Системы, близкие к интегрируемым

Характер возможных движений консервативных систем, неинтегрируемых в квадратурах, сложен и в настоящее время мало изучен. Однако в последнее время в работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера и других было показано, что большинство движений консервативной системы, близкой к интегрируемой в квадратурах, также имеет квазипериодический характер. Тем не менее в любой сколь угодно малой окрестности таких движений существуют движения иной, гораздо более сложной природы подобно тому как в любой сколь угодно малой окрестности произвольного иррационального числа имеется бесконечно много рациональных чисел. [c.149]

Введение. Математические биллиарды — один из важных модельных объектов рассмотрения в теории динамических систем и ее приложениях [1-5]. В последнее время начались исследования биллиардов с медленно меняющимися параметрами (см., например, [6]). В данной работе рассматривается динамика в медленно вращающихся прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами. Рассматриваемые системы близки к интегрируемым, и для их изучения могут быть применены методы теории возмущений. В этих системах имеют место резонансные явления захват в резонанс и рассеяние на резонансе. При исследовании этих явлений ниже используются методы, развитые в теории гладких гамильтоновых систем с быстрыми и медленными переменными [7]. Результаты настоящей работы свидетельствуют, что эти методы могут успешно применяться и для исследования систем с ударами, какими являются биллиарды. [c.171]

Системы, близкие к интегрируемым. Рассмотрим случаи, когда в исходных переменных гамильтониан задачи имеет вид [c.470]

Переменные действие-угол существенно облегчают исследование системы, близкой к интегрируемой, с гамильтонианом [c.285]

В. Зоны неустойчивости. Присутствие инвариантных торов в фазовом пространстве возмущенной задачи означает, что при большинстве начальных условий в системе, близкой к интегрируемой, движение остается условно-периодическим с максимальным набором частот. [c.373]

Системы, близкие к интегрируемым [c.59]

Это очень сильные условия, и гамильтоновы системы, близкие к интегрируемым, никогда им не удовлетворяют. Системы Аносова структурно устойчивы [8], т. е. при действии малого возмущения Рис. 5.3. Отображение Арнольда на то- НИ остаются системами Ано-ре (по данным работы [И]). СОва. [c.302]

В системах, близких к интегрируемым, аналитический и численный расчет показателей а (особенно максимального о = (Т1) широко используется в качестве критерия стохастичности. Отметим прежде всего [57 ], что в интегрируемых гамильтоновых системах все а равны нулю. Рассмотрим в качестве примера движение на торе [c.310]

В системах, близких к интегрируемым, резонансы окружены, как мы уже знаем, стохастическими слоями. Однако в случае двух степеней свободы сохранение энергии ограничивает движение вдоль слоя. В поперечном же направлении слои изолированы друг от друга инвариантными поверхностями. [c.341]

Рассмотрим движение системы, близкой к интегрируемой, под действием внешнего шума. Резонансы в системе могут значительно усиливать внешнюю диффузию. В п. 5.56 мы уже познакомились с примером такого усиления классической диффузии за счет прохождения резонанса (см. рис. 5.17). [c.375]

В этом разделе мы рассмотрим метод Мельникова [299 ], позволяющий исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой. Этот метод позволяет получить критерий возникновения стохастичности в окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. Мы уже видели (см. п. 3.26 и рис. 3.4), что в типичной гамильтоновой системе движение около сепаратрисы всегда хаотическое. Однако в присутствии диссипации это уже не так. Поэтому важно найти условия, при которых возникает хаос. [c.457]

В) Системы, близкие к интегрируемым 21.4 [c.95]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Будем предполагать, что гамильтонова система близка к точно интегрируемой по Лиувиллю, так что ее гамильтониан может быть приведен к виду [c.304]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Поэтому особое внимание уделяется тем задачам, в которых удается получить решение системы, записанное через элементарные функции или интегралы от них. Такие задачи называются интегрируемыми. Многие практически важные задачи оказываются в определенном смысле близкими и интегрируемыми. Опираясь на эту близость , часто удается на основе анализа интегрируемых задач получить представление об общих свойствах решений в задачах, близких к интегрируемым. [c.222]

