Производные мер деформации

Основываясь на этих формулах, получаем представления производных мер деформации Коши —Грина и Альманзи [c.54]

Представление упругого потенциала в виде скалярной функции меры деформации Коши-Грина X = x(G ) дает возможность представить тензор Пиола в виде производной функции х по мере деформации. В этом случае закон состояния материала среды имеет вид [c.20]

При вычисления производной потенциала по мере деформации Фингера используется переход к дифференцированию потенциала по ее инвариантам [c.22]

Конвективная производная тензора Пиола. II вариант. В литературе иногда используется иное по форме представление конвективной производной тензора Пиола [17]. Для его построения вернемся к выражению (2.1.15), но производную тензора Пиола будем вычислять не по градиенту места, а по мере деформации [c.37]

От изложенных представлений, применяемых в механике сплошном среды, здесь можно отказаться, так как в статической теории упругости временные процессы не рассматриваются и в дальнейшем не будут обсуждаться также упругие динамические явления. Поэтому такие кинематические понятия, как скорость, ускорение, скорость деформаций и субстанциональная производная, здесь вводиться не будут. Не будет также применяться понятие градиента деформаций, которое вводится вообще в механике сплошной среды в качестве исходного для меры деформаций. Наконец, будет также показано, что при ограничении на малость деформаций, которое является естественным в линейной теории упругости, различие между лагранжевым и эйлеровым описаниями исчезает. [c.35]

Согласно этой гипотезе горячие трещины образуются в температурном интервале хрупкости (ТИХ) данного свариваемого сплава. При этом вероятность образования горячих трещин определяется соотношением ТИХ, значением производной от деформации по температуре (т. е. скорость нарастания деформаций по мере снижения температуры) и величиной пластичности сплава в температурном интервале хрупкости. [c.42]

Применение тензоров аффинной деформации позволяет связать дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации с производными по этим мерам. Например, для скаляра [c.55]

Тензор упругостей —тензор четвертого ранга, равный производной тензора напряжений по мере деформации, через которую он представлен. Например, для линейно-упругого изотропного тела тензор напряжений —линейная функция линейного тензора деформации [c.116]

В 7—9 дается определение тензора упругостей— тензора четвертого ранга, равного производной тензора напрял ений по мере деформации, через которую он выражен. Формулой (7.9) дается его инвариантное представление, [c.498]

Приближения, указанные в третьем и четвертом пунктах, если их слепо применять к частным задачам, вообще говоря, могут привести к противоречивым результатам для одного и того же материала. Согласно первому из них, напряжения определяются достаточным числом производных деформации в рассматриваемый момент. Согласно последнему, для того чтобы определить текущие напряжения, необходимо провести интегрирование по всему прошлому. Оба результата являются приближенными, и обстоятельства, когда они применимы, различны. Вообще говоря, теории дифференциального типа годятся при медленных движениях, в то время как теории интегрального типа годятся при малых мерах деформации. [c.396]

При местной потере устойчивости образуются короткие волны. Функции, характеризующие нейтральное состояние, при дифференцировании по крайней мере по одной из координат а или р существенно возрастают. При этом, как известно, смещения и, V значительно меньше смещений w. Так что в выражениях изгибной деформации (3.15) гл. П можно опустить слагаемые, содержащие смещения у и их производные. [c.57]

Следовательно, не при всяких размерах частицы и не при всяких изменениях вектора скорости деформация частицы может быть охарактеризована введённым тензором скоростей деформации. Тензор скоростей деформаций, содержащий лишь первые производные от скоростей смещения, будет в достаточной мере характеризовать деформацию частицы тогда, когда размеры её будут настолько малы, что невы-писанный последующий член разложения (5.1) будет по модулю намного меньше модуля суммы слагаемых, содержащих первые степени Ьх , т. е. [c.42]

Эти условия обеспечиваются при существовании непрерывного вектора перемещения и вместе с его частными производными по координатам по крайней мере до третьего порядка включительно, так что компоненты заданного тензора деформации обязательно должны быть связаны с компонентами вектора перемещения соотношениями (1.33). [c.48]

