Резонанс в линейных системах

Математическое описание параметрического резонанса в линейных системах производится с помощью линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами [c.133]

Шейнин И. С. О пусковых резонансах в линейных системах. — В кн. Исследования по динамике сооружений и расчету конструкций на упругом основании. М Стройиздат, 1961, с. 58 — 60. [c.187]

Реакции химические 124, 285 Резонанс в линейных системах 20. 21 [c.307]

В примере с маятником переменной длины изменения последней вызываются силой Р. Работа этой силы положительна при уменьшении длины маятника и отрицательна при увеличении. Если при периодических изменениях силы Р ее положительная работа больше отрицательной, то энергия, поглощаемая маятником, будет расти и размахи его увеличиваться. Возникнет эффект, аналогичный по своим внешним проявлениям явлению резонанса в линейных системах. Так как этот резонанс вызывается изменением одного из параметров системы — длины маятника, он называется параметрическим резонансом. [c.561]

Отметим, что в линейной колебательной системе при выполнении условия параметрического возбуждения колебаний (условия параметрического резонанса) происходит неограниченное нарастание амплитуды возбужденных колебаний. Это связано с тем, что и потери, и вложение энергии в данном случае пропорциональны квадрату амплитуды колебаний (пропорциональны колебательной энергии системы). Для вынужденных колебаний в линейных системах при силовом воздействии вложение энергии пропорционально первой степени амплитуды колебаний, а потери по-прежнему пропорциональны квадрату амплитуды, что приводит к образованию конечной амплитуды вынужденных колебаний. [c.132]

В линейной системе с одной степенью свободы резонанс (единственный) наступает при [c.140]

Лишь в случае линейности системы при щ = р не существует конечной амплитуды стационарного вынужденного движения, а будет иметь место непрерывное возрастание амплитуды вынужденного колебания и соответствующий рост запаса колебательной энергии системы за счет работы, производимой силой внешнего воздействия. Это и есть то явление, которое мы называем линейным резонансом в консервативной системе. Очевидно, что характер его протекания принципиально изменится при введении в рассмотрение любого сколь угодно малого затухания. При невыполнении условий резонанса учет малого затухания должен вносить лишь небольшие количественные поправки. [c.142]

Приведем некоторые типичные примеры потери корреляции в линейных системах. Начнем с простейшей системы с одной степенью свободы. Несмотря на простоту, она играет большую роль в практических расчетах колебаний машинных конструкций, так как является моделью сложной линейной механической структуры в окрестности ее изолированного резонанса [282]. [c.101]

Предварительные замечания. В своей практической деятельности инженеру часто приходится сталкиваться с резонансом силового происхождения, который в линейных системах имеет место при совпадении какой-либо гармоники возмущающей силы с одной из собственных частот. Параметрический резонанс, возникающий при определенной пульсации параметров системы (например, приведенной массы или жесткости), требует достаточно тонкой частотной настройки и встречается значительно реже, поэтому нередко расценивается как несущественное и маловероятное побочное явление. Между тем, практика эксплуатации многих машин свидетельствует о том, что параметрический резонанс в ряде случаев не только является источником нарушений нормального функционирования механизмов, но может также приводить и к серьезным авариям, угрожающим безопасности обслуживающего персонала. В п. 16 мы уже упоминали об этом явлении, связанном с нарушениями условий динамической устойчивости. [c.245]

Представляет также интерес точка характеристики = ( I)l соответствующая значению i=l, другими словами, соответствующая резонансу обычной линейной системы (tni, ki). Нетрудно видеть, что при 1 величины А- со, В— со и формула (9.26) не дает определенного значения для i. Оказывается, что при этом [c.334]

Интересно отметить, что решения (6), (7) и критерии устойчивости (8) распространяются также на случай параметрической системы с линейной упругой силой (у = 0). Как известно, решение задачи о параметрических колебаниях в линейной системе без учета свойств источника энергии позволяет установить лишь условия возникновения колебаний и определить границы области параметрического резонанса. Амплитуда колебаний остается неопределенной, обычно указывается, что она может неограниченно возрастать. [c.91]

Резонанс в линейных колебательных системах с несколькими степенями свободы. Колебат. системы с иеск. степенями свободы представляют собой совокупность взаимодействующих осцилляторов. Примером может служить пара колебат. контуров, связанных за счёт взаимной индукции (рис. 4). Вынужденные колебания в такой системе описываются ур-ниями [c.309]

