Квантовое уравнение Фоккера-Планка

Квантовое уравнение Фоккера-Планка. Наиболее изящный метод исследования основных кинетических уравнений для бозе-систем основан на использовании так называемого представления когерентных состояний ), которое позволяет свести операторное основное кинетическое уравнение к дифференциальному уравнению для непрерывной функции распределения. В этом разделе мы применим метод когерентных состояний к уравнению (7.3.32) для затухающего квантового осциллятора. Читателям, которые не очень хорошо знакомы с когерентными состояниями и соответствующим представлением для квантовых операторов, рекомендуем обратиться к приложениям 7Б и 7В. Здесь мы приведем лишь некоторые формулы, чтобы фиксировать обозначения. [c.123]

Чтобы представить себе качественную картину процесса, который описывается квантовым уравнением Фоккера-Планка, получим из него два простых уравнения эволюции. Сначала выведем уравнение для усредненной амплитуды [c.125]

Уравнение (7.4.68) напоминает квантовое уравнение Фоккера-Планка для затухающего осциллятора, но является гораздо более сложным. Для коэффициента дрейфа V и коэффициента диффузии D имеем теперь выражения [c.138]

Вывести уравнение (7.3.52) из квантового уравнения Фоккера-Планка (7.3.48). [c.156]

Пусть квантовый осциллятор находится в равновесном состоянии и описывается матрицей плотности п дщ п ) = где вероятности даются формулой (7.3.37). Полагая = eq в (7.3.38), найти в явном виде равновесную функцию распределения /о( , 2 ) и убедиться, что она совпадает со стационарным решением (7.3.62) квантового уравнения Фоккера-Планка. [c.156]

Поскольку строгая теория лазера достаточно сложна, мы разобьем наше рассмотрение на два этапа. В данной главе мы будем оперировать с квантовомеханическими уравнениями Ланжевена. Это даст нам возможность найти наиболее интересные и важные характеристики лазерного излучения, а именно его когерентность, шумы и статистику фотонов, способом, который достаточно легко понять и который позволит провести прямое сравнение с экспериментальными данными. В гл. 11 мы разовьем другой подход к квантовой теории лазерного излучения, на этот раз основанный на уравнении для матрицы плотности. Уравнение для матрицы плотности будет преобразовано в обобщенное уравнение Фоккера—Планка, а последнее затем будет приведено (при выполнении определенных условий) к уравнению, которым мы будем пользоваться в разд. 10.5. Читатели, которых не слишком интересуют детали такого квантовомеханического вывода, могут пропустить гл. 11. Для читателей, недостаточно знакомых с квантовой теорией, особенно с теорией квантованных полей, мы приведем следующее важное соображение. Из чтения последующих разделов читатель скоро обнаружит, что квантовые уравнения лазера очень похожи на полуклассические уравнения. Действительно, квантовые уравнения лазера имеют почти такой же вид, как полуклассические, различие лишь в наличии дополнительного члена, представляющего флуктуационные силы. Хотя соответствующие уравнения являются операторными, их физический смысл можно объяснить, оставаясь на классических позициях. [c.250]

В предыдущих разделах мы показали, что характеристики лазерного излучения выше порога и ниже порога коренным образом различаются. Однако наши методы не позволили нам исследовать очень небольшую, но интересную область в окрестности порога, в которой как раз и изменяется поведение лазера. Чтобы восполнить этот пробел, целесообразно ввести в рассмотрение функцию распределения лазерного излучения. Это можно сделать различными способами. Один подход основан на уравнении для матрицы плотности лазера и его непосредственном решении. Другой подход состоит в использовании принципа соответствия между квантовыми и классическими величинами, что позволяет преобразовать уравнение для матрицы плотности в обобщенное уравнение Фоккера— Планка. Затем это уравнение можно существенно упростить при условиях, близких к пороговым или совпадающих с пороговыми, и после решения уравнения получить искомую функцию распределения. Такой подход будет изложен в гл. И. В математическом плане этот подход представляет известные сложности, а поэтому в данном разделе мы будем придерживаться нашего прежнего способа рассуждений. В какой-то мере эти рассуждения основаны на интуиции и, на первый взгляд, носят не очень строгий характер, но они позволят нам быстрее разобраться в основных особенностях статистики фотонов вблизи порога (а также при точном выполнении порогового условия). Строгое обоснование представленных здесь рассуждений, в которых оператор b считается с-числом, будет дано в следующей главе. [c.280]

Классическое уравнение Фоккера — Планка для затухающего квантового осциллятора [c.296]

Уравнение Фоккера—Планка, которое мы вывели в разд. 11.4, легко решается в стационарном случае. Метод квантово-классиче-ского соответствия позволяет находить средние значения операторов поля 6+ и 6 с помощью классических средних на основе классической функции распределения f (или Р — в наших прежних обозначениях). [c.315]

