Группа уравнения Шредингера

Рассмотрим теперь уравнение Шредингера (5.8). Среди возможн преобразований координат могут найтись такие, которые оставляют Я(х) инвариантным. Эти операции симметрии образуют группу уравнения Шредингера. [c.369]

Соответственно, использовав коммутативность оператора Гамильтона с можно покачать, что для группы уравнения Шредингера имеет место следующее общее положение [c.373]

Квантовомеханические работы по обоснованию статистики могут быть разделены на две основные группы работы, в которых предполагается, что состояния системы описываются дискретными ячейками, между которыми происходят квантовые переходы с определенным образом заданными вероятностями, и работы, основанные на строгом квантовомеханическом описании систем при помощи Т-функций и точном решении уравнения Шредингера. Обе названные постановки задачи допускают обобщение с максимально полного описания на статистический [c.136]

Вблизи особенностей типа седловых точек Мх и М2 (см. 42) для полупроводников с малой шириной запрещенной зоны уравнение Шредингера имеет эффективные массы, имеющие различные знаки для разных главных направлений. В этом случае даже при наличии цилиндрической симметрии точное решение уравнения Шредингера получить нельзя. В некоторых соединениях группы цинковой обманки и германия реализуется условие В этих условиях уравнение Шредингера, имеющее вид [c.317]

В основе наших представлений о твердом теле лежат два ОСНОВНЫХ понятия представление о многочастичной системе и симметрия кристаллической решетки. Свойства симметрии суш,е-ственны для упрош,ения математического описания. Большая информация может быть получена при использовании всех свойств симметрии без количественного решения уравнения Шредингера. Поэтому мы используем вспомогательные методы теории групп. Этим методам посвящено Приложение Б. [c.17]

ЧТО ОНИ относительно узки и что их положение не сильно смещено по сравнению с атомными уровнями, из которых они произошли. Состояния электронов в этих зонах тогда можно с хорошим приближением аппроксимировать состояниями электронов внутренних оболочек в атомах. Вторая группа является для нас наиболее интересной. Нашей целью является нахождение собственных значений уравнения Шредингера Е к) для этих зон. [c.125]

Обсуждение решений уравнения Шредингера с точки зрения теории групп [c.369]

Теория групп позволяет получать следствия симметрии и в случае гораздо более сложных систем. Разумеется, чтобы показать, что одномерное уравнение Шредингера с четным потенциалом имеет лишь четные и нечетные решения, не обязательно пользоваться теорией групп. Однако если проведенные выше рассуждения перевести на язык теории групп, то их можно будет применять и в более сложных случаях. На языке теории групп преобразования У и , где Е — тождественное преобразование (например, вращение на угол 0°), образуют группу. [c.27]

Гамильтониан, будучи действительным, переходит при этом сам в себя, но волновой вектор к меняется на —к. Это справедливо при любой симметрии кристалла. Следовательно, энергетические зоны обладают симметрией по отношению к операции инверсии, даже если группа кристалла инверсии не содержит. Поскольку переход к комплексно сопряженному уравнению Шредингера эквивалентен [c.102]

Поскольку гамильтониан кристалла инвариантен относительно элементов симметрии пространственной группы кристалла, совокупность всех решений уравнения Шредингера отвечающих энергии является линейным пространством 1 , элементы которого под действием элементов пространственной группы кристалла преобразуются друг через друга. При этом каждому элементу симметрии кристалла соответствует матрица — матрица преобразования, размерность которой равна кратности вырождения уровня т. е. размерности пространства Совокупность этих матриц образует представление пространственной группы кристалла, отвечающее уровню W. [c.363]

Каждая из функций является собственной функцией Т , т. е. под действием операторов Тт преобразуется в соответствии с соотношением (II. 4), куда никакие другие решения уравнения Шредингера не входят. Отсюда ясно, что каждая из этих функций преобразуется по одномерному представлению подгруппы трансляций. Кроме того, как это видно из (II. 4), волновые функции, отвечающие значению А = 0, под влиянием трансляций не изменяются. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что волновые функции, отвечающие А==0, осуществляют представление фактор-группы подгруппы трансляций. [c.364]

Если —неприводимые представления группы уравнения Шредингера, то R нядо заменить через Од и р/у—операторы, которые действуют на г]5(х) (проекционные операторы). Мы определим новые функции [c.371]

В простейшем одночастичном варианте оболочечной модели ядра рассматривается движение непарного нуклона в сферически симметричном однородном потенциале, образованном взаимодействием остальных нуклонов. Решение уравнения Шредингера для этого потенциала с учетом сильного спин-орбитального взаимодействия позволяет получить определенную последовательность энергетических уровней, группирующихся около нескольких значений энергии. Уровень характеризуется величиной энергии, полным моментом г и орбитальным числом /. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне размещается 2i + 1 нуклонов. Полное заполнение группы соответствует построению оболочки, которая содержит магическое число нуклонов. Размещение ядер по оболочкам производится путем содоставления массового числа, спина и других характеристик ядра с параметрами уровней. [c.200]

