Теория возмущений асимптотическая

С целью возможного применения методов теории возмущений (асимптотических методов) важно выделить малые или большие параметры, входящие в систему урав нений и характеризующие основные особенности изучаемых физических процессов. Знание таких параметров может позволить упростить исходную систему уравнений в некоторых областях определения решения и тем самым применить более экономичные численные подходы. Так обстоит дело, например, в задачах стационарного обтекания тел вязким газом на основе уравнений Навье-Стокса, когда вязкость зачастую можно учитывать лишь в области пограничного слоя вблизи тела, а в основной области течения можно пользоваться более простыми уравнениями Эйлера. [c.22]

Теория возмущении асимптотическая 13, 87, 104, 105. 1 14— 1 18, 203, 235, 236 [c.525]

Суть метода состоит в том, что исходную систему можно заменить более простой усредненной системой. Наша задача — найти равномерно пригодное асимптотическое разложение решения. Асимптотическим приближением по параметру е решения x(t, е) называется такая функция x t, е), что разность x(t, е)—x(t, е), называемая остаточным членом, мала (в некоторой норме) в заданной области изменения t, если параметр e- l. Одним из достоинств метода усреднения является то, что уже в первом порядке по е решения исходной и усредненной систем, совпадающие при t to, асимптотически близки на интервале /—В отличие от метода усреднения теория возмущений приводит к неравномерно пригодному разложению решения [78]. Ограничимся далее нахождением решения в первом приближении метода. [c.167]

Существенные упрощения в решении проблемы собственных спектров многомерных моделей с варьируемыми параметрами достигаются применением асимптотических алгоритмов, построенных на основе методов теории возмущений [37, 95]. Положим, что векторное уравнение движения консервативной ценной -мерной модели записано в виде (11.2) [c.269]

Если в качестве нулевого приближения выбрать гамильтониан невзаимодействующих частиц как это делается в обычной теории возмущений, то оператор взаимодействия Жп даёт при V-f o асимптотически малый вклад (в пределе равный нулю) во всех приближениях термодинамической теории возмущений. Это позволяет ещё более [c.282]

Асимптотический метод иа основе теории возмущений [c.443]

Неавтономные системы. В этом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости ие меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, х). [c.38]

Характер зависимости Z(z, t, ц) от определяет форму и аппарат теории возмущений, применяемые для построения приближенных решений системы (21). В регулярном случае решения системы (21) ищутся в виде асимптотических рядов (10), и здесь в принципе находит применение все ценное, что создано выдающимися математиками в аналитической теории дифференциальных уравнений. [c.16]

Рассмотрим класс практически нерезонансных многочастотных вращательных систем и для них построим асимптотическую теорию возмущений на основе метода Крылова — Боголюбова. Предположим, что решение x t, ц, Хо, yo),y t, ц Хо, у о) системы (114) таково, что для всех целочисленных векторов к, норма которых удовлетворяет неравенству [c.46]

Именно этот сложный механизм проявляется при построении практически любого варианта асимптотической теории возмущений для многочастотных систем дифференциальных уравнений. [c.100]

Таким образом, получаем дна варианта асимптотической теории возмущении один — для резонансного случая, второй — для нерезонансного случая. [c.112]

В ЭТОМ случае операция интегрирования в (89) — (92) может быть выполнена. Асимптотическая теория возмущений для неавтономных вращательных систем может быть построена, по крайней мере в принципе, в аналитическом виде. [c.120]

Найти в первом приближении теории возмущений изменение энергии, необходимое для образования вакансии с заданным потенциалом возмущения V г). Используя асимптотическую форму волновой функции, применить правило Фриделя для фазовых сдвигов и показать, что величина изменения энергии сводится к величине где Шр—энергия Ферми. Учтя изменение энергии, вызванное возрастанием объема вследствие того, что высвобождаемый ион уходит на поверхность сферы, показать, что полное изменение энергии равно [c.73]

Теория возмущений позволяет находить приближенные решения уравнений движения газа, близкие к точным (например, асимптотически равные ). Для случая, когда приближение перестает быть асимптотическим всюду, не [c.330]