Один из подходов к неинтегрируемым системам — изучение систем, близких к интегрируемым. Например, задача о движении планет вокруг Солнца близка к интегрируемой задаче о движении невзаимодействующих точек вокруг неподвижного центра упомянем еще задачу о движении слегка несимметричного тяжелого волчка и задачу о нелинейных колебаниях вблизи положения равновесия (близкая интегрируемая задача — линейная). При исследовании этих и подобных задач чрезвычайно плодотворен следующий метод. [c.256]

Указанная здесь трудность характерна не только для задач небесной механики, но для всех задач, близких к интегрируемым (например, для задачи о движении асимметричного тяжелого волчка, приведенного в очень быстрое вращение). Пуанкаре даже называл основной задачей динамики задачу об исследовании возмущений условно-периодических движений в системе, заданной гамильтонианом [c.367]

ТО решить их столь же трудно, как и исходные канонические уравнения. Однако метод Гамильтона—Якоби очень удобен для получения приближенных решений в виде рядов для систем, близких к системам с разделяющимися переменными, или, как их чаще называют, для систем, близких к интегрируемым. [c.24]

Гамильтониан (1.3.6) был получен для модели маятника. Однако оказывается, что такого вида гамильтониан получается почти во всех близких к интегрируемым системах, в которых имеет место резонанс между степенями свободы. В окрестности значений переменных действия, соответствующих точному резонансу, разложение неинтегрируемой части гамильтониана в ряд Фурье дает члены. [c.42]

Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, близкую к интегрируемой. В окрестности резонанса гамильтониан такой системы можно привести к стандартному виду [c.236]

Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при ш 0. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5. Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы. [c.243]

В гл. 3 мы видели, что в системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым, вблизи сепаратрис резонансов возникают области хаотического движения. Эти области сохраняются для любого ненулевого возмущения е, хотя их площадь и стремится к нулю при Е 0. Следовательно, не существует резкого перехода к стохастичности для какого-то критического значения е, и поэтому смысл любого такого критерия должен быть определен более четко. [c.244]

Здесь мы дадим количественную теорию явления синхронизации автоколебательных систем на примере лампового генератора, принципиальная схема которого проведена на рис. 16.2. Как довести исследование подобной конкретной нелинейной динамической системы до чисел Один пример мы уже рассматривали — это автоколебания в системе, где удалось разделить быстрые и медленные движения. Формально такое разделение можно сделать, если в уравнениях при старшей производной имеется малый параметр. Его присутствие позволяет во многих случаях (не только, конечно, при анализе автоколебаний) понизить порядок исходной системы — проинтегрировать ее по участкам быстрых и медленных движений. Следует заметить, что большинство методов, позволяющих довести решение конкретной нелинейной задачи до конца без применения численного счета на ЭВМ, связано с наличием в системе малого параметра, т. е. фактически с близостью исследуемой системы к другой, более простой, а точнее, интегрируемой (хотя бы и приближенно). Другой случай, когда удается решить задачу аналитически, — он наиболее часто встречается в физике и различных приложениях — это, когда исходная нелинейная система близка к линейному осциллятору или нескольким осцилляторам. При этом решение близко к набору синусоид, однако их параметрами, очевидно, будут уже не числа, а медленно изменяющиеся функции времени. [c.330]

Трещёв Д. В. О существовании бесконечного количества невырожденных периодических решений гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой //В кн. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика.— М. изд-во МГУ, 1986. 121-127. [c.423]

А. Системы, близкие к интегрируемым. Мы рассмотрели выше довольно много интегрируемых систем (одномерные задачи, задача двух тел, малые колебания, случаи Эйлера и Лагранжа движения твердого тела с закрепленной точкой и т. д.). Мы изучили характер фазовых траекторий в этих системах они оказались обмотками торов , заполняющилш всюду плотно инвариантные торы в фазовом пространстве каждая траектория распределена на этом торе равномерно. [c.256]

