Уравнения Кодацци — Гаусса

Уравнение Кодацци и Гаусса 1 (1-я) — 219 [c.200]

Шесть компонентов деформации, как видно из (4.23) —(4.19), выражаются через три перемещения, поэтому они зависят друг от друга. Эта зависимость дается уравнениями Кодацци и Гаусса ....... [c.28]

Уравнения (4.50) называют уравнениями Кодацци, а уравнение (4.51) — уравнением Гаусса. Это последнее уравнение, которое можно переписать в виде [c.230]

Ада Ri Ч sap R., Уравнения Кодацци—Гаусса [(см. (4.50), (4.51)] [c.231]

Первые два уравнения носят название уравнений Кодацци, третье уравнение — уравнение Гаусса. Задание шести коэффициентов первой и второй квадратичных форм, удовлетворяющих уравнениям (2.13), определяет поверхность с точностью до положения ее в пространстве. [c.22]

Уравнения Кодацци—Гаусса [c.15]

Первые два из них носят название уравнений Кодацци, а последнее — уравнения Гаусса. Наиболее важным является уравнение Гаусса, к геометрическому смыслу которого нам еще придется вернуться. [c.17]

Тот факт, что в теории оболочек число уравнений неразрывности деформаций оказалось равным трем, очевиден. Уравнения, вытекающие из (4.27.2), можно было бы получить и другим путем, выразив в уравнениях Кодацци— Гаусса (1.3.8) коэффициенты первой и второй квадратичной форм деформированной поверхности А , А 2, Ln, L12, Ш через коэффициенты первой и второй квадратичной форм недеформированной поверхности А i, А2, L11, L22 и компоненты деформации ei, w, > i, т, Xj. Таким методом уравнения неразрывности и были впервые получены в [361. [c.55]

Если, как мы предполагаем, кривизна рассматриваемой поверхности равна нулю, то одна из величин или должна обратиться в бесконечность. Пусть (как в цилиндре и конусе) / i = со. Тогда уравнения Кодацци— Гаусса (1.5.5) примут вид [c.157]

В эквивалентности (2.39) и (2.40) нетрудно убедиться, если воспользоваться уравнениями Кодацци—Гаусса [П] [c.76]

Выше уже говорилось о том, что коэффициент первой и второй квадратичных форм, являющиеся функциями координат и а . не могут быть независимыми, т. е. не всякой совокупности, шести функций двух переменных соответствует некоторая поверхность. Коэффициенты двух квадратичных форм должны удовлетворять трем уравнениям, носящим название уравнений Кодацци—Гаусса [c.38]

Условия, из которых выводятся уравнения Кодацци—Гаусса, имеют следующий вид [c.38]

В случае, если поверхность отнесена к неортогональным несопряженным криволинейным координатам, то уравнения Кодацци— Гаусса в принципе выводятся аналогично, но получаются сложнее, так как в упомянутых координатах все шесть коэффициентов двух квадратичных форм (Е, Р, д, Ь, М, М) не равны нулю и входят в эти уравнения. Не приводя вывода уравнений Кодацци—Гаусса в случае неортогональной несопряженной системы координат, покажем их окончательный вид [здесь учтены формулы (23), в которых Е, Р нО выражены через А , и %] [c.41]

Указанные зависимости называются, как и в теории упругости, условиями совместности деформаций, таких условий три. Они могут быть получены путем составления уравнений Кодацци—Гаусса для деформированной срединной поверхности "с этой целью шесть коэффициентов квадратичных форм Е, F, О, Ь, М и Ы для срединной поверхности, испытавшей деформацию, должны быть выражены через параметры деформации е , 82, ш, Хз и т. Число коэффициентов квадратичных форм равно шести, так как главные координатные дтш и после деформации срединной поверх- [c.80]

В таком случае вид любой деформированной поверхности с точностью до положения ее в пространстве определяется шестью функциями двух координат и а такими функциями являются коэффициенты двух квадратичных форм Е, Р, О, Ь, М и М, которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям Кодацци—Гаусса. Однако вовсе не обязательно представлять поверхность при помощи именно этих шести функций. Вместо них можно взять другие шесть функций, связанные с Е, Р М. [c.82]

Условия интегрируемости (1.54) дают три векторных равенства. Разлагая векторы Г1, Гг и п и сравнивая коэффициенты при них, приходим к девяти скалярным уравнениям, которые связывают между собой а р и бар, их производные. Среди этих девяти уравнений существенными являются только три формула Гаусса и Петерсона— Кодацци. Формула Гаусса выражает один из важнейших результатов теории поверхностей, а именно полная кривизна поверхности выражается с помощью метрических коэффициентов первой квадратичной формы и их производных. Кривизны поверхности и к при изгибании меняются по отдельности, а величина К=к к2 остается неизменной. Если задана первая квадратичная форма, то вторая квадратичная форма выбирается не про-извольно, а связана с первой квадратичной формой соотношениями [c.30]

С точки зрения теории аффинного подобия необходимо установить, можно ли считать масштабы (5г)ц и Ri)o произвольными и задавать их независимо друг от друга. Для ответа на этот вопрос рассмотрим уравнения, связывающие между собой параметры Ламе Ai и главные кривизны 1/i . поверхности, криволинейные координаты ОС которой отнесены к линиям кривизны. Эти уравнения известны в теории поверхностей в качестве соотношений Кодацци—Гаусса [62] . [c.112]

Основываясь на уравнениях Гаусса и Петерсона—Кодацци, получаем соотношения для кривизны К в функции от Л для торсов. Имеем [c.31]

УРАВНЕНИЕ ГАУССА, УРАВНЕНИЯ ПЕТЕРСОНА - КОДАЦЦИ [c.107]

