиям на границах тела и условиям совместности деформаций. [c.53]

Решение плоской задачи в перемещениях сводится к отысканию таких функций перемещений и г, 0), у(г, 0), которые бы удовлетворяли уравнениям равновесия (5.10), (5.11) и условиям на границах тела. При решении задачи в перемещениях условия совместности деформаций удовлетворяются тождественно. [c.93]

Можно доказать, что уравнения совместности деформаций являются необходимыми условиями для возможности определения перемещений по заданным компонентам деформации. Если рассматривается односвязанное тело, не имеющее сквозных полостей, то условия Сен-Венана оказываются достаточными для этой цели. Для многосвязанного тела условия Сен-Венана также позволяют определить перемещения (и, V, т), однако, в этом случае эти перемещения могут представиться как многозначные функции от X, у, г, и требуется введение дополнительных условий. Уравнение совместности деформаций всегда удовлетворяется, если найденные компоненты тензора деформаций имеют постоянное значение и являются функциями декартовых координат (так как вторая производная будет равна нулю). [c.16]

Это условие совместности деформации. Силы Ny, N2, N3 связаны с удлиг ением соотношениями (3.38), а уравнения равновесия имеют вид (3.37). Опять — N3 к Д/г = Д з- Заменив Д/i и Д/.j в условии совместности их значениями Ni и согласно (3.16) или (3.3S), получим [c.68]

По условию задачи а, - 2 Составляем уравнение совместности деформаций d( = AljOB = b jO . [c.176]

Для нелинейных тензоров деформаций efjt, sfj аналога уравнений (3.77) совместности линейных деформаций не установлено. Условия совместности в случае конечных деформаций представляют собой более сложные нелинейные соотношения, [c.75]

Когда граничные условия сформулированы в напряжениях, то для решения задач все необходимые уравнения выражают в напряжениях. Представим уравнения совместности деформаций через напряжения при постоянных объемных силах. Это уравнения Бельтрами—Митчела. Преобразуем первое уравнение (1-11) [c.23]

Как видим, непосредственное использование принципа Кастиль-яно позволяет получать уравнения совместности деформаций для статически неопределимых систем без обраш ения к геометрической трактовке этих условий. [c.65]

В уравнениях деформационного типа (16.8.5) остается один неопределенный параметр А,. Эта неопределенность есть неизбежное следствие жесткого предположения о том, что напряженное состояние изображается точкой ребра призмы пластичности. Такое условие ограничивает выбор возможных напряженных состояний. Для того чтобы при этом были выполнены условия совместности деформаций, необходимо иметь известную кинематическую свободу. Но с другой стороны, можно привести примеры, когда вывод о неопределенности деформации на ребре поверхности нагружения противоречит опыту и, может быть, здравому смыслу. Так при простом растяжении или сжатии в направлении оси поперечные деформации могут быть произвольными, jjHHib бы выполнялось условие постоянства объема. Этот неприемлемый результат представляет собою неизбежное следствие слишком далеко идущей идеализации. Реально можно было бы [c.556]

Пример 9.1. Решенную ранее с привлечением уравнений равновесия, закона Гука и условий совместности деформации задачу о трехстержневой статически неопределимой ферме решим с использованием принципа возможных перемещений. При этом обратим внимание на то, что ныполнеггие условий принципа возможных перемещений сводится к априорному выполнению условий совместности деформаций, а выполнение уравнений статики при этом является естественным следствием выполнения условия (9.5). Условия совместности деформаций для трехстержневой системы, показанной на рис. 3.19, запишется в виде уравнения (3.39). При этом [c.192]

Эта система двух уравнений в частных производных содержит две искомые функции и х, у), v (х, у), для решения которой необходимо поставить соответствующие постановке конкретной задачи краевые условия. Такой путь решения называется реишнием в перемещениях. Другой путь решения, когда искомыми являются усилия Nx, Ny, Nxtj, называется решением в усилиях и состоит в следующем. Два уравнения равновесия (17.23) содержат три искомые функции Nx, Ny, Nxy, поэтому система уравнений (17.23) дополняется еще одним — уравнением совместности деформации. Исключим из линеаризованных выражений для деформации (16.14) функ- [c.411]

Так как условия совместности деформаций при этом выполнены, то перемещения могут быть легко определены путем иптегрирова-1 ия системы уравнений (плоское напряженное состояние) [c.446]

При решении задач теории упругости в напря5кениях необходимо отыскивать такие функции напряжений, которые бы не только удовлетворяли уравнениям равновесия (уравнениям Навье), статическим граничным условиям, но также и условиям совместности деформаций. В связи с этим уравнения совместности деформаций Сеп-Венана необходимо представить в напряясениях. [c.55]

Таким образом, в случае плоской деформации решение задачи теории упругости существенно упрощается, так как от трехмерной задачи мы переходим к двумерной. В самом деле, поскольку Ег = Цхг = Ууг = О, а следовательно, и Ххг = = Хуг — д z/дz = 0, а таклге 2 = 0, то из трех уравнений равновесия Навье (1.16) остаются только первые два, а из шести условий совместности деформаций Сен-Венана (1.29) — только одно первое. Все остальные уравнения удовлетворяются тождественно. Задача сводится к отысканию напряжений щ, Оу, Хху, деформаций Ех, Еу, Уху из уравнений теории упругости, удовлетворяющих граничным условиям. Затем во вторую очередь определяется напряжение Ог = = р(о1 + щ). [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...