Обратимся теперь к качественному описанию типичного случая таких гамильтоновых систем, которые можно рассматривать как возмущения интегрируемых систем. Мы будем называть такие системы близкими к интегрируемым. Рассмотрим сначала простой случай автономного гамильтониана с двумя степенями свободы, или, что эквивалентно, неавтономного (зависящего от времени) гамильтониана с одной степенью свободы. Как мы видели в п. 1.26, неавтономные системы можно свести к автономным путем увеличения числа степеней свободы на единицу. Отличительной чертой систем, близких к интегрируемым, является присутствие причудливо перемешанных друг с другом областей как регулярного, так и стохастического движения. При этом стохастические области отделены друг от друга областями с регулярными траекториями. Стохастические траектории естественно возникают в результате движения, задаваемого детерминированными уравнениями Гамильтона, которые не содержат никаких специальных стохастических сил. Мы проиллюстрируем это на двух примерах, широко обсуждавшихся в литературе модель Хенона—Хейлеса и ускорение Ферми. Для автономных систем с более чем двумя степенями свободы области стохастичности уже не разделяются регулярными траекториями, а образуют стохастическую паутину , что приводит к так называемой диффузии Арнольда, которая качественно описана в конце этого параграфа. [c.59]

Интуитивно ясно, что рассматривавшиеся в предыдущих параграфах стохастические системы являются перемешивающимися (в пределах стохастической компоненты движения). Однако это очень трудно строго доказать в конкретных случаях. Синаю [377 ] удалось сделать это для системы твердых шариков (см. п. 1.4а). Доказательство основано на рассеянии пучка траекторий при столкновении шариков (см. рис. 1.15, а). Хотя этот частный результат и не доказывает наше предположение о перемешивании для типичной системы, близкой к интегрируемой, однако он оправдывает подобные элширические обобщения, получаемые методом численного моделирования. [c.300]

Системы, близкие к интегрируемым, такие, как модели Хенона— Хейлеса или ускорения Ферми, для которых характерно наличие [c.305]

Сверхадиабатичность 491 Секулярные члены 82, 85 Сепаратриса 39, 41, 42, 49, 61 — 64, 67, 73, 128, 191, 197 — 200, 206, 234, 237, 267 Символическая траектория 304 Системы, близкие к интегрируемым 24, 36, 42, 59, 62, 89, 90, 180, 305, 310 [c.525]

Книга [17] посвящеяа теорин возмущений, позволяющей исследовать системы, близкие к интегрируемым. [c.141]

Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых систем. Здесь для 2я-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при помощи теоремы Четаева о неустойчивости доказаны утверждения о неустойчивости при наличии резонансов третьего и четвертого порядков и рассмотрены различные аспекты задачи об устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда по устойчивости для большинства начальных данных, формулируется и доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости гамильтоновых систем, рассматриваются основные результаты исследований Нехорошева об оценке скорости диффузии Арнольда [78—81] в многомерных гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. [c.12]

П.П. Пехорогиев [26-28] изучал задачу об устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. Для задачи об устойчивости системы (1) из его результатов можно, в частности, получить следу-югцие выводы. (Формулируем их для автономной системы (1), для 27г-периодической по t системы формулировки будут аналогичны). [c.119]

Обычно доказательства неинтегрируемости и хаотического поведения гамильтоновых систем основаны на построении трансверсальных гомоклинических траекторий к гиперболическим положениям равновесия или периодическим траекториям. Как правило, доказать существование таких траекторий удается только для систем, близких к интегрируемым, когда можно применить один из методов теории возмущений, например основанный на интеграле Пуанкаре-Мельникова 21]. Если в системе нет малого параметра, то методы теории возмущений неприменимы. Тогда приходится использовать непертурбационные методы, одним из которых является вариационный метод. В настоящей работе подход, основанный на вариационных принципах механики, проиллюстрирован на простейшем случае автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. По поводу других классов систем см., например, [1, 2, 6, 9, 10, 12, 16, 25-28] и библиографии в этих работах. [c.147]

