Производная по времени тензора деформации

Для формулировки определяющих соотношений упругопластического материала при произвольной величине деформаций используем UL-подход. В [88] отмечается, что производная по времени тензора напряжений Коши не имеет механического смысла, так как этот тензор характеризует силу, отнесенную к площадке в актуальной конфигурации, а сама эта площадка изменяется во времени. Кроме того, при использовании производной s в определяющих соотношениях нельзя получить вариационную формулировку квазистатической задачи относительно скоростей [79]. [c.102]

В настоящее время вводятся более общие модели упругих сред, в которых в аргументы и и Р могут входить различных порядков производные по времени II по координатам от компонент тензора деформации. [c.312]

Т. е. в сопутствующей системе координат компоненты с точностью до постоянного множителя равны производным по времени компонент метрического тензора в рассматриваемой точке деформируемого тела. Рассмотрим теперь в точке М тензор деформаций [c.94]

Определяющие уравнения упруговязких сред отличаются той характерной особенностью, что в них наряду с тензорами напряжений, деформаций и температурой входят также производные по времени от компонентов упомянутых тензоров. Приведем, ограничившись одномерным случаем, несколько примеров определяющих уравнений упруговязких сред. [c.25]

Здесь производная по времени определяется при постоянном X, а V и — обычным образом определенные тензоры скоростей деформаций и скоростей поворотов с компонентами [c.152]

Используя эти соотношения для напряжений, Пуассон, далее, получает дифференциальные уравнения движения жидкости, по внешней форме совпадающие с уравнениями Навье. Различие состоит только в том, чта давление заменено в уравнениях Пуассона через некоторую функцию, содержащую, кроме давления, производные по времени от давления и плотности. Чтобы замкнуть систему уравнений, Пуассон присоединяет к ней уравнение неразрывности в общей форме с учётом изменения плотности и уравнение физического состояния, связывающего плотность, давление и температуру, К этим уравнениям присоединяется уравнение теплопроводности в своей простейшей форме, т. е. без учёта конвекции. Таким образом, в мемуаре Пуассона впервые были введены соотношения, выражающие линейную зависимость тензора дополнительных напряжений жидкости при её движении от тензора скоростей деформаций частицы, и установлены дифференциальные уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости. [c.18]

Вычислим полные производные по времени от лагранжева (1.17) и эйлерова (1.19) тензоров конечной деформации [c.55]

Скорости тензора деформаций, ускорения всех порядков имеют вторые инварианты, входящие в (18.8), (18.10). Все они выражаются через производные по времени от шести внутренних характеристик траектории э( в Ев. Третьи инварианты имеют вид [c.229]

Легко показать, что тензор скоростей деформации представляет собой материальную производную по времени от эйлерова тензора линейных деформаций ). Так, если в выражении [c.161]

Материальная производная по времени от квадрата длины линейного элемента связана с тензором скоростей деформаций. Действительно [c.213]

Для мгновенной производной по времени от некоторого тензора, определяемого относительной деформацией, например тензора Р , мы введем следующее обозначение ) [c.105]

В теории пластичности наряду с тензором деформаций рассматривается ещё тензор скоростей деформаций (Е) и соответствующий девиатор (D ). В случае малых деформаций компоненты тензора скоростей деформаций суть частные производные по времени или вообще по параметру, монотонно возрастающему и зависящему только от времени, от компонент тензора деформаций [c.44]

Материальные производные по времени от у , т. е. производные по времени при постоянных аи можно выразить через эйлеров тензор скоростей деформации. Из уравнения (1.2) следует соотношение [c.13]

Найдем теперь производную по времени от тензора деформации 8, выраженного компонентами деформации е,/. [c.117]