Все полученные в п. 4.4 значения коэффициентов первой и второй квадратичных форм торсов подчиняются двум уравнениям Петерсона — Кодацци (4.44) и уравнению Гаусса (4.45). [c.109]

Из уравнений Гаусса—Кодацци [27, 40, 118] для главных кривизн с учетом (2.17) находим [c.88]

Остается определить через те же четыре функции перерезывающие усилия ini 7 j . Их можно получить, если исключить из первых двух уравнений системы (1.92), моменты с помощью формул (1.96) и (1.98) Тогда (после преобразований с учетом соотношений Кодацци—Гаусса) придем к формулам [c.42]

Подстановка соотношений (1.166) в левые части первых двух уравнений (1.165) с учетом соотношений Кодацци—Гаусса приводит к равенствам [c.69]

Окончательным результатом такой подстановки будет (после некоторых преобразований с учетом соотношений Кодацци— Гаусса) уравнение [c.70]

Получим уравнения неразрывности срединной поверхности. Наиболее естественным путем было бы варьирование соотношений Кодацци—Гаусса (5.25). Изберем, однако, несколько иной путь, приводящий к некоторым полезным соотношениям. Для этого развернем очевидные тождества [c.285]

Складывая затем левые и правые части полученных равенств и используя соотношения Кодацци—Гаусса (6.157), получаем после несложных, но довольно громоздких преобразований первое из следующих уравнений [c.347]

Еще три уравнения дают соотношения Кодацци—Гаусса (10.79), записываемые с учетом (14.22) и (14.236) в виде [c.208]

Воспользовавшись одним из уравнений Гаусса-Кодацци [57], получим (2). Продифференцируем теперь уравнение вихря (1) [c.237]

Учитывая, что для оболочки вращения параметры Лямэ А 2 = г, = 6 = ф А (1а = [ ц, а также соотношения Гаусса—Кодацци, получим матричное уравнение для определения матрицы-столбца деформаций оболочки [c.101]

Уравнения неразрывности деформаций для пологих оболочек (уравнения Кодацци — Гаусса для деформированного состояния), где отброигены члены с множителями kj, и k [69] имеют вид [c.252]

Так же, как и в других задачах теории упругости, условия совместности деформаций (5.34) используют только при решении задач в усилиях-деформациях. При решении задач в перемещениях эти условия выполняются тождественно. В этом можно убедиться, подставив в уравнения (5.34) выражения деформацид и параметров изменения кривизны согласно формулам (5.33). При преобразованиях следует воспользоваться уравнениями Кодацци—Гаусса [c.241]

Еще три уравнения дают соотношения Гаусса-Кодацци (1.5.14), за-письшаемые с учетом равенств (2.5)г и (2.4) в виде [c.155]

Одно из этих трех уравнений получил К. Гаусс. Два других уравнения выведены К. М. Петерсоном (1853 г.), при этом на 4 года раньше итальянского математика Г. Майнарди (1857 г.) и на 15 лет раньше другого итальянского математика Д. Кодацци (1868 г.), придавшего им современную форму. Однако в литературе по теории оболочек за этими уравнениями без достаточного основания утвердилось название уравнений Кодацци. [c.38]

Схема вывода уравнений совместности деформаций такова используются уравнения Кодацци—Гаусса (53) и (54) их рассматриваем как уравнения, соответствующие срединной поверхности оболочки, испытавшей деформацию в связи с этим йеобходимо подставить в (53) и"(54) вместо величин А , Ац, х, и N величины л . А, X, 1 , М и N. [c.81]

Эти другие шесть функций также должны удовлетворять уравнениям Кодацци—Гаусса, которые лишь подвергнутся преоб )азова-нию в них вместо , Р, , Ы нужно подставить их выражения через новые шесть функций. В качестве таких шести функций, при помощи которых удобно описывать деформированную поверхность, принимаются е , 83, со, и т. Каждая из них зависит от двух аргументов и а . Функциям 8 , 8 ,. . . , т легко дать трактовку 8 и представляют собой относительные ликейные деформации элементов нормальнь х сечений, проведенных в рассматриваемой точке срединной поверхности оболочки вдоль направлений координатных линий и со — сдвиг между указанными элементами Хх и щ —изменения кривизн нормальных сечений, проведенных в направлениях координатных линий и а т — параметр, характеризующий кручение поверхности в окрестности рассматриваемой точки. Шесть функций е , г , со, х , Ха и т, характеризующие деформированную срединную поверхность оболочки, называются параметрами деформации оболочки, три из, них (81, 8з и со) называются параметрами тангенциальной деформации-. они по своей природе аналогичны компонентам деформации Ву и Уху в плоской задаче теории упругости. Три других параметра деформации (хх, х и т) в некотором смысле аналогичны параметрам, описывающим изгибную и крутильную деформации стержня. [c.83]

Применяя уравнения Кодацци—Гаусса [условия совместности функций Е = Р = Л 12 = Л ЛаСоз X, О = ИУ. Ь М, Ы ] к срединной поверхности оболочки, испытавшей деформацию [уравнения (53) и (54)], и заменяя в них А и А а и Л Ь, М и N их выражениями через параметры деформации 81, 8а, со, Хх, 2 и т [формулы (57—60) и (23)], получаем условия совместности параметров деформации 81, 82,..., т, или, иначе, условия совжстности деформаций. Таких условий три [уравнения (119)]. [c.84]

Таким образом, хотя соотношения Кодацци—Гаусса позволяют считать маспттабы Rq для пологих поверхностей независимыми, система дифференциальных уравнений теории пологих оболочек оказывается инвариантной по отношению к аффинным преобразованиям подобия лишь в том случае, если масштабы /д, ho, связаны дополнительными условиями в форме (6.25). [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...