Гука 22—24, 64, 114, 132, 133 Потенциал

Для линейного закона Гука потенциал имеет вид [c.278]

Так как A=U, то из (4.215) находим множитель Лагранжа %= ==—2. Для упругих систем, подчиняющихся закону Гука, и для внешних сил, работу которых можно записать в виде (4.209) (например, для сил, имеюш,их потенциал), Х=—2, поэтому можно рассматривать функционал вида (без дополнительных условий) [c.179]

Если упругое тело подчиняется закону Гука, то упругий потенциал является квадратичной функцией Ъ1) (3.39). В этом случае, учитывая [c.90]

Но упругий потенциал W представляет собой положительно опре> деленную квадратичную функцию компонент ej (см. с. 62). Поэтому равенство (5.18) возможно только в случае, если во всех точках области V, занятой телом, W — 0. Это означает, что во всех точках тела Eij = О, а на основании закона Гука и aij = О, т. е. во всех точках тела [c.92]

В общем случае анизотропии для описания закона Гука необходимо знать 36 упругих постоянных материала, из которых 21 будет независимой постоянной вследствие существования упругого потенциала. При этом упругий потенциал является функцией второй степени, инвариантной по отношению к любой координатной системе, тогда = с,- . [c.20]

Упругий потенциал и тензор упругости. Закон Гука, или закон линейной упругости (2.5), можно рассматривать как следствие предположения о существовании упругого потенциала и (потенциальной энергии упругой деформации, отнесенной к единице объема). Величину упругого потенциала и можно представить в виде квадратичной функции компонент напряжений [c.33]

Эти состояния совпадают соответственно с состоянием линейной упругости (закон Гука), состоянием текучести и состоянием упрочнения, рассмотренными выше на основе экспериментальных данных. Термодинамический анализ не только избавляет от этих дополнительных предположений и приводит к условиям текучести и упрочнения, но, что важнее, выясняет природу уравнений теории упруго-пластических деформаций и возможности использования в теории пластичности уравнений нелинейно-упругого тела ). Наконец, развиваемая концепция делает понятным существование потенциала работы деформации. [c.48]

Для того, чтобы перейти к записи закона Гука в виде (2.1), с помощью теоремы Эйлера об однородных функциях находим потенциал [c.70]

Закону Гука в прямой (1.1) и обращенной (2.G) формах записи отвечает упругий потенциал [c.42]

Условия перехода при малых деформациях выписанного закона упругости в закон Гука (2.7.10) находим из соотношений (2.12), (4.5), (2.1.12), учитывая при этом независимость для несжимаемого материала упругого потенциала от ///с, равного 1 [c.71]

Предложенная форма записи закона Гука отличается полезной симметричностью. В частности, симметричны обобщенные коэффициенты Пуассона Vij. Легко выписываются условия положительной определенности упругого потенциала (9.8) (плотности энергии деформации) [c.72]

Согласно первому из равенств (2.58) тензор — )1п переходит при малой деформации в линейный тензор деформации Е. Поэтому, подставляя его инварианты в упругий потенциал, отвечающий закону Гука, получаем так называемый стандартный материал п-го порядка, определенный для произвольной деформации и переходящий в закон Гука при малой деформации. При этом согласно (3.34), (3.19), (3.20) [c.44]

Отметим, что стандартные законы не являются линейными по компонентам деформации см. вторые выражения в (3.42)—(3.44)], несмотря на то что упругий потенциал связан с законом Гука [c.44]

Как уже было сказано в параграфе 17.1, ортотропный материал в отношении упругих свойств ведет себя как кристаллы ромбической сингонии. Поэтому из третьей матрицы (17.11) и соотношений (17.10), (17.23)—(17.25) следуют две формы записи закона Гука и выражение для упругого потенциала [c.302]

Упругий потенциал строим исходя из условий [71] и его перехода при инфинитезимальных деформациях в закон Гука, что для изотропного материала имеет вид [c.515]

Общее выражение упругого потенциала W в случае закона Гука. [c.69]

Другой вывод обобщенного закона Гука из упругого потенциала [c.57]

Гука 22—24, 64, 114. 132, 133 — Потенциал 22, 23 Деформации упруго-пластические 65— 68, 98, 99, 104. 149. 504 [c.815]