Основные математические объекты МСС суть тензоры различных порядков нулевого — скаляры (плотность, энергия), первого — векторы (радиус-вектор, поток тепла, скорость), второго — тензоры деформаций, внутренних напряжений, третьего и четвертого — тензоры пьезоэлектрических констант, коэффициентов вязкости и упругости и др. Все эти тензоры считаются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по координатам и по времени, ограничены вместе с их производными в области тела. Все они введены в XIX веке в процессе создания теории упругости, гидромеханики и других разделов теоретической физики, и затем в алгебре и геометрии была создана их общая теория. [c.50]

Основные математические объекты МСС суть тензоры различных порядков нулевого порядка — скаляры (плотность, энергия и др.), первого порядка — векторы (радиус-вектор, поток тепла, скорость и др.), второго порядка (тензоры деформаций, внутренних напряжений и др.). Все эти тензоры считаются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по координатам и по времени, следовательно, ограничены вместе с их производными в области тела. [c.44]

Пусть U — вектор геометрического смещения точек среды, отсчитываемый, скажем, от их положения перед началом процесса деформации его производная по времени и =v. Если образовать с помощью вектора и тензор полной дисторсии Wn — dujdxi, то мы получим его пластическую часть вычтя из Wtk тен- [c.165]

Деля обе части равенства (45) на Ш, перейдем от бесконечно малых перемещений р к векторам скорости V, от вектора бесконечно малого поворота 0 — к вектору угловой скорости ш вращения затвердевщего элемента, а от тензора деформации 5 —к тензору скоростей деформаций отличающемуся от 3 точкой, стоящей сверху и обозначающей производную по времени t. При этом справедливо равенство [c.341]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

Соотношениями (6.18) материальная производная по времен порядка п от конвективных тензоров усилий и моментов задает ся как функция производных до (п— 1)-го порядка включитель но. от этих тензоров и производных, до некоторого порядка к о мер деформаций G, В. Для изотропных оболочек функции fi [c.118]

Вычисленные полные производные по времени (2.63) и (2.64) от тензоров конечной деформации шзышют лагранжевым и эйлеровым тензорами скоростей деформации соответственно. Путем непосредственного вычисления компонентов тензоров с/Е / (И и с1Ъ / (И нетрудно убедиться в том, что эти тензоры симметричны. Если положить деформации малыми, т. е. Hij = [c.56]

Это утверждение верно только в том случае, когда ец бесконечно малы (см. задачу 4.40). О связи между тензором скоростей деформации и производными по времени от тензоров конечных деформаций см., например Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, гл. II, 6, 7, Физматгиз, М., 1962.—Ярнл. ред. [c.161]

Непосредственный вывод этих соотношений (см., например, [7]) ничем принципиально не отличается от выкладок 2, проведенных относительно и. . Отметим, что здесь рассматривается материальная производная по времени, так что компоненты тензора малых деформаций могут быть взяты и в лагранжевом описании, когда дифференцирование по / и по координатам взаимно переставимо. [c.187]

При рассмотрении изменения перемещений и деформаций во времени (скоростей деформаций) в кинематике непрерывной среды имеет существенное значение, к какой системе координат относятся скорости векторов и тензоров. Скорость в конвективной системе координат, деформирующейся и перемещающейся вместе со средой, так что значения подвижных координат сохраняются постоянными, т. е. скорость в лагранжевой сопутствующей координатной системе выражает временные изменения, присущие среде. В фиксированной (эйлеровой) системе координат скорость представляет собой производную по времени t абсолютного пространственного вектора / (х, t), или тензора /f (х, i), которую принято называть в классической гидродинамике субстанциональной, или материальной, производной и обозначать DIDt, где [c.15]

В математическую модель свойства вязкоупругости вносятся че рез уравнение состояния, связывающее тензор напряжений Р о тензором деформаций . Однако в эти связи, в отличие от классической теории упругости, входят не только сами тензоры 6 ж Р но . также и их производные по времени, В линейной теории (наиболее разработанной в настоящее вреш) уравнение состояния задается в виде линейной зависимости мезкду производными по вршени от тензоров Р ж ё а коэффициентами., зависзаодими от температуры и опреде- -ляемыми опытным путем. [c.48]