Уравнения (59) и (60) имеют решение < = О, соответствующее положению равновесия системы Как и в линейных системах, параметрическое возбуждение может вызвать неустойчивость этого положения равновесия и появление колебательного процесса, называемого параметрическим резонансом. Однако, в отличие от линейных систем, параметрические колебания нелинейной системы обычно оказываются ограниченными по амплитуде, в системе устанавливается некоторый периодический процесс [c.169]

В настоящем параграфе проведен аналогичный анализ поведения собственных чисел линейных симплектических преобразований фазового пространства любого числа измерений. Результаты этого анализа (принадлежащего М. Г. Крейну) применяются при исследовании условий возникновения параметрического резонанса в механических системах со многими степенями свободы. [c.197]

Из результатов 25 следует, что условия возникновения параметрического резонанса в линейной канонической системе с периодически меняющейся функцией Гамильтона состоят как раз в том, что соответствующее симплектическое преобразование фазового пространства перестает быть устойчивым. Из доказанной [c.200]

В предыдущей главе мы познакомились с явлением резонанса в его простейшей форме — внешним резонансом в линейном осцилляторе. Если система не столь проста, например, обладает несколькими степенями свободы, возможен другой эффект, такой, как внутренний резонанс — резонанс между отдельными подсистемами. Как мы увидим, в результате внутреннего резонанса отдельные подсистемы (их называют парциальными) обмениваются энергией друг с другом, т. е. это уже взаимодействие подсистем. Очевидно, что внешний резонанс можно рассматривать как частный случай внутреннего, если энергию одной из подсистем считать бесконечной. При этом будет уже не взаимодействие, а просто воздействие одной подсистемы на другую. [c.38]

Что может быть качественно нового в нелинейном осцилляторе при резонансе В линейном осцилляторе резонанс есть только на частоте, близкой к собственной, т. е. при Q, = шо + s. Для нелинейного же есть резонанс и на гармониках например, квадратичная нелинейность oj ах) приводит к появлению в нелинейной системе спектральных компонент 2i], 4i] и т. д. Следовательно, если, например, 2П и Wo, то в системе будет резонанс на гармонике внешней силы. [c.285]

Во второй — пятой главах рассмотрены задачи теории гамильтоновых систем и ее приложений. Вторая глава посвящена линейным гамильтоновым системам. Приводятся результаты Ляпунова об устойчивости линейных гамильтоновых систем с постоянными или периодическими коэффициентами. Для устойчивых систем в случае простых корней характеристического уравнения строятся конструктивные алгоритмы приведения системы к нормальным координатам. Тут же приводится теорема Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем и рассматривается задача о параметрическом резонансе в гамильтоновых системах, содержащих малые периодические возмущения. В последнем параграфе второй главы получены области параметрического резонанса в первом приближении по малому параметру и приведены необходимые расчетные формулы. [c.11]

Прежде всего заметим, что в линейной системе возможен параметрический резонанс [c.221]

При гармоническом возмущении в линейных системах с одной степенью свободы имеется только один резонанс, для которого частота возмущения приближенно или точно равна собственной частоте осциллятора. В нелинейных системах, наоборот, возможны многочисленные другие типы резонанса. Покажем это на примере недемпфированного осциллятора, причем возьмем довольно общий случай, когда возмущающая функция состоит из двух гармоник [c.245]

Обычный резонанс в линейной консервативной системе [c.310]

Пусть движение системы описывается однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, имеющими одинаковый период. Параметрический резонанс в ней возникает тогда и только тогда, когда реализуется какой-либо из следующих случаев [c.244]

Если рассеяния механической энергии нет и вынужденные колебания вызываются синусоидальной возмущающей силой, то амплитуда вынужденных колебаний при резонансе в системе, движение которой определяется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, возрастает прямо пропорционально времени. [c.309]

В линейной колебательной системе равномерно воспроизводится только ограниченная область спектра, лежащая вблизи резонансной частоты (в полосе резонанса ), причем эта область тем шире, чем больше затухание системы. Отсутствие искажений свидетельствует о том, что вся область спектра, в которой плотности амплитуд значительны, лежит внутри полосы резонанса наличие искажений указывает на то, что вне полосы резонанса лежат области спектра с значительными плотностями амплитуд. Но мы убедились, что при т < д искажений не возникает, а при Т, сравнимом с fl, искажения значительны. [c.625]