Простейшими законами, которым подчиняется деформирование реальных тел, являются те, которые выражаются линейными соотношениями между характерными переменными деформации, как-то напряжением, деформацией и их производными по времени. Реальные тела, вообще говоря, не подчиняются таким линейным законам. Тем не менее надлежащим образом используя линейные законы, можно построить идеализированные тела, механические свойства которых имеют тот же качественный характер, что и у реальных тел. При помощи соображений, основанных на применении статистики, можно пытаться в достаточной мере точно передать и количественные соотношения (см. [169]). [c.346]

Следствие. Для достижения аппроксимации порядка h - для S-X производных пробное пространство на равномерной сетке должно быть по крайней мере степени k— 1. Поэтому метод конечных элементов в случае дифференциального уравнения порядка 2т сходится, только если k > т. Это и есть условие постоянной деформации, состоящее в том, что все полиномы степени т должны принадлежать S . [c.182]

Распространение возмущений вдоль состава прн нелинейных междувагонных связях принципиально отличается в случае жестких и мягких характеристик. Скорости распространения возмущений нелинейных волн зависят от производной в точке силовой характеристики, соответствующей значению деформации связи, и плотности единицы длины экипажа с увеличением производной скорости распространения возмущений увеличиваются, а с увеличением погонной плотности поезда — уменьшаются. При мягких междувагонных связях с убывающей производной силовой характеристики поглощающих аппаратов амплитуда и темп изменения относительных перемещений и скоростей движения экипажей убывают по длине поезда. В случае жестких характеристик связей с пружинно-фрикционными поглощающими аппаратами, наоборот, фронт волны возмущения по мере распространения вдоль поезда становится более крутым. [c.141]

Соотношениями (6.18) материальная производная по времен порядка п от конвективных тензоров усилий и моментов задает ся как функция производных до (п— 1)-го порядка включитель но. от этих тензоров и производных, до некоторого порядка к о мер деформаций G, В. Для изотропных оболочек функции fi [c.118]

В 18 намечен ход решения задачи об определении вектора места по заданию меры деформации. Введенные А. П. Норденом тензоры аффинной деформации третьего ранга нашли применение в 19. Например, задача 18 оказывается сведенной к системе линейных дифференциальных уравнений (19.12) для градиента места, коэффициенты которой —компоненты тензора аффинной деформации (19.9) дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации ставятся в связь с производными по этим мерам, формулы (19.20), (19.23). [c.497]

Так, например, используя формулу (11.9.4) для потенциала однородного эллипсоида, можно без труда решить задачу о тем-лературных напряжениях в теле, содержащем в себе мгновенно нагреваемую область, имеющую форму эллипсоида. Теперь перемещения будут определяться по формулам (11.9.5) с точностью до множителя, который читатель легко восстановит. Комбинируя формулы (11.9.5), мы найдем компоненты деформации, а следовательно,— напряжения. Производные от потенциала тяготения представляют собою силы тяготения, которые убывают по мере удаления от начала координат как 1/г , следовательно, напряжения убывают как 1/г , т. е. так же как перемещения и напряжения от центра расширения. Поэтому формулы ы,- = i]),,- дают полное решение для неограниченной среды. В 8.14 было разъяснено, что центр расширения моделирует напряжения, возникающие при выпадении новой фазы. Очевидно, что изменение объема может быть вызвано не только изменениями температуры, но и фазовыми превращениями, поэтому формулы (11.9.5) могут быть применены к тому случаю, когда частица выпавшей фазы имеет форму эллипсоида эти выражения пригодны как для точек, принадлежащих внутренности включения (при и = 0), так и для точек матрицы (и =/= 0). Заметим, что внутри включения перемещения представляют собою линейные функции координат [c.384]

Ui( t — x), МЫ предлшагаем, что функции щ по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и Сг требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. [c.441]

