Символическая траектория

Это — так называемая символическая траектория.— Прим. ред. [c.304]

Введенную, таким образом, вероятность для множества непрерывных траекторий х х) называют мерой Винера. Устремим ширину ворот Ь,—й1 к нулю (при этом интегралы исчезнут), а их число п — к бесконечности. Тогда, обозначив Ьг—а,—и (/п= = dx, получим из (5.147) символическую формулу для меры Винера ё-пгх х) [c.92]

Рис. 51 дает символическое трехмерное представление взаимного положения истинной траектории системы (сплошная кривая) и ее виртуальной траектории (пунктирная кривая) слагающееся из совокупности всех Sx смещение Sq должно быть вполне произвольным вдоль всей траектории, за исключением начальной и конечной точек, и должно представлять собой непрерывную и дифференцируемую функцию от причем каждые две соответственные точки действительной и варьированной траектории, связанные между собой вариацией Sq относятся к одному и тому же моменту времени t. [c.243]

Потребность в символических и проблемно-ориентированных языках для описания геометрической информации впервые стала ощутимой при разработке систем автоматизации программирования станков с ЧПУ. В этом случае необходимо описать форму обрабатываемой части детали или траекторий инструментов в компактном мнемоническом виде, ввести описания в память 130 [c.130]

В системах символического типа описание геометрических элементов осуществляется отдельно, а затем из символов, обозначающих элементы, образующие обрабатываемый контур, составляется описание траектории инструмента. Такие системы позволяют просто решать разнообразные геометрические задачи, возникающие при описании сложных контуров, что и определяет их эффективность. [c.44]

Данное состояние системы, очевидно, может быть изображено символически точкой в пространстве 2s измерений, в котором эта точка имеет координатами значение величин q и р. Так как координаты непрерывно меняются со временем, то точка эта описывает в этом пространстве некоторую траекторию. Пространство 2s измерений ((/, р) мы будет называть фазовой протяженностью Е. [c.23]

Справедливо и обратное утверждение, т. е. любой последовательности (1.44) точек, связанных соотношениями (1.45), отвечает единственная последовательность вспомогательных отображений (1.43). Это дает полное описание всех фазовых траекторий точечного отображения Т — как периодических, так и непериодических. Приведенное описание выдержано в духе так называемой символической динамики. [c.136]

Символическое описание траекторий позволяет доказать ряд важных свойств преобразования 8. Из леммы 1 и теоремы 1 выводится [c.303]

Динамические системы, у которых имеются траектории, всюду плотно заполняющие фазовое пространство, называются транзитивными. Наша система транзитивна на подмножестве А С В, поэтому ее можно отнести к транзитивному типу (термин Биркгофа). Любая неинтегрируемая проблема транзитивного типа может, однако, считаться решенной , если для нее можно указать специальный алгоритм, достаточно могущественный для разрешения всех вопросов о типах и распределении движений . ) В нашем случае этот алгоритм дает символическое представление траекторий в квадрате В, описываемое теоремой 1. [c.304]

Если записать уравнения гидродинамики, линеаризированные относительно периодического решения o t) с периодом Т1, символически в виде (Зо)7<5 = 7 /0), где Г/ — ограниченный линейный оператор, непрерывно и периодически с периодом Т1 зависящий от то для всякого возмущения о) ( ) периодического решения со (/+Т1) = /(т1)о) (/), где и г1)—линейный и ограниченный так называемый оператор монодромии. Его собственные значения Pn(Re) называются мультипликаторами один из них, тривиальный, равен единице и дальше учитываться не будет. Если все Рп < 1, то все возмущения при каждом обходе замкнутой траектории уменьшаются, так что периодическое движение устойчиво [c.98]

Замечание. Минимальное множество потока фе Х Х изоморфно специальному потоку (с непостоянной функцией) над некоторым транзитивным символическим каскадом (вообще говоря, не над топологической цепью Маркова), так как всякий одномерный поток, разделяющий траектории, обладает этим свойством (см. 2]). [c.126]

Один из основных результатов Морса в символической динамике ([14], [15]) состоял в доказательстве существования непериодических рекуррентных траекторий. [c.126]

Символическая динамика может быть использована для подсчета числа периодических траекторий потока ф Х Х. Основным инструментом при это.м служит введенная Смейлом [24, стр. 166 русского перевода] дзета функция [c.127]

Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей состоят из точек, которые получаются в результате последовательного применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам (устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы (при и —> оо) и прообразы (при п —> —оо) также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу. Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16. Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При I оо эта траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики [14]. [c.326]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Кодировка траекторий гладких динамических систем последовательностями натуральных чисел или последовательностями символов некоторого конечного алфавита впервые, по-видимому, была применена для описания глобального поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны (Ж. Адамар, М. Морс и другие см., например, [1] гл. 8, 11). Это послужило толчком для изучения различных свойств гомеоморфизма сдвига в различных подпространствах пространства р-ичных последовательностей. Весь круг связанных с этим идей и понятий получил название символической динамики ([52]). Однако некоторое время после этого отображение Г Ш изучалось главным образом с точки зрения эргодической теории, тем более что оно тесно связано с эргодическими динамическими системами вероятностного происхождения — марковскими цепями и, в частности, со схемой Бернулли. Мы еще вернемся далее к этой связи. [c.55]

Символическая динамика. Символическое представление гладкой динамической системы означает, что почти каждая (в топологическом или метрическом смысле) траектория кодируется посредством конечного или счетного алфавита в бесконечную последовательность, так что динамическая система оказывается ассоциированной (сопряженной) со сдвигом в подмножестве пространства двусторонних последовательностей. Хорошая кодировка — это такая, при которой возникающее подмножество последовательностей устроено достаточно просто. Она требует специальных разбиений. [c.144]

V (х) = о) , где со таково, что 5"(х)6/ ю - При этом ф осуществляет сопряжение S со сдвигом а в 2(6). Тройка ( ф, г( (А), о) называется символическим представлением S на А. В случае марковского разбиения отображение ij), заданное, как указано выше, определено однозначно всюду, кроме траекторий [c.145]

Сверхадиабатичность 491 Секулярные члены 82, 85 Сепаратриса 39, 41, 42, 49, 61 — 64, 67, 73, 128, 191, 197 — 200, 206, 234, 237, 267 Символическая траектория 304 Системы, близкие к интегрируемым 24, 36, 42, 59, 62, 89, 90, 180, 305, 310 [c.525]

Как описать однопараметрические деформации квазиоб-щих систем, не являющихся системами первой степени негру-бости, в частности, бифуркации, в результате которых появляются и исчезают нетривиальные устойчивые по Пуассону траектории (По-видимому, здесь не обойтись без символической, динамики типа теории нидинг-последовательностей [135], [165].) [c.111]

Мы знаем, что процесс варьирования интеграла можнр свести к вычислению дифференциалов, для чего достагочно рассмотреть однопараметрическое семейство возможных траекторий в пространстве конфигураций. Координаты qi становятся тогда функциями времени t и параметра а, указывающего, какая траектория применяется при вычислении интеграла /. Поэтому этот интеграл можно рассматривать как функцию а, а вариации входящих в него величин можно отождествить с их дифференциалами. Символически это можно записать следующим образом [c.251]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Итак, каждой траектории 8 г), г В, п Ъ, содержащейся в квадрате В сопоставлена последовательность символов и) = о п , причем действию отображения 3 отвечает ее сдвиг на один элемент влево. Этот метод кодировки траекторий восходит к работам Адамара, Биркгофа, Морса, Хедлунда по исследованию геодезических на замкнутых поверхностях отрицательной кривизны и составляет содержание символической динамики". Подробнее с этой теорией можно ознакомиться по книгам [4, 221]. [c.303]

Методы символической динамики применимы к описанию поведения системы вблизи трансверсальной гомоклинной траектории. Пусть р — гиперболическая неподвижная точка отображения 3 произвольного многообразия М на себя. Можно считать, что М — фазовое пространство неавтономной периодической гамильтоновой системы, а. 3 — отображение за период (см. п. 4 1). Пусть Л+ и — асимптотические инвариантные поверхности точки р, пересекаюшиеся трансверсально. Точки д е Л+ П Л естественно назвать трансверсальными гомоклинными точками Иш 3 д) = [c.305]

В. М. Алексеев применил метод символической динамики в задаче о пылинке в поле двойной звезды (см. п. 3 5 гл. I). Оказывается, если эксцентриситет орбит массивных тел отличен от нуля, то траектории пылинки выглядят весьма запутанными. Это дает возможность доказать неинтегрируемость уравнений движения [5]. Более точно, квазислучайность траекторий пылинки удается установить при малых значениях эксцентриситета е ф 0. Методом Пуанкаре (см. 1 гл. IV) можно доказать отсутствие интегралов и нетривиальных групп симметрий в виде формальных рядов по степеням е. Либре и Симо [216] перенесли метод Алексеева на ограниченную круговую задачу трех тел в предположении, что масса Юпитера много меньше массы Солнца. [c.308]