Всякий раз, когда в исследуемом уравнении, описывающем состояние какой-либо динамической системы, присутствует малый числовой параметр > О, возникает задача об асимптотическом (при 0) поведении ее состояния. Наличие малого параметра в правых частях дифференциальных уравнений, в возмущающих воздействиях, при старших производных в левых частях уравнений стимулировало в разное время острый интерес и бурное развитие важных разделов теории теории возмущений и разложения решений в ряд по степеням малого параметра, принципа усреднения, теории сингулярных уравнений и т.д. Разумеется, присутствие малого параметра в уравнениях и необходимость рассмотрения асимптотических задач диктуются, прежде всего, обилием возникающих реальных ситуаций, множеством практических примеров, связанных с наличием малого параметра. [c.387]

Как и квантовая электродинамика (КЭД), теория взаимодействия цветных кварков и глюонов — квантовая хромодйнамика (КХД) — оказывается перенормируемой, что считается несомненным теоретическим достоинством. В отличие от фотона, который электронейт-рален, глюоны обладают цветовыми зарядами и взаимодействуют друг с другом даже в отсутствие кварков. Это обстоятельство приводит к специфическому повелению перенормированной константы сильного взаимодействия as(r) в зависимости от расстояния между взаимодействующими кварками. По существу величину as (г) уже нельзя называть константой. Для нее придумано специальное название — бегущая константа сильного взаимодействия. В то время как в КЭД аналогичная величина а(г) логарифмически растет при г—>-0, в КХД из-за указанного эффекта взаимодействия глюонов между собой при г— 0 бегущая константа сильного взаимодействия ведет себя как as(r) [In (го/г]]- — 0 () о — размер адрона). Этот эффект получил наименование асимптотической свободы сильных взаимодействий. Его существование позволяет проводить расчеты процессов сильного взаимодействия на малых расстояниях (при больших передаваемых импульсах) по теория возмущений. Более того, экстраполяция поведения Os (г) на большие расстояния г между взаимодействующими цветными кварками указывает на возможность запирания кварков в адроне. [c.973]

В действительности релаксационные колебания происходят во всех системах, близких к исходной, и следовало бы изучать просто окрестность иевозмущенного поля в подходящем функциональном пространстве. Однако здесь, как н в других задачах теории возмущений, ради математического удобства формулировки результата исследования как асимптотического обычно вводится (более или менее искусственно) малый параметр е и вместо окрестности рассматриваются однопараметрические деформации. Положение здесь такое же, как с понятием вариации производная по направлению вектора (дифференциал Гато) предшествует производной отображения (дифференциалу Фреше) в историческом развитии. [c.168]

В ряде случаев (в т. ч. для жёстких процессов) эту трудность удаётся преодолеть с номощью операторного разложения (или используя т. н. с в о й с т в а факторизации), к-рое доказано в любом порядке теории возмущений. Из свойств факторизации следует, что сечение жёсткого процесса асимптотически, при [c.314]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

В то же время сравнение теоретич. предсказаний с опытом выявило несостоятельность нек-рых динамич. представлений. Выш е отмечалось, что для описания слабых распадов О. ч. оказалась непригодной спек-таторвая модель. Поскольку эта модель заведомо должна быть верна для достаточно тяжёлых кварков, то ясно, что масса кварка, равная 1,5 ГэВ, ещё недостаточно велика, чтобы пользоваться асимптотическими по массе кварка ф-лами. Сечеппе рождения О. ч. в столкновениях нуклонов оказалось значительно больше, чем предсказывалось теоретически. Для объяснения этих данных возникли модели, согласно к-рым волновые ф-ции обычных нуклонов содержат значит, иримесь состояний с очарованными кварками (сс). Подобные модели означают модификацию обычных представ.тееий о нуклонах. Альтернативным объяснением является неприменимость теории возмущений к процессам рождения О. ч. [c.519]