Рассмотрим задачи о нагружении тел с учетом произвольного предварительного деформирования. Пусть тело нагружено системой деформирующих его сил. Назовем эти деформации предварительными и примем, что это состояние нам известно, т. е. заданы все напряжения и перемещения. В общем случае предварительные деформации могут быть и большими. Это состояние тела считаем исходным и увеличиваем нагрузку. Дополнительное нагружение выбираем таким, чтобы вызванные им деформации и перемещения были малы. Для этих малых деформаций справедливы уравнения равновесия (20) и геометрические соотношения (21), связывающие е,у и м,-. Для того чтобы система уравнений (20) и (21) была разрешима, как мы уже убедились, следует к ней добавить шесть физических соотношений. Истинная деформация тела, состоящая из произвольной предварительной и небольшой дополнительной деформации, не является малой, и для нее вместо закона Гука должны быть использованы зависимости, справедливые при больших деформациях (255) или, что более предпочтительно, в произвольной прямоугольной системе координат (258). Дальнейшие выкладки выполним для конкретного вида упругого потенциала [c.141]

Не останавливаясь на выводе, который можно найти, например в книге Лява [24], в гл. 6, приведем уравнения обобщенного закона Гука и схемы выражений упругого потенциала в виде треугольных матриц, соответствующих [c.31]

Уравнения обобщенного закона Гука и схема упругого потенциала в константах ац принимают следующий [c.33]

Доказано, что существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов, объединенных в семь сингоний, носящих названия 1) триклинная, 2) моноклинная, 3) ромбическая, 4) тетрагональная, 5) тригональная, 6) гексагональная и 7) кубическая. Всякий натуральный кристалл обладает одним из 32-х видов симметрии и может быть отнесен к одной из семи сингоний [33]. Что касается классов упругой симметрии, то их значительно меньше, так как одна и та же форма уравнений обобщенного закона Гука имеет место для нескольких видов геометрической симметрии. По упругим свойствам все кристаллы могут быть разбиты только на девять классов или групп. Выражения упругого потенциала (а следовательно, и уравнений обобщенного закона Гука) для этих девяти классов можно найти, например, в курсе А. Лява [24] (гл. 6, п. 109) и в ряде работ, упоминающихся ниже, а поэтому мы, не занимаясь специально упругостью кристаллов, можем их не приводить. Отметим только, что упругие постоянные кристаллических веществ — монокристаллов, минералов и горных пород, определялись экспериментальным путем многими исследователями. В первую очередь нужно назвать классические исследования Фойгта, изложенные в его курсе кристаллофизики [38]. Приводим найденные Фойгтом значения упругих постоянных кварца (горного хрусталя), образующего кристаллы тригональной сингонии (12 неравных нулю постоянных aij (ось z направлена по оси симметрии третьего порядка, ось х — по оси второго порядка) [c.56]

О (г, 0) — потенциал объемных сил = Z = 0). Выпишем (с очевидными сокращениями) уравнения обобщенного закона Гука для общего случая цилиндрической анизотропии, используя коэффициенты деформации а [c.213]

Теорема взаимности ). Пусть в, V, т будут функциями переменных X, у, г, I, которые во всем объеме, заполненном телом, однозначны и непрерывны допустим, что значения величин а, г , и достаточно малы для того, чтобы их можно было принять в качестве компонентов, малого смещения в смысле теории упругости, основанной на законе Гука. Определенное прн помощи компонентов а, V, и состояние деформации должно поддерживаться соответствующими силами. Требующиеся для этого массовые и поверхностные силы определятся путем вычисления по компонентам смещения (а, V, щ ) компонентов деформации и упругого потенциала и подстановки этих величин в уравнения [c.184]

Мы поступим теперь так же, как и в случае простой структурной теории сперва найдем выражение для компонентов напряжения на данной площадке, выведем формулы для начального напряжения, вычислим изменения, вызванные деформацией и вращением, убедимся в существовании закона Гука и упругого потенциала и покажем, что соотно иения Коши могут и не иметь места. Здесь однако есть новое обстоятельство, которое не требовало к себе внимания в предыдущей теории это — условие, что каждая частица в структурном элементе должна быть в равновесии под действием сил других частиц. В предыдущей теории это условие удовлетв рял сь само собой, так как каждой паре частиц Р, Р можно было отнести третью Р" так, что Р делило расстояние между Р и Р" пополам. В настоящей, более сложной, структуре этого нет. Условия равновесия частиц удобнее всего ввести после получения формул для начального напряжения. [c.649]

Соответствующий комплексный потенциал, дающий решение при законе Гука, имеет вид [c.49]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