СИЛЫ. Выполнив усреднение по квантовым флуктуациям и квантовомеханическому состоянию системы, получим полуклассические уравнения для двухфотонного лазера. Эти уравнения можно рассматривать как прямое обобщение уравнений однофотонного лазера. Хорошим упражнением для читателя было бы перенесение других методов, например метода матрицы плотности или подхода, основанного на уравнении Фоккера—Планка, на случай двухфотонного лазера. Необходимые для этого первые шаги будут указаны в следующем разделе. [c.317]

Итак, остается вычислить вейлевские символы всех операторов в уравнении (7.3.32). Процедура вычисления подробно описана в приложении 7В. Мы приведем окончательное уравнение для функции распределения квазивероятностей. Оно называется квантовым уравнением Фоккера-Планка и имеет вид [c.125]

Практическое лосббие содержит краткое изложение основных математических методов и некоторых задач, наиболее существенных для радиофизических приложений. Особенностью книги является изложение квантовой теории в форме, максимально сближающей квантовые и классические методы. Это достигается за счет использования гейзенберговских уравнений метода упорядоченных представлений, в том числе метода Вигнера квантового уравнения Фоккера-Планка уравнения Ланжевена и т. д. [c.281]

Полученное нами уравнение (7.3.48) для функции распределения квазивероятностей квантового осциллятора в термостате представляет собой частный случай общего уравнения Фоккера-Планка, которое широко используется в самых разных областях естествознания. Методы решения уравнения Фоккера-Планка и его приложения подробно рассматриваются, например, в книге Рискена [146]. В некоторых случаях уравнение Фоккера-Планка удается решить аналитически. Именно так обстоит дело с уравнением (7.3.48). [c.126]

В динамической теории флуктуаций уравнение (9.1.35) принято называть обобщенным уравнением Фоккера-Планка так как по структуре оно напоминает уравнение Фоккера-Планка, которое широко используется в теории броуновского движения и во многих других физических задачах [146]. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка в форме (9.1.35) было выведено Цванцигом [175] с помощью разработанного им метода проектирования ). Аналогичное уравнение для квантовых систем получено методом неравновесного статистического оператора в работе [28]. [c.223]

Уравнения гидродинамики для средних значений базисных неременных и корреляционные функции флуктуаций, вычисленные с помощью уравнения Фоккера-Планка, содержат коэффициенты переноса Г], ( и X, которые получаются из затравочных коэффициентов в результате процедуры перенормировки . Ситуация здесь во многом схожа с квантовой теорией поля, где окончательные выражения для физических величин содержат перенормированные заряды и массы частиц, а не их затравочные значения. Как уже отмечалось, вне критической области затравочные и наблюдаемые коэффициенты переноса практически совпадают, поэтому значения tjq, Со можно найти из эксперимента. Даже в окрестности критической точки флуктуации температуры и химического потенциала очень малы, так что и в этом случае затравочные коэффициенты переноса часто удается оценить, отделяя критические аномалии в наблюдаемых коэффициентах переноса. [c.236]

Возник интересный вопрос почему квантовомеханический процесс может описываться классическим уравнением Фоккера— Планка Это ведет к дальнейшему развитию принципа соответствия, который позволяет нам установить связь между квантовомеханическим описанием и классической формулировкой, не теряя квантовомеханической информации. Такая формулировка теории была предложена Вигнером (1932 г.), который рассмотрел квантовые системы, описываемые операторами координаты и импульса. Следующий важный шаг сделали Глаубер и Судершан (1963 г.), которые ввели операторы бозе-поля. В частности, тщательное исследование Глаубером квантовых корреляционных функций дало общую основу для описания когерентных свойств света. Но, конечно, будучи общей, она не позволяла сделать какие-либо предсказания о когерентных свойствах лазерного света. Поэтому и потребовалось разработать квантовую теорию лазера (см. разд. 1.2.3). В последней нельзя было обойтись без включения в рассмотрение атомной системы, а для этого понадобилось весьма расширить принцип соответствия. Задача была решена Гордоном (1967 г.) и Хаке- [c.30]

В предыдущей главе мы излагали квантовую теорию лазера на основе квантовых уравнений Ланжевена. Преимущество этих уравнений состоит в том, что их физический смысл легко уяснить благодаря аналогии с полуклассическими уравнениями для лазера. Они довольно легко решаются (даже в квантовом случае) для допорогового и надпорогового режима путем линеаризации. Вместе с тем небольшой интервал значений накачки в окрестности порога, в котором происходят наиболее интресные явления, нельзя проанализировать с помощью квантовых уравнений Ланжевена. Это связано с тем, что, хотя уравнения и применимы, не известен способ их решения для данной области. Поэтому в разд. 10.5 мы вынуждены были обратиться к уравнению Фоккера — Планка. Там мы выводили классическое уравнение Фоккера—Планка из квантовых уравнений Ланжевена на основе эвристических соображений. Цель настоящей главы — восполнить указанный пробел. Мы хотим здесь вывести прежнее уравнение Фоккера—Планка из первых принципов , причем сложную квантовомеханическую задачу будем решать по этапам с помощью вполне обоснованной и хорошо известной приближенной процедуры. В данном разделе мы сделаем первый шаг на этом пути п выведем уравнение для матрицы плотности лазера. От читателя требуется знакомство с основными свойствами уравнения для матрицы плотности. [c.291]

