Бегущие волны гармонические

Если плоские бегущие волны — гармонического типа, то а и 5 во всякий момент времени являются круговыми функциями одной из пространственных координат (х), и поэтому среднее значение квадратов их равно половине максимального значения. Отсюда полная энергия волн равна кинетической энергии всей данной массы воздуха, движущейся с максимальной скоростью, какую можно найти у волн, или потенциальной энергии той же самой массы воздуха, сжатой до максимальной плотности, встречающейся у волн. [c.27]

Такое гармоническое движение отдельных сечений стержня, распространяющееся вдоль стержня с некоторой определенной скоростью, называется гармонической бегущей волной. Смещение в гармонической бегущей волне является гармонической функцией аргумента t — x/v, т. е. как во времени для фиксированной точки в пространстве, так и в пространстве для фиксированного момента времени смещение изменяется по закону синуса или косинуса ). [c.678]

Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых простейших случаях продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импульса не зависит от формы и характера и.мпульса и для импульсов любого типа оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения бегущей волны, которая представляет собой од у из разновидностей импульса, совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса. Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют фазовой скоростью, с этой скоростью движется фаза распространяющегося колебания. [c.682]

Картины образования бегущих и стоячих волн совершенно различны. Однако если мы в обоих случаях будем наблюдать движение только какого-либо одного сечения стержня, то мы не отличим стоячей волны от бегущей. В обоих случаях отдельное сечение стержня колеблется по гармоническому закону (кроме узловых точек в случае стоячей волны). Различие между бегущей и стоячей волнами мы обнаружим, только если в каждом случае сравним движение двух разных сечений стержня. В случае бегущей волны разные сечения стержня колеблются с одинаковой амплитудой, но в различных фазах. В случае же стоячей волны разные сечения стержня колеблются в одинаковой фазе, но с различными амплитудами. [c.685]

Волновая поверхность гармонической волны — односвязная поверхность в среде, представляющая собой геометрическое место синфазно колеблющихся точек среды при гармонической бегущей волне. [c.148]

Изложенное выше с качественной стороны в равной степени относится и к вынужденным колебаниям поворотно-симметричных систем с ограниченным порядкам симметрии S, если иметь в виду равномерно-дискретный гармонический закон окружного распределения амплитуд и соответственно возможность наблюдения бегущих волн лишь дискретно, в сходственных точках. Для этого в приведенных выражениях непрерывно изменяющийся центральный угол ф следует заменить его дискретными значениями ф (А=0, 1, 2,. .., 5-1). [c.34]

Для осесимметричных систем (5 = оо) коэффициенты сн=0. В выражении (2.38) будут присутствовать только два первых слагаемых, и неподвижный наблюдатель зафиксирует лишь два гармонических процесса с частотами Vh p-fmQ и vh= p—mQ, первая из которых соответствует вперед-, а вторая назад бегущей волне. [c.36]

В результате интенсивность гармонической бегущей волны [c.170]

Если бегущая волна периодическая и состоит из нескольких гармонических составляющих, то для вычисления интенсивности необходимо просуммировать интенсивности всех гармонических составляющих. Иногда интенсивность периодической, но не синусоидальной, волны определяют как среднюю по времени, кратному периоду, плотность потока энергии. [c.171]

Особенно важным является случай гармонической бегущей волны. Формула [c.212]

Формула (3.9) задает гармоническую во времени и пространстве бегущую волну, если со и /с действительные, и нарастающую или затухающую во времени и в пространстве бегущую волпу при комплексных со и /с. [c.29]

Суперпозиция волн (3.9) не столь тривиальна, как аналогичная суперпозиция в линейных дискретных системах. Это связано с тем, что процессы во времени здесь связаны с пространственными изменениями. Ключевыми новыми понятиями здесь являются групповая скорость и дисперсия [107, 132]. Эти две величины описывают, как перемещается в пространстве и изменяется со временем волновой пакет, представляющий собой суперпозицию гармонических волн в некотором небольшом интервале частот и соответствующих волновых чисел. Групповая скорость — это скорость перемещения волнового пакета как некоторого образования. Дисперсия характеризует скорость расплывания волнового пакета. При отсутствии дисперсии волновой пакет не меняет своей формы, т. е. является бегущей волной неизменной формы—так называемой стационарной волной. При наличии дисперсии со временем происходит расплывание волнового пакета. Комплексное ш влечет экспоненциальный рост или уменьшение высоты пакета. Таким образом, групповая скорость определяет скорость движения пакета, дисперсия — его расплывание, а мнимая часть (о — возрастание или убывание его высоты. Групповая скорость равна йш/й/с, а дисперсия определяется величиной [c.30]