Таким образом, упругий потенциал представляет собой однородную функцию второй степени относительно компонент деформации. Заметим, что закон Гука можно было бы а рг1ог1 определить как такое соотношение между напряжениями и деформациями, при котором упругий потенциал представляет собой однородную квадратичную функцию. [c.220]

Постоянные С,утп называют коэффициентами жесткости. Первые два условия симметрии (5) являются следствием симметрии компонентов напряжений и деформаций, а остальные следуют из предположения о существовании упругого потенциала. Если известны напряжения, а необходимо найти деформации, то собтношения (4) следует разрешить относительно деформаций. В связи с тем, что эта операция оказывается достаточно громоздкой, удобно записать обобщенный закон Гука в форме [c.16]

Данная модель была модифицирована в работе Уэйнера и Пира [87] с целью учета зарождения и движения дислокаций в кристаллах при движении трещины. На основании результатов численного моделирования был сделан вывод о том, что характер разрушения при трещинообразовании — хрупкий или вязкий — зависит от параметров закона межатомного взаимодействия. Исчерпывающее компьютерное моделирование двумерной задачи динамического роста трещины в дискретной решетке-было проведено Эшёрстом и Гувером [11] в предположении в том, что элементарные частицы массы взаимодействуют друг с другом согласно упрощенному закону Гука, а также Пэскином с соавторами [75], которые для описания межатомного взаимодействия использовали потенциал Леннард-Джонса. В обеих работах установлено, что максимум скорости движения трещины не превосходит скорости волны Рэлея для данного материала.. [c.123]

Выше указана только часть публикаций по нелинейным-проблемам эластомерного слоя и конструкций. Перечень работ можно бы продолжить, но это не меняет общей оценки состояния вопроса. Если создание линейной теории слоя можно считать завершенным и ее значение можно сравнить со значением классической теории оболочек для соответствующих краевых задач, то создание общей нелинейной теории слоя находится в-началь-. ной стадии. Опубликованных результатов мало, и они не достоверны даже в отношении интегральных упругих характеристик констукций, не говоря уже о полях перемещений и напряжений, В то же время только теоретические исследования и расчеты с последующей экспериментальной проверкой позволяют пороз11ь оценить влияние геометрической и физической нелинейности и решить такие важные вопросы, как пределы применения закона-Гука и выбор упругого потенциала. Лелать упор на физическую нелинейность при умеренных деформациях < 50%, по убеждению автора, неправильно. Есть три источника появления нели-. нейности задачи — формулы Коши, связывающие деформации с перемещениями, уравнения равновесия и закон упругости, которые, вообще говоря, независимы. [c.23]

Первое слагаемое есть неогуковский потенциал для несжимаемого материала, второе учитывает объемную де( )ормацию. Третье слагаемое в формуле (7.1) необ.ходимо, чтобы обеспечить переход к линейному закону Гука при малых деформациях. Вид функции /(Д) можно определи ть, используя закон сжимаемости материала и приняв р/(А) = (1 — 2т/)р(Д). [c.293]

Здесь 6i и 62—-главные удлинения A, 5, С, D — характеристики материала, подобраипые таким образом, чтобы в случае малых деформаций W переходил в упругий потенциал Гука. [c.87]

Его характерной особенностью является независимость вклада каждого инварианта в упругий потенциал. Нетрудно видеть, что в главных осях деформации при rii = = 2 = Пз = п, Л = 2ц,/г принятый потенциал переходит в двухконстантный (7.8). Подстановка потенциала в соотношения (4.9) приводит к условиям перехода при малых деформациях отвечающего ему закона упругости в закон Гука [c.84]

Таким образом, ограничения, накладываемые простейшими экспериментами, не определяют вида связи tij — ij в изотропном упругом теле. Соотношения обобш енного закона Гука, используемые в литературе, имеют место при частном предположении Ф = Ф(112), но априори ни откуда не следует, что потенциал деформации не зависит от третьего инварианта девиатора напряжений. [c.109]

В. В. Новожилов (1948, 1958) высказал ряд критических замечаний о квадратичной теории. Вкратце они сводятся к следующему. Возможность полной или частичной линеаризации геометрических и статических (динамических) соотношений нелинейной теории упругости определяется чисто геометрическими факторами величиной удлинений, сдвигов и углов поворота как по сравнению с единицей, так и между собой. Поэтому используемый в квадратичной теории недифференцированный (указанным выше образом) подход к упрощению статико-геометрических соотношений носит формальный характер. Далее, для упрощения соотношений, связывающих напряжения и деформации, недостаточна малость компонент деформации по сравнению с единицей. Требуется сравнивать их с физическими константами материала (пределами пропорциональности) — величинами, как правило, весьма малыми по сравнению с единицей. К тому же для квадратичной теории характерно сохранение в выражении для потенциала напряжений, наряду с квадратичными, и кубических членов (пятиконстантная теория Фойхта — Мурнагаца). Для большинства же реальных материалов отклонение от закона Гука обусловливается четными степенями компонент деформации. [c.75]