Для нелинейных систем (в отличие от линейных) неприменим принцип суперпозиции, и поэтому не представляется возможным разделить в результирующем процессе компоненты, вызванные отдельными составляющими внешнего воздействия. Это обстоятельство чрезвычайно усложняет анализ вынужденных процессов в нелинейных системах даже в консервативном приближении и делает не вполне корректным рассмотрение случая прямого силового воздействия без учета одновременного воздействия на параметры системы. В самом деле, если учесть, что вынужденный периодический процесс, обязанный своим происхождением прямому воздействию, вызывает в свою очередь периодическое изменение параметров нелинейной системы, то становится ясным, что результирующие резонансные явления могут иметь весьма сложный характер. Частотные соотношения, при которых происходят резонансные явления, также будут задаваться условиями нелинейных прямого или параметрического резонансов. Эти обстоятельства не позволяют для нелинейных систем полное разделение двух упомянутых типов резонансных явлений. Поэтому представляется разумным, выделяя случай чисто параметрического резонанса, не противопоставлять ему случай силового, или прямого, резонанса для нелинейной системы. Можно лишь классифицировать виды воздействия, связанные с различными способами внесения энергии в систему, что является определяющим для протекания резонансных явлений. [c.141]

В линейной неконсервативной системе при параметрическом резонансе происходит неограниченный рост амплитуды, так как и вложение, и потери энергии пропорциональны квадрату амплитуды и только в нелинейной системе происходит ограничение колебаний. [c.143]

Теория колебаний. Как мы видели, эта теория позволяет найти спектр собственных частот свободных колебаний упругой системы. Если частота возмущающей силы совпадает с одной пз собственных частот свободных колебаний, наступает резонанс. Для линейно-упругого тела в постановке линейной теории упругости амплитуды вынужденных колебаний становятся бесконечно большими. На самом деле так не бывает. Во всех материалах существует внутреннее трение. Теория упругих колебаний с затуханием, пропорциональным скорости, рассматривается в курсах теоретической механики, основной качественный результат состоит в том, что резонансная амплитуда конечна. В реальных материалах внутреннее трение подчинено более сложным законам, даже если его можно считать линейным (см. гл. 17), но качественный результат остается тем же. Поэтому резонансы на высоких гармониках, как правило, не страшны. Для турбинных лопаток, например, гармоники выше пятой-шестой во внимание не принимаются. Но резонанс на основном тоне или на первых гармониках может считаться причиной неминуемого разрушения. Отмеченные два аспекта мы зафиксировали, но далее развивать не будем. [c.652]

При равенстве частот а и сос в механической системе возникает резонанс — происходит рост амплитуд обобщенных координат. Всего возникает k резонансов. Каждый из k динамических коэффициентов имеет к областей возрастания значений р/. Если исследуются колебания системы без учета сопротивления, то наступлению резонанса соответствует обращение в нуль знаменателя в формуле для р и неограниченный рост амплитуд обобщенных координат. Выше уже пояснялось, почему на самом деле рост амплитуд ограничен (неправомочность линейных уравнений и необходимость использования нелинейных уравнений, решение которых не растет неограниченно. К тому же к ограниченному росту амплитуд обобщенных координат в резонансных областях приводит и наличие сопротивлений, что обнаруживается при применении и линейной теории). [c.143]

Произведем подобную оценку для режима движения, соответствующего состоянию резонанса линейной системы. Подставляя в (8.53) значение) = Я л/4, получим при Z, = 1 [c.312]

Здесь особый интерес представляет случай, когда Л = 0. По аналогии с линейными системами его можно рассматривать как случай резонанса виброударной системы. Величина А оказывается равной нулю при частоте возбуждения со, равной частоте свободных колебаний ш, определенной в предыдущем параграфе. При этом А = А (см. (9.17)) и соответствует величине L = 0. [c.334]

Возвращаясь к уравнению (2.32), полученному для случая пружины с уменьшающейся жесткостью, можно также построить характерный график частотных характеристик, используя описанный выше прием. На рис. 2.13, а представлены применительно к данному случаю график кубической параболы и семейство соответствующих правой части уравнения (2.32) прямых для ряда значений (uip. Как линия 1, так и линия 2 имеют по три точки пересечения с графиком кубической параболы, линия 3 имеет одну точку пересечения и одну точку касания, а каждая из прямых 4 а 5 имеют по одной точке пересечения с кубической параболой. Точкам А—J на рис. 2.13, а соответствуют точки А —J на рис. 2.13, б. В этом случае график частотной характеристики имеет вертикальную касательную в точке Я, и критическая частота возникает в том случае, когда частота возмущающей силы имеет меньшую величину, чем частота резонанса в линейной системе (соьр < р). [c.159]

Переходя к резонансным явлениям при параметрическом воздействии — параметрическому резонансу, можно также отметить ряд их особенностей. Прежде всего следует обратить внимание на то, что при параметрическом воздействии существует другой, чем при прямом, ряд частотных соотношений, при которых наблюдаются резонансные явления. При чисто параметрическом воздействии даже в линейной системе резонансные эффекты возникают при (и пр12, где п=, 2, 3,. .. [c.140]