Если со( ) вещественна, то приведенная выше фурье-компонента представляет гармоническую бегущую волну. [c.13]

Рассмотрим суперпозицию двух гармонических бегущих волн, немного различающихся по частоте и волновым числам, но имеющих одинаковые амплитуды [c.15]

Глава 3. Вынужденные колебания. Главы 1 и 2 начинаются со свободных колебаний гармонического осциллятора и заканчиваются свободными стоячими волнами в замкнутых системах. В главах 3 и 4 мы рассматриваем вынужденные колебания, вначале для замкнутых систем (глава 3), где мы обнаруживаем резонансы , а затем для открытых систем (глава 4), где возникают бегущие волны. В п. 3.2. рассмотрены вынужденные колебания одномерного осциллятора с затуханием как в переходном, так и в установившемся режиме. Затем мы переходим к системам с двумя или большим числом степеней свободы и обнаруживаем у таких систем резонансы, соответствующие каждой моде свободных колебаний. Мы рассматриваем также действие вынуждающей силы на замкнутые системы при частотах, меньших частоты низшей (или больших самой высокой) моды, устанавливаем существование экспоненциальных волн и объясняем действие фильтров. [c.12]

Скорость волн в струне. Уравнение (22) связывает между собой длину волны и частоту для поперечных стоячих волн в непрерывной однородной струне. Постоянная (То/ро) " имеет размерность скорости, поскольку In имеет размерность [длина/время]. Скорость uo=(To/po) 2 носит название фазовой скорости бегущих волн для этой системы. (Мы будем изучать бегущие волны в главе 4.) При изучении стоячих волн мы не нуждаемся в понятии фазовой скорости, так как стоячие волны никуда не бегут . Они стоят и колеблются , как большой размазанный гармонический осциллятор. В этой главе мы не будем называть отношение (То/ро) " скоростью, так как хотим, чтобы читатель привык к представлению о стоячих волнах. [c.64]

Если внешняя сила (приложенная к открытой среде) совершает гармоническое колебание, то вызванные ею волны называются гармоническими бегущими волнами. В установившемся состоянии все движущиеся элементы системы совершают гармоническое движение с частотой внешнего воздействия. [c.150]

Фазовые соотношения. Относительная фаза двух различных движущихся элементов открытой среды, но которой распространяются гармонические бегущие волны, не совпадает с относительной фазой для стоячих волн в замкнутой системе. В случае стоячей волны, которая может быть либо нормальной модой свободных колебаний залп<нутой системы, либо ее вынужденным колебанием, все движущиеся элементы колеблются в фазе друг с другом (с точностью до возможного изменения знака смещения). Иначе обстоит дело для бегущей волны. Если движущийся элемент бесконечной струны Ь находится дальше от внешней силы, чем движущийся элемент а, то он будет совершать то же движение, что и а, но в более поздний момент времени. [c.150]

Гармонические бегущие волны в одномерном пространстве и фазовая скорость [c.150]

Предположим, что наша одномерная система является непрерывной однородной струной, простирающейся от г=0 до бесконечности. В точке 2=0 струна присоединена к выходным зажимам устройства ( передатчика ), которое может ее трясти и таким образом вызывать распространение бегущих волн вдоль струны. Предположим, что смещение на выходе передатчика является гармонической [c.150]

Рис. 4.1. Вынуждающая сила (в точке 2=0) создает гармоническое движение с периодом Г. В направлении - -г распространяется бегущая волна.

