Процесс стохастический в пространстве

Эволюция вектора у (t) в пространстве U будет представлять собой диффузионный марковский процесс. Однако стохастические уравнения (24) для линейных параметрических систем оказываются нелинейными по отношению к части из компонентов вектора у (t). Поэтому уравнения относительно моментных функций образуют бесконечную систему. В уравнения, содержащие производные от моментных функций низших порядков, войдут моментные функции более высокого порядка. В связи с этим возникает проблема замыкания, т. е. приближенного сведения бесконечной системы дифференциальных уравнений к конечной системе. Кроме того, после замыкания уравнения будут содержать смешанные моменты процессов х (О и z (f), которые не входят в определение устойчивости по совокупности моментных функций. Поэтому вводят модифицированное определение устойчивости. [c.304]

Значительная часть книги посвящена описанию управляющих алгоритмов с параметрической оптимизацией, с компенсацией нулей и полюсов и конечным временем установления переходных процессов, синтез которых осуществляется в рамках классических методов, а также алгоритмов управления по состоянию и алгоритмов с минимальной дисперсией, полученных с помощью современных методов, основанных на представлении систем в пространстве состояний и использующих параметрические стохастические модели сигналов и объектов управления. С целью демонстрации свойств различных алгоритмов в цепях прямых и обратных связей замкнутых контуров управления проводилось их математическое моделирование на универсальных ЭВМ. Кроме того, многие алгоритмы были реализованы на управляющих ЭВМ, оснащенных пакетами прикладных программ. Работоспособность этих алгоритмов оценивалась по результатам практических экспериментов, в которых к управляющим ЭВМ подключались аналоговые модели, а также тестовые и реальные технологические объекты. [c.9]

Для того чтобы использовать рассмотренную выше теорию для описания поведения частицы с учетом инерции, необходимо расширить фазовое пространство, включив в него не только положение, но и скорость частицы. Такой формально определенный двумерный (или в трехмерном пространстве — шестимерный) случайный процесс z(t) = (x t), v(t)) уже оказывается марковским. Используя полученные в гл. IV формальные решения стохастического уравнения Ланжевена, с учетом (4.6) находим при малых Ai (см. (4.7), (4.8) [c.72]

Методом Монте-Карло принято называть такие методы, в которых точное динамическое поведение системы заменяется стохастическим процессом. В методе Монте-Карло система совершает случайные блуждания по конфигурационному пространству, причем за начальное состояние принимается некоторое регулярное расположение частиц. Каждому состоянию приписывается определенная вероятность, и система после совершения некоторого количества шагов становится равновесной. В ММК статистические средние получаются как средние по различным конфигурациям. Возможность отождествлять усреднение по времени и по ансамблю в ММК определяется эргодической теоремой. Для рассматриваемой системы предполагается наличие периодических граничных условий. Если смещение выводит частицу за пределы кубического объема, то она входит в него с противоположной стороны. [c.183]

Если внешние нагрузки являются случайными функциями времени, то задача об устойчивости движения системы приобретает особый смысл по сравнению со случаем регулярных воздействий. Допустим, что внешние силы представляют собой гауссовские случайные процессы. Тогда обобщенные координаты и скорости системы будут иметь распределения в неограниченной области своих значений независимо от устойчивости или неустойчивости исследуемых режимов. Строго говоря, задача об устойчивости движения по Ляпунову вырождается. Тем не менее аппарат теории устойчивости может быть эффективно использован в стохастических задачах. Исследование устойчивости при этом, по существу, трансформируется в изучение свойств распределений, которые будут иметь качественно различный характер для разных областей пространства параметров. [c.135]

Случайную функцию С (Л) в теории случайных процессов называют спектральной стохастической мерой или обобщенной ортогональной мерой, определенной в гильбертовом пространстве [c.186]

В 1970 г. В. В, Болотиным предложена математическая модель процесса разрушения [15, 16] композитных материалов со случайной структурой. Разрушение трактуется как случайный процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. Существенным элементом теории является моделирование процесса распространения макроскопической трещины как случайного процесса. Рассматривается вопрос о выборе пространства состояний и о разумном сокращении размерности этого пространства, о связи между переходными вероятностями и функциями распределения локальной прочности. Экспериментальная проверка теории на основе стохастической модели проведена на примере изучения процесса разрушения армированных пластиков. [c.267]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

Необходимо сделать еще одно замечание относительно связи фрактальной геометрии и фрактальной физики со случайными процессами и их исследованием методами математической статистики. Дело в том, что свойства той или иной фрактальной структуры целиком определяются процессами её породившими. Если не рассматривать регулярные фракталы, представимые как предел последовательности некоторых рекурсивных преобразований в математических примерах конструирования подобных объектов, то в остальных случаях наиболее важными являются стохастические фрактальные системы, порождаемые в ходе некоторого случайного процесса. Например, широко используемом для порождения и анализа свойств фрактальных объектов в численных экспериментах является метод ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [43], при котором процесс образования фрактального агрегата описывается как последовательное налипание частиц диффундирующих издалека к области, где растет агрегат таких частиц, к какой-либо точке (частице), уже сформированного на предыдущих шагах агрегата. Другие примеры связаны с анализом задач о случайном блуждании (обобщения статистических моделей диффузии, броуновского движения и т.п.). Статистические свойства характеризующих эти случайные процессы случайных величин и порождаемых ими в физическом или фазовом пространстве траекторий оказываются в общем случае описываемыми устойчивыми по Леви распределениями [44], представляющими собой обобщение классических нормальных (гауссовых распределений). [c.149]