Вынужденные колебания и резонанс хорошо изучены в линейных системах с постоянными параметрами, для которых, как правило, и дается его определение. В системах же с изменяющимися параметрами с понятием резонанса дело обстоит сложнее, его уже нельзя определять через гармонические функции. Впервые на то обратил внимание Л.И. Мандельштам [3.29,3.39], отметивший, что в системах с переменными параметрами синусоидальные функции теряют свое преимущество и в них физическую роль играют другие функции. В 1934 году Г.С. Горелик показал [3.19], что в сосредоточенных параметрических системах физически вьщеленную роль играют функции Хилла, описывающие собственные колебания нестационарной системы. Именно на такие функции они резонансно откликаются и их же отфильтровывают из произвольного внешнего воздействия. [c.113]

Математической основой теории резонанса в сосредоточенных системах с периодически изменяющимися параметрами служит, по существу, известная теорема А.М. Ляпунова [3.49] о том, что любая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами может быть преобразована в систему линейных же уравнений с постоянными коэффициентами при помощи невырожденного линейного преобразования. Она позволяет в принципе перенести все известные результаты теории резонанса для систем с постоянными параметрами на системы с периодически изменяющимися параметрами. Для уравнений же в частных производных подобная теорема в общем случае не доказана. Однако, применительно к рассматриваемому классу систем, ее доказательство заключается в существов ании невырожденных инвариантных преобразований (3.6), сводящих решение волнового уравнения с условиями на движущихся границах к решению такого же уравнения с условиями на неподвижных границах [3.4Г. [c.114]

Поскольку в линейной системе амортизируемый прибор и основание колеблются с одинаковой частотой возбуждения р, коэффициент вибронзоляции (перегрузки) в резонансе будет равен обратной величине от коэффициента демпфирования, т. е. [c.178]

Большинству из рассмотренных гасителей колебаний присущи в той или иной степени свойства нелинейности, так как упругие связи в них обладают этими свойствами. Однако, как показывает практика, нелинейность в демпферах не является в большинстве случаев отрицательным фактором. Более того, нелинейность демифера во многих случаях повышает эффект его действия на систему, так как в системе при этом отсутствуют устойчивые резонансные режимы и при проходе через резонанс в одном направлении развитие амплитуд будет меньше, чем в линейной системе. Таким образом, нелинейность только повышает эффект действия устройств, предназначенных для гашения колебаний механических систем. Поэтому демпферы, рассчитанные по формулам линейной теории, имея нелинейные свойства, влияют на колебания систем во всяком случае не хуже, чем это предполагается расчетом, а в большинстве случаев лучше. Следовательно, приближенные методы расчета демнфе- [c.306]

Решение (3.2) представляет собой отклик линейного осциллятора на суперпозицию синусоидальных вынуждающих членов. Поэтому оно также является суперпозицией синусоидальных колебаний. Обычно эти колебания малы. Однако отклик велик, когда частота воздействия близка к резонансной частоте, и неограниченно растет со временем, когда имеет место резонанс. В диаграммной системе обозначений резонанс имеет место тогда, когда частота некоторой компоненты на диаграмме равна сумме частот какого-нибудь набора компонент более низкого порядка, которые порождают эту компоненту (частоты антикомпонент считаются отрицательными). Мы будем обозначать резонансные, свободные, компоненты на диаграмме сплошными линиями. Нерезонансные, виртуальные, компоненты будут обозначаться штриховыми линиями. Свободные компоненты удовлетворяют двум условиям [c.113]

При обычном резонансе в линейной консервативной системе х(/) sinQ/, т.е. размахи вынужденных колебаний растут со временем линейно закону арифметической прогрессии. Таково второе отличие пара-ического резонанса от обычного резонанса при вынужденных колеба-X консервативной системы. [c.307]

Для вынужденных колебаний в линейной колебательной системе в области резонанса это сразу видно из полученных выше зависимостей амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты виеншей силы (графики этих зависимостей приведены на рис. 388 и 389). Вследствие сильной зависимости амплитуды и фазы вынужденных колебаний от Частоты, соотношение между амплитудами и фазами разных гармоник в спектре внешней силы н в спектре вынужденных колебаний нарушается и форма вынужденных колебаний может очень существенно отличаться от формы внешней силы. Пример этого был приведен выше для маятника, раскачиваемого толчками, при малом затухании форма вынужденных колебаний будет близка к гармонической. [c.621]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...