В установившейся бегущей волне (так же как и при вынужденных установившихся колебаниях замкнутой системы) все движущиеся элементы совершают гармоническое движение. Поэтому, какой бы ни была фазовая константа, для должно выполняться условие [c.154]

Однако для описания бегущих волн рассмотренные параметры не подходят. Бегущие волны переносят энергию и импульс, и фазовые соотношения для бегущих волн отличны от фазовых соотношений для стоячих волн. Бегущие волны в непрерывной протяженной среде не похожи на большой гармонический осциллятор, и такие характеристики гармонического осциллятора, как возвращающая сила и инерция, не годятся для описания бегущих волн. Величиной, которая может характеризовать среду, где распространяются бегущие волны, является фазовая скорость v . Для поперечных волн в струне фазовая скорость равна [c.181]

Пример 8. Поперечные бегущие волны в непрерывной среде. Рассмотрим непрерывную струну, левый конец которой находится в точке г=0. Пусть на этот конец струны действует поперечная гармоническая сила (рис. 4.8). Назовем точку приложения внещней [c.182]

Нам известно, что одномерный гармонический осциллятор ведет себя аналогичным образом, т. е. поведение комнаты можно сравнить с поведением одномерного осциллятора. Обозначим через ре плотность звуковой энергии, а через V объем комнаты. Чему равна запасенная энергия Для плоской бегущей волны поток энергии [в эрг](см -сек)] равен плотности, энергии, умноженной на скорость звука v=332 м/сек. Звуковые волны в комнате не являются бегущими волнами, но их можно рассматривать как суперпозицию бегущих волн, распространяющихся во всех направлениях. Можно считать, что одна шестая часть энергии распространяется в каждом из шести направлений, т. е. вдоль направлений +х, У и +г. [c.246]

До сих пор мы рассматривали главным образом волны и колебания, представляемые гармонической зависимостью от времени вида соз(со/+ф), с определенной частотой со. Исключением были биения, рассмотренные в п. 1.5. Мы нашли, что суперпозиция двух гармонических колебаний с близкими, но не равными частотами приводит к очень интересному явлению биений. В этой главе изучение биений будет продолжено. Мы будем рассматривать биения в пространстве и во времени, причем биения будут результатом сложения многих колебаний с различными частотами. Мы рассмотрим также распространение биений (или модулированных колебаний в случае, когда биения созданы более чем двумя гармоническими колебаниями) в виде бегущих волн и увидим, что модулированные колебания, распространяясь в виде волновых групп или волновых пакетов, переносят энергию и перемещаются с групповой скоростью. [c.247]

Чтобы понять, как распространяется сигнал, рассмотрим бегущую волну, которая образуется передатчиком, расположенным в точке 2=0. Смещение на выходе передатчика не будет больше иметь простую гармоническую форму D t)=A os at, а определяется более сложной временной зависимостью D(t)=f f). Оказывается, что широкий класс функций f t) может быть представлен линейной суперпозицией функций вида А (со) os [(oi+ф ( )], где амплитуда А (со) и фаза ф (со) зависят от частоты. Несколько позже мы увидим, как определить А (со) и ф(со) с помощью фурье-анализа. Сперва рассмотрим простой случай, когда смещение f f) представляет собой сумму всего лишь двух колебаний. Мы получим при этом ряд интересных результатов, которые в конце концов позволят понять, как происходит распространение волновой группы или импульса в диспергирующей среде (т. е. в среде, где фазовая скорость зависит от длины волны). [c.248]

Боковые полосы. Таким образом, модулированное по амплитуде напряжение V(t) является суперпозицией гармонических колебаний, состоящих из колебания с частотой .р несущая частота) и многих гармонических колебаний с частотами < ср+ мод верхняя полоса частот) и со р — со од нижняя полоса частот). Для того чтобы излучаемые бегущие волны передавали информацию о звуке в области частот от О до 20 кгц, необходимо, чтобы напряжение V t) было представлено суперпозицией гармонических компонент с угловыми частотами со в частотном диапазоне от самой низкой частоты, присутствующей в нижней боковой полосе, до самой верхней частоты в верхней боковой полосе. Таким образом, излучаемые частоты занимают диапазон [c.253]