Книга представляет собой сборник переводов недавних работ известного американского математика. В них исследуются топологические и метрические свойства классических динамических систем, удовлетворяющих условию гиперболичности (пернолические траектории, энтропия, инвариантные меры). Исследование проводится методами символической динамики, иитенсивно развивающимися в последнее десятилетие. Теория, излагаемая в книге, интересна своими связями с различными задачами дифференциальных уравнений, эргодической теории, статистической физики. [c.4]

Отображение р сохраняет различные свойства возвращаемости траекторий. Мы покажем, что точка 2еЛ(а,/) является периодической, всюду плотной, устойчивой по Пуассону илн рекуррентной (относительно тогда и только тогда, когда точка р(г ) обладает соответствующим свойством относительно ф Х- -Х. Отметим, что точка г = р 8,1) с обладает одним из этих свойств возвращаемости тогда и только тогда, когда им обладает последовательность 5 (относительно сдвига а), Именно по этой причине в название статьи входят слова символическая динамика . В этом разделе мы опишем минимальные множества потока ф< Х- -Х и покажем, что они одномерны. [c.123]

Доказательство. может не быть гиперболическим, символическим потоком из-за отсутствия топологической транзитивности, Однако замыкание множества перноднческих траекторий потока Ч п является объединением непересе-каюшихся замкнутых множеств У[,. .., Ущ, таких, что на каждом нз них является гиперболическим символическим потоком. Заметим, что [c.132]

Когда же говорят о методах символической динамики, то имеют в виду изучение произвольных динамических систем при помощи символических моделей, в которых последовательности (1.1) соответствуют траекториям изучаемой системы, а отображение а —некоторому сдвигу вдоль этих траекторий. В частности, методы символической динамики оказываются применимыми в качественной теории дифференциальных уравнений, где рассматриваются гладкие системы на гладких многообразиях, хотя сама по себе символическая динамика большей частью имеет дело со вполне несвязными нульмерными пространствами, гомеоморфными канторову множеству. [c.196]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Символическая динамика Динамическая модель, в которой дискретизовано не только время, но и переменные состояния принимают только конечное множество значений, например (-1,0, 1). Так как допустимое множество значений, конечно, можно сопоставить им любой набор символов, например L. С, R). Тогда динамической траектории будет соответствовать некоторая последовательность символов. Методы символической динамики используются также в теории клеточных автоматов. [c.273]

Если замкнутая траектория рассматривается как траектория с периодом kxo, где то — минимальный период, то геометрически можно представить себе, что делается k обходов вдоль этой траектории. Соответственно можно говорить о k-o6 ходной траектории и писать символически L = Lo где Lq — та же траектория, рассматриваемая с минимальным периодом однообходная), а k назвать числом обходов. L можно также назвать k-кратным повторением Lq (однако от напрашивающихся выражений кратная замкнутая траектория н ее кратность приходится отказаться, ибо они имеют-иной смысл — см. статью I, гл. 1, п. 5.3). [c.175]

Таким образом, каждой траектории 5"(а), абВ, n( Z, целиком содержащейся в квадрате В, мы поставили в соответствие последовательность символов = , причем действию отображения S отвечает сдвиг всех символов на единицу влево. Этот метод кодировки траекторий, восходящий к работам Бирк> гофа, Морса (Н. М. Morse). Хедлунда (G. Hedlund), составляет содержание символической динамики . Более подробно с ней можно познакомиться по работам [1], [33]. [c.252]

С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А. Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К.А.Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (0S). которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа 08 П 05+, что и отражено в табл. 2. А. Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей НЕ ,, упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы символической динамики это позволило доказать непустоту классов НЕ П В+, НЕ П 08+, В П 08 , 08 П В+. К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий. [c.51]

Пусть шз = О (предположе-иис 1 тг > О ПС вносит ничего принципиально нового). Тогда рг и р2 описывают в ХОУ симметричные кеплеровские орбиты около О, которые в случае к < О будут эллипсами. В момент, когда рз проходит через О, состояние системы определяется скоростью этого тела и фазой г (истинной или средней аномалией) эллиптического движения тел рх и р2- Примем (г , г) за полярные координаты в некоторой плоскости Ф (ввиду симметрии относительно ХОУ знаком V можно пренебречь). Сдвиг вдоль траектории в фазовом пространстве от одного попадания рз в О к следующему определяет локальный диффеоморфизм 3 Д+ К С Ф. Оказывается, что можно указать такое открытое множество Г С Ф, что максимальное инвариантное множество А, содержащееся в Г, является марковским и допускает описание в терминах символической динамики. [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...