Состояние магнитного иона может быть найдено с помощью уравнения Шредпнгера Жф = 1>,где Ш—гамильтониан. Для свободного иона уровни могут быть вырождены если же ион находится в поле кристалла, то степень вырождения в общем случае уменьшается но-разному для различной симметрии поля. При повороте координат на заданный угол (например, тс/2 вокруг оси четвертого порядка я/3 вокруг гексагональной осп) или отран<е-нии в плоскости и т. д. результирующее состояние системы должно совпадать с исходным. Этим свойством должны обладать и собственные функции уравнения Шредингера. Решения уравнений Шредиигера образуют группы с помощью теории групп можно выяснить некоторые особенности решений в кристаллическом поле, даже не зная точно формы потенциальной функции и ее величины. Так, например, состояние с /= /2, которое для свободного иона шестикратно вырождено в кристаллическом поле с кубической симметрией, расщепляетсм на один дублет и один четырехкратно вырожденный уровень. Взаимное расположение уровней и расстояние между ними нельзя определить, ие зная подробно функции V. [c.386]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Кроме того, существуют еще две группы работ, которые могут относиться лишь к проблеме доказательства jff-теоремы. И та, и другая группы работ характеризуются также тем, что они используют понятие статистического оператора и теряют смысл, если ограничиваться чистыми состояниями. Но в то время как первая группа работ опирается на измерения, проводимые над рассматриваемыми системами, вторая основана на некотором частном свойстве изменения состояния систем по уравнению Шредингера в тех случаях, когда невзаимодействовавшие части этих систем приходят во взаимодействие. В настоящей главе мы разберем последо1зательно эти четыре возможных точки зрения. [c.137]

Укажем в заключение на различие и сходство в задачах об определении зависимости адиабатического потенциала от нормальных координат Ш Q) и зависимости энергии зонного электрона в кристалле в зависимости от компонент импульса Е (к). Обе эти величины суть собственные значения уравнения Шредингера с.параметром Q или к), симметрия которого определяется значением этого параметра. Задача для W прош е, чем задача для Е, в том смысле, что она относится к точечной, а не пространственной группе и в ней не возникает сложностей, связанных с трансляциями и нагруженными представлениями. Однако задача для суш е-ственно сложнее в том смысле, что симметрия к-пространства всегда одинакова (группа кристаллического класса), в то время как симметрия -пространства зависит от колебательного представления. Метод, предложенный в настояш ей работе для написания секулярного уравнения, может быть использован в теории зон и представляет в этом смысле общую формулировку приемов, использованных для частных случаев в [ ]. [c.8]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Классификация электронных состояний, В уравнении Шредингера для движения электронов (1,5) величина Уе обозначает потенциальную энергию электронов в поле ядер (неподвижных). Как указано выше, в первом приближении (которое, как правило, является хорошим) мы можем рассматривать движение электронов при равновесном положении ядер. Поэтому функция Уе У 1меет ту же симметрию, что и молекул(а в определенном электронном состоя- ти. Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее электронное ч движение, не изменяется под действием операции симметрии. Следовательно, 4 лектронная волновая функция невырожденного состояния может быть 4 олько симметричной или антисимметричной по отношению к каждой из оне-. Ч аций симметрии, допускаемых симметрией молекулы в равновесном ноло- ении, т. е. она либо остается неизменной, либо только меняет знак. В случае вырожденных состояний собственная функция может превращаться только в линейную комбинацию двух (или более) вырожденных волновых функций, так что квадрат волновой функции, представляющий собой электронную плотность, остается неизменным. Различные волновые функции могут вести себя по-разному по отношению к различным операциям симметрии данной точечной группы но, как правило, не все элементы симметрии точечной группы независимы друг от друга, поэтому возможны лишь определенные комбинации поведения волновых функций по отношению к операциям симметрии. Такие комбинации свойств симметрии называются типами симметрии (см. [23], стр. 118). На языке теории групп это неприводимые представления ])ассматриваемой точечной группы. Каждая электронная волновая функция, а следовательно, и каждое электронное состояние принадлежат к одному из возможных типов симметрии (представлений) точечной группы молекулы [c.17]

Теперь мы псдсшли к вспрссу что могут дать методы теории групп при исследовании свойств собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера [c.369]

Рассмотренные в предыдущих главах симметричные волновые функции системы бозонов или цепочки спинов были представлены в виде сумм по перестановкам , т. е. как суммы по операторам некоторой группы отражений. Это замечание связано с оптической аналогией для систем с точечным взаимодействием (Макгайр, 1964) уравнение Шредингера для N тождественных одномерных частиц с точечным взаимодействием совпадает с уравнением оптической волны в УУ-мерном евклидовом пространстве, которая рассеивается набором Л (Л —1)/2 бесконечно тонких пластин, расположенных на гиперплоскостях [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...