Музыка распространяется с групповой скоростью. Вынуждающая сила УЦ), представленная выражениями (18) или (19), приводит к испусканию электромагнитных бегущих волн, которые можно считать суперпозицией гармонических компонент, занимающих полосу частот Асо. В центре полосы находится частота С0(.р. Эти волны могут быть также представлены как почти гармоническая бегущая волна, имеющая частоту быстрых колебаний со р, равную несущей частоте, и почти постоянную медленно меняющуюся амплитуду Л од(г, t), представляющую собой суперпозицию членов типа (8). [В примере, к которому относится выражение (8), присутствуют только два гармонических колебания и верхняя боковая полоса состоит всего лишь из одной частоты со1 = со р+со ,дд, а нижняя боковая полоса — также из единственной частоты соа = = со р—сй ,цд.] Модуляция распространяется в среде (воздух, ионосфера,. ..) с определенной скоростью. В случае радиостанции с амплитудной модуляцией, работающей, например, на несущей частоте 1000 кгц и с шириной полосы 10 кгц, частотный диапазон простирается от 995 до 1005 кгц. Так как ширина этой полосы частот мала по сравнению с несущей частотой (средней частотой), то можно пренебречь членами высокого порядка в разложении в ряд Тейлора [уравнение (15)]. В этом случае групповая скорость, определяемая уравнением (16), будет равна скорости распространения модулированных колебаний. [c.254]

Вся бегущая волна t) является суперпозицией этих гармонических бегущих волн. Это значит, что мы получим 11)(2, /) и -ф(0, Т) заменой со/ на Ы-— 2=со/—к( )г в каждой гармонической составляющей суперпозиции (122) [c.281]

Недиспергирующие волны и классическое волновое уравнение. Любая гармоническая бегущая волна вида [c.282]

Также удовлетворяет уравнению (133), что легко показать. Если среда недиспергирующая, то все гармонические стоячие волны удовлетворяют уравнению (134). Это следует из уравнения (135), если = у для всех частот. (Для стоячих волн Уф означает со/ , Хотя понятие фазовой скорости не будет естественным параметром Для описания стоячих волн.) Это также следует из того факта, что стоячая волна может быть представлена суперпозицией бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Напомним, что впервые с классическим волновым уравнением мы встретились в п. 2.2 при изучении стоячих волн в непрерывной струне. [c.283]

Теперь мы можем построить общее решение линейного уравнения движения. В случае гармонических колебаний движение атомов в цепочке, в силу линейности уравнения движения, можно предстз Вить в виде суперпозиции бегущих волн типа (5.21), каждая из которых характеризуется волновым числом k, частотой со и амплитудой А . Тогда смещение мы можем записать в виде [c.149]

В заключение остановимся на вопросе о форме волн и о том особом месте, которое среди всевозможных по форме волн занимают гармонические волны. Прежде всего, при рассмотрении картины распространения бегущей волны в стержне мы пришли к выводу, что если на конец стержня действует гармоническая внешняя сила, заставляющая конец стержня совершать гармоническое движение, то и волна, бегущая по стержню, является гармонической. Этот вывод являлся непосредственным следствием того, что всякие упругие импульсы, независимо от их формы, распространяются по стержню с одинаковой скоростью и не изменяя своей формы. Правда, это последнее утверждение справедливо только при известных условиях, которые были оговорены в ИЗ, но эти условия часто соблюдаются, как в стержнях, так и во многих других упругих телах и средах, как твердых, так и жидких или газо разных, Тогд , если источник, возбуждающий волны, со- [c.718]

Длина гармонической волны (длина волны) Х — расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами перемещения точек среды. В [72] дано такое определение длины волны длина волны — пространственный период волны, т. е. расстояние между двумя ближайшими точками гармонической бегущей волны, ршходящимися в одинаковой фазе колебаний, или удвоенное расстояние между двумя ближайшими узлами или пучностями стоячей волны. [c.152]

Для систем с ограниченным порядком симметрии бегущун> гармоническую волну реально можно наблюдать в дискретных сходственных точках. Амплитуды дискретно наблюдаемых бегущих волн для различных сходственных точек, даже если они находятся на одной окружности с центром, лежащим на оси симметрии, в общем случае различны. В выбранных сходственных точках между бегущими волнами различных сходственных иаправле-ний, если симметрия поворотно-ви нтовая, возможен относительный окружной сдвиг, т. е. каждая из точек проходит через максимум своих отклонений по различным сходственным направлениям не одновременно. Бегущие волны одиих сходственных направлений как бы движутся впереди (позади) других бегущих волн. [c.31]