Уравнения совместности деформаций. Шесть компонент тензора деформаций Eгj или метрического тензора г = бг + 2ег в окрестности любой фиксированной физической точки х среды могут как угодно независимо изменяться с течением времени, т. е. задание шести произвольных функций времени возможно, и деформация окрестности точки при этом будет аффинной. Но если бы мы задали для всех точек среды хотя бы в какой-нибудь момент времени 1 компоненты eij или gij как произвольные непрерывно дифференцируемые функции координат, т. е. произвольно задали бы поле тензора деформации, то деформации оказались бы несовместными, перемещение — неоднозначным, т. е. между соседними частями образовались бы щели или различные физические объемы заняли бы одну и ту же область пространства. Такая возможность исключена благодаря свойству закона движения д =д (х, )=х+и(х, 1), а именно непрерывной взаимно однозначной зависимости между л и х для любого 1 и существованию производных. Компоненты тензора eij (или gij) получаются путем дифференцирования вектора х(х, t), т. е. шесть скалярных функций eгj выражены через три щ. Значит, между eij должны существовать соотношения, полная система которых представляет уравнения совместности деформаций. По существу они должны быть следствием независимости порядка дифференцирования вектора X типа = так как gij=ЭiЭj, а векторы Эi выражаются через один вектор Э Х4. [c.82]

Называя Vij(x, t) объективной производной от Ei-j по времени, а Ец — интегралом от У// ( 9), по уравнению (11.20 ) в принципе определяется поле тензоров производтгых и интегралов от тензора скорости деформации (vij), т. е. объективных операторов в Э, представляющих производные и интегралы от тензора деформаций в Л. [c.164]

С точки зрения, связываемой обычно с именем Лагранжа, то же самое движение можно описать с помощью мгновенных координат г/у(г/ , ) индивидуальных частиц, заданных в виде функций их начальных координат и времени t. Здесь независимые переменные отличны от тех, которые были использованы выше. Для того чтобы подчеркнуть это различие, условимся обозначать частные производные по новой системе независимых переменных черточками (5г//ф =г/,,1 и дупусть р описывает начальное распределение плотности. С точки зрения Лагранжа, деформацию сплошной среды удобно описывать тензором деформации [c.83]

В теории Леонтовича [39] предполагается, что состояние жид кости в любой ее точке можно описать тензором деформации производная которого по времени связана с компонентами скорости Ui известным соотношением [157] [c.99]

На основании общих физических представлений о поведении материала под нагрузкой его сопротивление деформированию определяется мгновенными условиями нагружения (температурой, скоростью деформации и другими ее производными в момент регистрации), а также структурой материала, сформированной в процессе предшествующего деформирования, который в п-мерном пространстве характеризуется траекторией точки, проекции радиуса-вектора которой — составляющие тензора напряжений (или деформаций) и время (начальная температура является параметром, характеризующим исходное состояние материала, и изменяется в соответствии с адиабатическим характером процесса деформирования). Специфической особенностью процессов импульсного нагружения является сложный характер нагружения (составляющие тензора напряжений меняются непропорционально единому параметру) и влияние времени. Невозможность экспериментального исследования материала при различных процессах нагружения (траекториях точки указанного выше л-мерного пространства) вынуждает исследователей использовать упрощенные модели механического поведения материала. Это обусловило развитие исследований по разработке теорий пластичности, учитывающих температурновременные эффекты [49, 213, 218] наряду с изучением физических процессов скоростной пластической деформации [5, 82, 175, 309]. Так, для первоначально изотропного материала исходя из гипотезы изотропного упрочнения связь тензоров напряжений и деформаций полностью определяется связью их инвариантов соответственно Ei, Ег, Ез и Ii, h, h- С учетом упругого характера связи средних напряжений и объемной деформации для металлических материалов (а следовательно, независимость от истории нагружения первых инвариантов тензоров напряжений и деформаций Ei, А) процесс нагружения определяется связью четырех оставшихся инвариантов и величины среднего давления. В классической теории пластичности [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...