Для ULJ-формулировки используются те же самые меры напряжений и деформаций, что и для UL-формулировки. Мерой приращений деформаций в определяющих соотношениях (5.48) служит инкрементальный аналог тензора скоростей деформаций с вектором приращения деформаций в, а вектор приращений напряжений 1 определенный в (5.47), образуется из инкрементальных аналогов tsfj компонент производной Хилла от тензора напряжений Коши 5 (производной Яуманна от тензора напряжений Кирхгофа) [c.196]

Аналогично, пластическое деформирование в ближайшей окрестности вершины треш,ины, а также и вдалеке, приводит к критериям, опираюш,имся на это пластическое течение, что позволяет на разрушение (в континуальном аспекте) смотреть как на процесс, отража-юш,ийся внешне в развитии треш,ины. В связи с этим мы наблюдаем замеш,ение точечных критериев нелинейной механики разрушения (типа 5 = 5с J = Ji и т.п.) на процессуальные , яркое выражение которых мы видим в понятии i -кривых [29]. Имеют место также и промежуточные критерии типа модуля разрыва, исходяш,ие из производных по длине треш,ины, что, по сути, в некоторой мере оценивает Jj -кривую. Полезная роль i -кривых состоит в их схожести с обычной диаграммой деформации гладкого образца, позволяюш,ей оценивать не только ординаты этих графиков, но и абсциссы характерных точек на них. Эти абсциссы отражают в одном случае пластичность материала, в другом — способность к длительному процессу разрушения, т. е. росту треш,ины (имеется в виду однократное статическое нагружение), способность к немгновенности разрушения, а это создает возможность перераспределения нагрузок внут-эи конструкции и, следовательно, возможность продолжать держать внешнюю нагрузку. А это, как уже указывалось, достаточно важно для определенного класса статически неопределимых конструкций, в частности, в авиационных конструкциях, где, собственно, i -кривые для тонкостенных листовых образцов и используют в практических приложениях [299. [c.75]

Имеют место также и промежуточные критерии типа модуля разрыва, исходящие из производных по длине трещины, что, по сути, в некоторой мере оценивает -кривую. Полезная роль R-кривых состоит в их схожести с обычной диаграммой деформации гладкого образца, позволяющей оценивать не только ординаты этих графиков, но и абсциссы характерных точек на них. Эти абсциссы отражают в одном случае пластичность материала, в другом — способность к длительности процесса разрушения, т. е. рост трещины (имеется в виду однокра7 Ное статическое нагружение), способность к не-мгновенности разрушения, а это приводит к перераспределению нагрузок внутри конструкции и, следовательно, к возможности продолжать держать внешнюю нагрузку. [c.57]

Читатель может заметить, что уравнение (16.67) в случае исчезающей скорости и =0 дает альтернативную форму дифференциального уравнения релаксации напряжения можно также заметить, что угловой коэффициент ria/de, определяющий наклон кривой растяжения с постоянной скоростью (выражающей зависимость истинного напряжения а от полной деформации е), нельзя рассматривать как удовлетворительную меру степени упрочнения тягучего металла, поскольку производная dafds не исчезает (в отличие от J)= ia/dE") при произвольном вязком неупрочняющемся материале, растяги-i ваемом е постоянной скоростью и—de[dt onsU [c.648]

Приближенные формулы (33) для компонентов деформации так же, как и более точные формулы (30), содержат неизвестные смёи1енил Г , необходимо поэтому получить хотя бы приближенные выражения для этих величин и , по крайней мере, для их производных по г. [c.556]

Значения Р (г, г) находились в точках, принадлежащих окре-стности правого отверстия, с помощью численных методов. Для вычисления интегралов (130) от скоростей деформации ползучести использовалась квадратурная формула Гаусса с разбиением толщины оболочки на 6 интервалов (5 учлов) производные по координатам заменялись разностными соотношениями. Приращение меры упрочнения на шаге времени находилось в предположении постоянства скоростей деформации ползучести в пределах шага. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...