Обычное X.— 3. у. L = 0 в линейном случае (е = 0) для гармонических сигналов переходит в параболич. ур-иие теории дифракции (Леоитовича параболическое уравнение). Для возмущений с плоскими фронтами X.— 3. у. переходит в ур-ние простых волн Римана волн), описывающее укручение профиля бегущей волны вплоть до образования разрывов — ударных фронтов. Обычное X,—3. у. также справедливо в той области пространства, где разрывов нет. [c.415]

При квантовании мы будем пользоваться результатами п. 1.122, а именно представлением электромагнитного поля посредством бегущих волн. Мы видели, что с классической точки зрения изолированное электромагнитное поле описывается как система механических несвязанных гармонических осцилляторов, причем каждой моде сопоставляется один осциллятор (осциллятор поля излучения). Мы перенесем известные для гармонического осциллятора в механике правила квантования на поля излучения. Установленная выше формальная эквивалентность между механической и электромагнитной системами как таковая еще, конечно, не оправдывает подобный образ действий. Существуют, однако, и другие важнейшие аргументы, говорящие в пользу применяемого здесь метода квантования во-первых, применение формализма квантования поля к максвелловскому полю приводит, при одних и тех же граничных условиях, к одним и тем же результатам. Во-вторых, применяемый здесь метод позволяет адекватно отобразить бозонный характер фотонов и дать правильную интерпре- [c.138]

Важным пч>аметром среды является ее характеристический импеданс или удельное волновое сопротивление. Он определяется как отнощегше комплексных амплитуд звукового давлегшя р к колебательной скорости V в гармонической бегущей волне [c.312]

Фазовая скорость. Из повседневного опыта нам известно, что бегущие по воде волны распространяются с постоянной скоростью, пока свойства среды (например, глубина воды) не меняются. В случае гармонических бегущих волн эта скорость называется фазовой скоростью Уф. Мы также знаем, что смещение элемента с координатой 2 в момент времени 1 равно смещению элемента с координатой 2=0 в более рЪнний момент времени Разность между / и равна времени, которое нужно волне, распространяющейся со скоростью Уф, чтобы пройти расстояние 2 [c.151]

Передача информации q помощью модуляции. Гармоническое колебание определенной частоты и амплитуды не может нести информацию о сигнале, поскольку каждый последующий цикл колебаний является точной копией предыдущего. Чтобы передать определенную информацию с такой волной, ее нужно промодули-ровать, т. е. изменить какой-то параметр волны в соответствии с изменением смыслового сигнала. В бегущей волне такими изменяемыми параметрами могут быть амплитуда, частота и фаза. Соответственно различают амплитудную, частотную и фазовую модуляцию. [c.248]

Пример 1. Радиоволны с амплитудной модуляцией (АМ-радиоволны). Рассмотрим простой пример бегущей волны, которую можно считать либо почти гармонической амплитудно-модулиро-ванной бегущей волной с медленно изменяющейся амплитудой Л од (2, О и большой несущей частотой ю р, либо суперпозицией двух гармонических бегущих волн с двумя различными частотами Их и (02- Амплитуда модуляции Л од(2, ) может считаться почти постоянной в пределах одного периода колебаний высокой частоты. Величина (2, t) изменяется синусоидально во времени (для заданного 2) с частотой модуляции (о од и синусоидально в пространстве (для фиксированного t), имея модуляционное волновое число Мы нашли, что суперпозиция двух гармонических бегущих волн эквивалентна амплитудно-модулированной бегущей волне с частотой модуляции со од- могли бы начать с рассмотрения бегущей волны, определяемой выражением (2), и пришли бы к выводу, что она состоит из суперпозиции двух гармонических колебаний. [c.252]

Бегущие волны в однородной диспергирующей среде. Каждая гармоническая составляющая суперпозиции (122) определяет свою собственную гарлюническую бегущую волну с волновым числом к, значение которого следует из дисперсионного соотношения [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...