Один возможный путь дальнейшего продвижения — решать непосредственно уравнение для матрицы плотности (11.12). Приближенные решения уравнения для матрицы плотности имеются в литературе, и читатели, которые ими интересуются, смогут с этими решениями ознакомиться. Мы же в данной книге предпочитаем следовать линии, намеченной в начале этого раздела, т. е. вывести из квантовомеханического уравнения для матрицы плотности классическое уравнение Фоккера—Планка. Для этого наметим связь между квантовым и классическим описанием на основе метода кван-тово- класси ческого соответстви я. [c.295]

Хотя названные предельные случаи могут служить некоторыми отправными пунктами, для достаточно точного описания эффектов необходимо анализировать излучение реального лазера. Полуклассическое описание реального лазера содержится в разд. 3.12, в котором для учета квантовой природы процессов были введены флуктуационные силы. Эта нелинейная теория, позволяющая описать выходную мощность и ширину линии, оказывается весьма плодотворной также и для описания статистических свойств. Результатом этой теории было получение уравнения (3.12-32) для определения зависящей от времени компоненты напряженности поля в резонаторе. В принципе из этого уравнения можно вывести статистические свойства напряженности поля и различные корреляционные функции. Однако при заданной форме уравнения (3.12-32) или (3.12-27) и при заданных характеристиках появляющихся флуктуационных сил оказывается более целесообразным для расчета перейти к уравнению Фоккера — Планка. В данном случае речь идет о дифференциальном уравнении в частных производных для вероятности найти в момент времени I комплексную нормированную амплитуду на пряженности поля а в определенном интервале значе ний [3.3-4,1.-6]. Путем подходящего выбора единиц для координат можно добиться того, чтобы в дифференци альное уравнение входил только безразмерный пара метр накачки р, заданный уравнением (3.12-40) В стационарном случае как важный результат полу чается распределение интенсивности / лазерного из лучения. Функция WlQ однозначно зависит от нормиро ванной интенсивности = ///о и от параметра накач ки р, где /о — средняя интенсивность у порога (р = 0) если Я < О, то 1 = 0. Следует различать три области Достаточно далеко ппжс порога р < 2) имеем в хо [c.455]

Такой процесс разрушения когерентности позволяет сделать кардинальный шаг кинетика открытой квантовой системы не описывается уравнением Шрёдингера. Это утверждение следует понимать так волновой функции ф открытой системы следует приписать информационный смысл. Другими словами, в процессе ее эволюции со временем наряду с эволюционным развитием согласно уравнению Шрёдингера не следует исключать возможности процессов с уничтожением волновой функции в некоторых достаточно обширных областях пространства (на языке математики такой процесс выглядит как случайный "переброс" системы в "другое гильбертово пространство"). При таком подходе у волновой функции ф появляются черты, делающие ее похожей на вероятность. У вероятности существует два вида эволюции — регулярное ее изменение согласно дифференциальному уравнению Фоккера-Планка (или дискретной цепи Маркова) и скачок при реальном событии. Точно так же и у (/ -функции существует два возможных вида эволюции согласно уравнению Шрёдингера в отсутствие связи с внещним окружением и квантовый скачок при "измерении", т.е. при отклике на связь с внешним миром. Волновая функция как бы медленно "выжидает", совершая цепочку обратимых унитарных преобразований, чтобы потом "принять рещение" и осуществить коллапс. Такое "принятие рещения" очень похоже на выпадение того или иного числа на грани кубика. Можно сказать, что это "решение принимается" [c.385]

Для описания броуновского движения классических моделей разработано два важных и, как правило, эквивалентных метода ланжевеновский, основанный на добавлении в уравнение движения, кроме сил трения, еще шумовых сил (их коррелятор определяется через константу затухания с помощью ФДТ), и марковский, основанный на уравнении Фоккера — Планка для условной вероятности перехода системы из одного состояния в другое. В последнее время в связи с развитием квантовой оптики и электроники эти методы были обобщены для описания броуновского движения квантовых систем, например, гармонического осциллятора или моды резонатора [5]. [c.74]

Замечание 1. Спектр (возможно по-другому отмасштабированный) можно рассматривать как множество собственных частот осциллятора, ассоциированного с особенностью (или квазиклассической асимптотики части спектра квантовой системы зта часть отделена от бесконечной части спектральной дырой, как в уравнении Фоккера-Планка на замкнутом многообразии). [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...