Производные инвариантов тензора

Производные инвариантов тензора. Первый инвариант Л (О)—линейная функция О. По его определению (1.7.4) имеем [c.449]

Производные главных инвариантов тензора по тензору 832 Пространство, трехмерное Евклида 799 [c.936]

Ве ь набор инвариантов, содержащий третьи инварианты тензора Г и его производных, обозначим [c.230]

Вычислим производные главных инвариантов тензора. Для первого инварианта имеем [c.24]

Наглядно его можно представить в виде эллипсоида поляризуемости. Тензор производной поляризуемости имеет два инварианта след Ь и анизотропию g, величина которых не зависит от выбора координат. След тензора определяется суммой его диагональных членов [c.112]

Для определения тензора V/ по (5.3.4) следует вычислить производные по D инвариантов /2, fv Имеем [c.683]

Для вычисления 6fi предварительно отметим, что производная первого инварианта любого симметричного тензора Q по равна [c.683]

Отсюда, в частности, следует что производная любого инварианта симметричного тензора X второго ранга есть симметричный тензор, соосный с X. Кроме того, главные значения произ- [c.19]

Из последней строки видно, что для любого инварианта (скаляра, вектора либо тензора) ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. [c.25]

В этом случае закон состояния представляется либо в виде (1.4.3) с использованием тензора Пиола, либо в виде (1.4.4) с использованием тензора Кирхгофа. И в том и в другом случае при вычислении производной скалярной функции по тензору деформации используется переход от дифференцирования по тензору деформации к дифференцированию по первым инвариантам степеней тензора деформации [75] [c.22]

Скорости тензора деформаций, ускорения всех порядков имеют вторые инварианты, входящие в (18.8), (18.10). Все они выражаются через производные по времени от шести внутренних характеристик траектории э( в Ев. Третьи инварианты имеют вид [c.229]

Пришли к выражениям производных первого инварианта степеней тензора [c.449]

Производная первого инварианта произведения тензоров. Имеем [c.453]

Основное место уделено действиям дифференцирования скаляра и тензора по тензорному аргументу. Инвариантные определения этих операций даются формулами (2.7), (4.6) формулами (3.1), (3.2), (3.3) определяются производные инвариантов тензора и скалярной функции их. Приведены правила дифференцирования произведения тензоров (4.10) и замены аргумента (4.12). Использование и. зотропных тензоров четвертого ранга обеспечило краткость выводов и записей полученных соотношений (4.10) — (4.16). [c.507]

На основании общих физических представлений о поведении материала под нагрузкой его сопротивление деформированию определяется мгновенными условиями нагружения (температурой, скоростью деформации и другими ее производными в момент регистрации), а также структурой материала, сформированной в процессе предшествующего деформирования, который в п-мерном пространстве характеризуется траекторией точки, проекции радиуса-вектора которой — составляющие тензора напряжений (или деформаций) и время (начальная температура является параметром, характеризующим исходное состояние материала, и изменяется в соответствии с адиабатическим характером процесса деформирования). Специфической особенностью процессов импульсного нагружения является сложный характер нагружения (составляющие тензора напряжений меняются непропорционально единому параметру) и влияние времени. Невозможность экспериментального исследования материала при различных процессах нагружения (траекториях точки указанного выше л-мерного пространства) вынуждает исследователей использовать упрощенные модели механического поведения материала. Это обусловило развитие исследований по разработке теорий пластичности, учитывающих температурновременные эффекты [49, 213, 218] наряду с изучением физических процессов скоростной пластической деформации [5, 82, 175, 309]. Так, для первоначально изотропного материала исходя из гипотезы изотропного упрочнения связь тензоров напряжений и деформаций полностью определяется связью их инвариантов соответственно Ei, Ег, Ез и Ii, h, h- С учетом упругого характера связи средних напряжений и объемной деформации для металлических материалов (а следовательно, независимость от истории нагружения первых инвариантов тензоров напряжений и деформаций Ei, А) процесс нагружения определяется связью четырех оставшихся инвариантов и величины среднего давления. В классической теории пластичности [c.11]

Вторые производные от первого инварианта тензора напряжений, также входящие в уравнения Бельтрами, имеют следующий вид (см. формулы (9.116) для операторов д /дх , дУдхду, д /ду и формулы (9.114) для операторов д/дх, д/ду из последних легко получаются формулы для операторов dVdxdz, д дудг) [c.689]

Если коротадионная производная тензора второго ранга h равна нулю, то материальные производные трех главных инвариантов тензора h также равны нулю, т. е. [c.32]

Здесь ф — определенная функция fi, N к ц, так как каждый из. трех главных инвариантов тензора Е можно выразить толька через fl и N это легко показать, вычислив по выражению (5.9.7) trE, trP и trE . Предполагается, что плотность энтропии в однородном недеформированном естественном состоянии iii = 0. Для простоты функция ф предполагается аналитической функцией от своих аргументов дополнительные ограничения будут накладываться, как только в них возникнет необходимость. В частности, следующие производные считаются всегда существующими [c.294]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и составляющих той или иной природы (контравариантных, ковариантных, смешанных) по основным векторам этого базиса. Изменения инварианта при.переходе отточки к точке или с течением времени обусловлены лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело, ьогда рассматриваются составляющие — их изменения обусловлены еще и изменением величин и направлений основных векторов взятого координатного базиса. Пусть, например, не зависят от координат их частные производные по координатам равны нулю, но было бы грубой ошибкой считать, что в этом случае векюр а не испытывает изменений при переходе от точки к точке. Верно и обратное при постоянном а составляющие (или а ) не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости составляющих векторов и тензоров, в которых учитывались бы как изменения самих этих функций, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.787]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...