В основу КХД положен принцип локальной цветовой сим,метрии, к-рый утверждает, что можно независимо изменять цветовые состояния отд. кварков. Это возможно, разумеется, лишь при наличии глюонного поля, способного принять на себя избыточный цвет. Эквивалентность разл. цветовых состояний формулируется математически как инвариантность (точная) относительно преобразований цветовой группы причём параметры групповых преобразований могут зависеть от точек пространства-времени. Такие теория наз. калибровочными. Принцип локальной калибровочной инвариантности позволяет однозначно фиксировать лаграннгиан хромодинамики, к-рый подобен элсктродпнамич. лагранжиану, во учитывает цветовые степени свободы. В результате напряжённости глюонного поля отличаются от напряжённостей элек-трич. и маги, полей электродинамики дополнительными нелинейными по калибровочному полю членами. Наличие нелинейных членов, необходимых для калибровочной инвариантности КХД, приводит к само действию глюонов. Др. словами, глюоны обладают цветовыми зарядами (в отличие от фотонов, не обладающих электрич. зарядами). Это, в свою очередь, приводит к наиб, важному свойству КХД — эффекту а н-тиэкраиировки заряда, к-рый означает, что эффективный - заряд кварков и глюонов велик на больших расстояниях и становится малым при уменьшении расстояний. Вследствие этого свойства С. в, на малых II больших масштабах оказываются совершенно различными. На малых расстояниях или при больших передаваемых импульсах [больше (2—3)ГэВ] эфф, цветовой заряд стремится к нулю. Это свойство получило назв. асимптотической свободы. Кварки и глюоны на малых расстояниях ведут себя как почти свободные частицы, и все процессы с их участием. можно рассчитывать по теории возмущений, непосредственно используя исходный лагранжиан КХД. Массы кварков и, , 5 при этом малы (токовые массы я- 4 МэВ, [c.500]

Фигурирующие в КХД асимптотически свободная (на малых расстояниях) и удерживающая (на больших расстояниях) фазы кварк-глюонной материи должны проявляться не только тогда, когда исследуется отклик системы на малых и больших масштабах, но и как её возможные макроскопич. состояния предполагается, что при достаточно большой плотности барионов или при достаточно высокой темп-ре происходит образование кварк-глюонной плазмы, в к-рой кварки и глюоны взаимодействуют сравнительно слабо (так что вычисления можно проводить по теории возмущений). Ожидается, что необходимая для этого плотность энергии всего в неск. раз превышает ядерную плотность, что примерно соответствует плотности энергии внутри типичного адрона. Помимо ранней Вселенной в первые 10- —10- с её эволюции (см. Космология) и, возможно, внутр. части нейтронных звёзд новое состояние материи могло бы образоваться при соударении тяжёлых ультрареля-тивистских ионов. Ведутся соответствующие эксперименты с целью получения и идентификации кварк-глюонной плазмы в лаб. условиях. [c.501]

Исторически понятие Э. з. пришло на смену возникшему ранее и идейно весьма близкому понятию инвариантного заряда. Роль, к-рую играют инвариантный и 3. з. в методе ренормгруппы, видна из соотношения /(1п/ /ц, g) = =/[0, G(ln /n, g)], справедливого для физ. величин, зависящих от одного импульсного аргумента р. Видно, что эффективно параметром разложения для / является не заряд g, а ф-ция G(ln/j/)i, g) (отсюда и её назв.— Э, з.). В теориях с асимптотической свободой, где С(1пр/ л, g) стремится к нулю с ростом импульса р, новый параметр разложения G npj[i, g) при больших импульсах становится малым, и мы получаем улучшенную теорию возмущений (по сравнению с исходной, основанной на разложении по параметру g, к-рый малым не является). [c.646]

Асимптотическая теория возмущении, опирающаяся, с одной стороны, па начальное приближение, построенное с помощью какого-либо оператора сглаживания (усредпегтия), и, с друго11 торопы, на последовательные замены переменных для нолуче-впя тех функций, которые мы назвали выню добавками, получила в математической литературе название метод усреднения , а во многих литературных источниках — метод Крылова — Боголюбова . [c.6]

Глава I посвящена различным аспектам асимптотической теории дифференциальных уравнений с Малым параметром, основанной на идее усреднения (сглаживания) правых частей. Приведено обобщенное уравнение и дана интерпретация метода усреднения, а также описаны наиболее распространенные в динамике операторы сглаживания, позволяющие строить различные варианты теории возмущений по степеням малого параметра ц. Дальню в этой главе рассмотрены различные классы нелинейных систем без частотных резонансов и изложена конструктивная методика построения их асимптотических решений с помощью преобразования Крылова — Боголюбова. [c.16]