Производящая функция 26.1, 26.3, 26.7 Процесс стохастический в пространстве непрерывных переменных 26.9 Процессы кваэистатические 1.3 [c.634]

Пусть совокупность процессов, происходящих в фильтрах, описывается вектором г (i) размерностью iii, совпадающей с суммарным порядком стохастических дифференциальных уравнений для фильтров. Введем расширенное (п + ni)-Mepnoe фазовое пространство U с элементами у (t) = х (t) + г ((). [c.304]

Вопрос об устойчивости или неустойчивости стационарного случайного процесса и (t) решается в зависимости от характера корней уравнения (5.65). Корням с положительными вещественными частями в пространстве оригиналов ср (со, t) соответствуют неограниченно возрастающие частные решения. Исследование стохастической устойчивости приводит, таким образом, к классической процедуре Раусса—Гурвица — проверке знаков определителей [c.156]

Стохастичность н турбулентность. Во исом тскстс монографии существенно использовалось свойство гамильтоновости рассмотренных динамических систем. Это означало, что фазовый объем системы сохраняется и процессе ее движения. Перемешивающееся в фазовом пространстве, или стохастическое движение обозначалось одновременно турбулентностью движения в фазовом пространстве. При анализе возникновения стохастичности в континуальных системах типа взаимодействующих волн переход к перемешиванию означает также переход и к турбулентному движению в пространстве координат спстемы. [c.250]

Если начальное состояние луча таково, что его действие I лежит в области Щ4.21), то это значит, что его движение в пространстве вдоль г носит диффузионный характер. Диффузия луча приводит к тому, что он достигает области вблизи невозмущенной сепаратрисы и высвечивается из волноводной области. Таким образом, действие неоднородности как возмущения приводит к уменьшению эффективной ширины волноводного канала. В область стохастического слоя попадают моды колебаний поля с боль-птими номерами. Поэтому излучение поля из стохастического слоя означает также процесс фильтрации высоких мод в волноводном канале [c.263]

В системах с диссипацией фазовый объем сокрашается в процессе движения. В простейшем случае такая система эволюционирует к состоянию равновесия — соответствующая траектория в фазовом пространстве имеет вид устойчивого фокуса. При подпитке энергией извне диссипативная система может испытывать устойчивые колебания — это устойчивый цикл в фазовом пространстве (в многомерном случае — тор), а может перейти в режим сложного стохастического движения, которое получило название странного аттрактора. Таким образом, все траектории диссипативной системы в фазовом пространстве соответствуют аттракторам — равновесию, периодическим колебаниям или странному аттрактору. Одним из аттракторов может быть разрушение системы. [c.340]

Сравнение со стохастической теорией легче всего провести, рассматривая броуновское движение осциллятора, как это сделал Мазур [5] для слабого взаимодействия. Уравнения движения для приведенной функции распределения в случае броуновского движения осциллятора в системе со слабым взаимодействием суть уравнения Фоккера — Планка, описывающие в пространстве переменных X и V гауссов марковский процесс. Эти уравнения находятся в полном согласии с результатами стохастической теории для сильно затухающего осциллятора, что не удивительно, так как и те и другие соответствуют одному и тому же предельному случаю, когда характеристические молекулярные времена значительно меньще времени релаксации, т. е. когда [c.297]

Указанные утверждения устанавливают-юаимосвязи параметров в различных сечениях пространства повреждений для одного и того же стохастического процесса накопления повреждений конструктивных элементов. [c.535]

Полученное в предыдущем параграфе уравнение состояния консолидируемой стохастической волокнистой среды позволяет перейти к исследованию проницаемости таких сред неньютоновскими жидкостями. Разрабатываемый в данной работе фрактальный подход дает возможность учесть влияние на коэффициент проницаемости среды ее неоднородности, а также процесса перефорлш — рования порового пространства при деформировании среды. [c.233]

В случае общего стохастического процесса в непрерывном пространстве состояний вероятности определяются через Рг (Х1, Х2, 2-,. Хг, 1г), где Ргйх х . . . д.Хг — вероятность того, что случайная функция X ( ) удовлетворяет соотношениям X (Ь) < Н- Ж , 2 < X ( а) Сх Л- йх ,. . ., Жг < [c.596]

Для слабо возмущенных систем с двумя степенями свободы тонкие стохастические слои отделены друг от друга инвариантными поверхностями, а стохастические колебания переменных действия внутри слоя оказываются экспоненциально малыми (по возмущению). С увеличением возмущения возможен переход, при котором изолирующие инвариантные поверхности разрушаются и стохастические слои сливаются, приводя к глобальному стохастическому движению. Фазовое пространство можно разделить при этом на три области. Одна из них содержит в основном стохастические траектории. Она связана ) со второй областью, значительную часть которой составляет по-прежнему стохастическая компонента движения, но внутри ее уже имеются большие острова регулярного движения. Третья область содержит главным образом регулярные траектории и отделена от первых двух инвариантными поверхностями. Классический пример, иллюстрирующий переход от почти регулярного к существенно стохастическому движению, был предложен Хеноном и Хейлесом [188] для моделирования динамики в задаче трех тел-). Численные эксперименты и связанные с ними эвристические теории, развитые за последние двадцать лет, прояснили основные процессы и позволили определить величину возмущения, при которой происходит такой переход. Эти результаты иллюстрируются в гл. 3 на примере ускорения Ферми, первоначально предложенного для объяснения происхождения космических лучей. Рассматривается модель, в которой упругий шарик колеблется между неподвижной и вибрирующей стенками. Далее, в гл. 4, определяются условия перехода от локализованной стохастичности к глобальной. При этом используются различные подходы к задаче (см., например, [70, 1651). [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...