Оценка сверху средней скорости ухода переменных действия от начальных условий в общих системах канонических уравнений Гамильтона с п степенями свободы, близких к интегрируемым, содержится в работе Н. И. Нехорошева ). [c.375]

Получение приближенных решений для систем, близких к интегрируемым, тесно связано с отысканием периодических решений в таких системах. Последние важны, поскольку они образуют плотное множество и позволяют анализировать близкие решения с помош,ью линейной теории (см. 3.3). Хеллеман, Эминицер и др. [П6] разработали в последнее время весьма эффективные сверхсходящиеся методы нахождения периодических решений, и методы описываются в п. 2.66 и иллюстрируются на примере задачи Хенона—Хейлеса. [c.165]

В отличие от задачи с волной (см. п. 2.4в) разделение на быстрые и медленные переменные здесь невозможно. Следовательно, неприменима и резонансная теория возмущения. Фактически рассматриваемая система вообще не имеет малого параметра ), т. е. не близка к интегрируемой. В таком случае нет основания ожидать существования инвариантных кривых даже в пределе е —0. Это п было обнаружено Лансфордом и Фордом путем численного интегрирования уравнений движения ). [c.191]

Для близких к интегрируемым классических систем, в которых регулярные и стохастические траектории сосуществуют в сколь угодно малых масштабах, квантовые аналоги не ясны. Некоторое понимание достигнуто в отношении квантования классических систем с полностью стохастическим поведением (/ -систем). Примерами являются отображение Арнольда [27 ] и бильярд Синая, в частности стадион , образованный двумя параллельными прямыми, замкнутыми полуокружностями [59, 287 [. Берри [24,25] и Заславский [440] предположили, что уровни энергии стохастической системы должны отталкиваться, так что распределение расстояний между ними имеет максимум при некотором конечном значении, а не в нуле, как для интегрируемой системы ). Отталкивание наблюдалось в численном юдeлиpoвaнии для бильярда Синая и стадиона [27, 28, 59, 80, 287 ] и иногда принимается в качестве определения квантовой стохастичности. [c.496]

Ситуация с близкими к интегрируемым системами не так ясна. Считается, что классическая иерархия резонансов с их стохастическими слоями и инвариантньтш торами замазывается при любом конечном /г. Квантовое фазовое пространство оказывается. [c.496]

Может показаться естественным, что если уже поведение системы с малым числом степеней свободы может быть сложным, то система с бесконечным числом степеней свободы заведомо должна демонстрировать случайное поведение. Однако в общем случае это не так. В свое время была выдвинута гипотеза о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы, распределилась по всем модам и таким образом установилось термодинамическое равновесие. Для поддержания этих представлений в конце 40-х годов была проведена серия численных экспериментов с моделями нелинейных цепочек из большого числа частиц, но термализации не обнаружилось — система периодически возвращалась в состояние с начальным распределением энергии (парадокс Ферми-Паста-Улама). В действительности нелинейные волновые системы бывают двух типов — интегрируемые (или близкие к ним), они демонстрируют лишь простое периодическое или квазипериодическое поведение, и неинтег-рируемые. Неинтегрируемые системы при достаточно большой начальной энергии стохастизуются. По случайному стечению обстоятельств цепочка, с которой работали Ферми, Паста и Улам, при выбранных ими значениях параметров оказалась близкой к интегрируемой. [c.15]

Существует обширный класс динамических систем, траектории которых обладают замечательной устойчивостью, не заполняют эргодическим образом поверхность уровня энергии Н = onst и остаются все время в некоторой области фазового пространства. Это случай систем, близких к интегрируемым системам, и систем, к которым применима теория возмущений небесной механики. К этому классу принадлежит задача трех тел, а также исследование быстрых вращений тяжелого твердого тела, движения свободной точки по геодезической на выпуклых поверхностях, системы с адиабатическими инвариантами и т.д. [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...