Основная трудность, которая возникает при построении асимптотической теории возмущений для резонансных систем, состоит Б том, что возмущения любого порядка (возмущение А -го порядка пропорционально ц ) из-за возможного появления в аналитических формулах малых знаменателей могут достигнуть, вообще говоря, сколь угодно большой величины при сколь угодно малом значении ц, (можно считать, что резонансная система и малые знаменатели являются сипонимами). Несмотря на эти трудности, удается построить эффективные алгоритмы для теории возмущений нелинейных систем с частотными резонанса- [c.16]

Таким образом, в общем случае представление (58) не является классическим степенным рядом по степеням ji. Метод Крылова — Боголюбова предоставляет математику возможность построить теорию возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью неклассических асимптотических пред-ставлепин (61), (62). [c.32]

Y х, у, ц) удовлетворяют условиям теоремы Дирихле [5, 6] и к тому же являются аналитическими относительно х в некоторой области = (х, у) х Рт, Шт г/И ето для систем вида (90) можно построить асимптотическую теорию возмущений в [c.40]

Таким образом, если усреднение правых частей осуществляется с помощью оператора и для некоторых векторов к выполняется резонансное соотноншнне (51), то в этом случае уже па нервом шаге в преобразовании Крылова — Боголюбова появляются неуничтожимые вековые члены, и, следовательно, асимптотическая теория возмущении вращательных систем вида [c.111]

Таким образом, па множестве 1рез(Т) асимптотическая теория возмущений представляется формулами с вековыми членами, т. е. формулами вида (54), а на множестве /пер(Т )—формулами вида (55). [c.113]

Система сравнения (67) в отличие от (47) не содержит в явном виде t, а в суммах со штрихом индекс-вектор суммирования к принимает только резонансные значения. В резонансном случае в уравпепиях (67) нет разделения движений , как это имело место в 1.11. Покажем, что, исполь.зуя реншние системы сранпепия (67) в качестве первого приближения асимптотической теории возмущений системы (47), можно построить теорию любого приближения в тригонометрической форме, без вековых членов. [c.115]

Из приведенных формул видно, что построение асимнтотиче- ской теории возмущений неавтономных многочастотных систем (75) представляет собой громоздкую аналитическую задачу из-за того, что функции преобразования Крылова — Боголюбова и,, v, выражаются через интегралы (89)—(94), и, следовательно,. эффективность построения асимптотической- теории зависит от эффективности аналитических методов вычисления интегр 1лов (89)-(94). [c.119]

Уравнения (17) обладают одним существенным недостатком. В них не у( Матриваются в явной форме основные частоты задачи, поэтому к ним непосредственно не применима асимптотическая теория, изложенная в гл. III. Сначала необходимо выполнить замену переменных для нреобразоваия уравнений (17), например, в систему вида (1.90), а потом уже воспользоваться теоремами и алгоритмами асимнтотической теории возмущений. Астрономы такие замены разработали давно, и ниже будет приведена наиболее распространенная. [c.135]

Метод усреднения в сочетании с преобразованием Крылова — Боголюбова, применяемый к уравнениям (25), позволяет в принципе построить асимптотическую теорию возмущений в двухпланетной задаче до любого конечного порядка. Методика и алгоритмы, изложенные в гл. III, здесь естественно находят непосредственное применение. Астрономы разработали несколько [c.139]

V, нредстав.мяются формулами (3.56), (3.57). Формулы, вида (37), (38), с одной стороны, выражают преобразование Крылова — Боголюбова, а с другой — дают асимптотическую теорию возмущений первоначальных уравнений двухпланетной задачи (25) с точностью до 0(ji ), если в них вместо aj t, ji), e,(f, [ ),. .. [c.141]

Возникает естественный вопрос что случится, если начальная форма импульса или значение пиковой мощности отличаются от тех, которые требуются по соотношению (5.2.17). Вначале рассмотрим случай, когда значение пиковой мощности не точно соответствует мощности солитона и величина N, полученная из (5.2.3), не является целым числом. Сапума и Яджима [36] использовали теорию возмущений для решения уравнений (5.2.6) и (5.2.7). Оказывается, что импульс в процессе распространения по световоду подстраивает свою длительность, становясь солитоном. При этом часть его энергии рассеивается. Импульс асимптотически преобразуется в солитон, порядок которого есть целое число N, ближайшее к начальному значению N. Если записать [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...