Если анизотропное тело обладает симметрией упругих свойств (упругой симметрией), то уравнения обобш,енного закона Гука для него упрош аются, так как некоторые из коэффициентов оказываются равными нулю, тогда как между другими появляются линейные зависимости. Эти упрош,ения можно вывести, применяя следуюш,ий метод. Отнесем тело к системе координат х, у, 2, а затем ко второй — х у, г, симметричной с первой, в соответствии с тем видом симметрии, какая наблюдается в теле. Направления осей х.у ъ и х у 2 одинакового наименования будут направлениями, эквивалентными в отношении упругих свойств, а поэтому уравнения обобщенного закона Гука для симметричных систем координат запишутся одинаково. Записав эти уравнения в системе д , у, 2 и в системе х у 2, далее переходим к одной из них, выражая, скажем, х, у, через х, у, ъ. Сравнивая получившиеся одноименные уравнения, мы находим зависимости между или Л Вместо уравнений обобщенного закона Гука можно взять выражение упругого потенциала, записанное в основной системе х, у, z и симметричной х у, z Переходя во втором выражении к системе х, у, zш приравнивая упругие потенциалы, приходим к тем же результатам. [c.31]

Пусть тело является однородным криволинейно-анизотропным и следует обобш,енному закону Гука, т. е. сос-тавляюш,ие деформации являются линейными функциями составляющих напряжения, и наоборот. Обозначим через Г], координатные направления упомянутой криволинейной системы координат. Тогда, предполагая, что существует упругий потенциал, можем записать уравнения обобщенного закона Гука для однородного [c.65]

Введение (103). — 61. Работа и энергия (103).— 62. Существование упругого потенциала (105). — 63. Косвенный характер экспериментальных данных (106). — 64. Закон Гука (107). -65. Аналитическая форма упругого потенциала (108). — 66. Упругие постоянные (110).— 67. Методы определении напряжений (110). — 68. Упругий потенциал изотропного тела (111). — 69. Упругие постоянные и модули изотропных тел (113). — 70. Замечания, относящиеся к соотношениям между напряжениями и цеформациями в изотропгюм теле (114).--71. Численные величины упругих постоянных и модулей для некоторых изотропных тел (115). — 72. Упругие постоянные в общем случае (116).— 73. Модули упругости (117). — 74. Термоупругие постоян-нь е(118).—75. Начальное нап яжение (120). [c.8]

Аналитическая форма упругого потенциала. Эксперименты, которые приводят к закону Гука, не дают, однако, доказательства этого закона. Закон Гука в абстрактной форме обобщает результаты многих наблюдений и экспе-риментон, но его формулировка гораздо точнее этнх результатов. Математические выводы, которые могут быть сделаны, если считать закон верным, допускают иногда экспериментальную проверку всякий раз, как такая проверка возможна, мы получаем новое подтиерждение истинности закона. В дальнейших главах мы займемся получением этих выводов здесь мы укажем лишь некоторые следствия, которые могут быть выведены непосредственно. [c.108]

Теория звуковых волн ) приводит к предположению, что, когда тело соверииет малые колебания, то эти движeниrf столь быстры, что ни в одной части тела не происходит сколько-нибудь заметного поглощения или отдачи тепла. В этом случае также существует упругий потенциал и если мы предположим, что закон Гука имеет место, то эта функция представляет собой однородный многочлен второго порядка относительно компонентов деформации. Если из уравнений движения (15) 54 исключить компоненты напряжения, то эти уравнения обращаются в линейные относительно проекций смещения. Благодаря линейности этих уравнений и той фбрме, в которой в них входит время, они допускают решения, которые представляют изохронные колебания. Способность всех твердых тел совершать малые изохронные колебания была отмечена Стоксом ) в качестве бесспорного доказательства истинности закона Гука для малых деформаций, которые здесь имеют место. [c.109]

Первый и третий из этих методов более чем второй метод, подходят к такого рода Теориям, называемым иногда макроскопическими, как и теория упругости в большей своей части. Во i тором методе, наоборот, исходят из молекулярной ато-мист1б1ческой или субатомистической структуры тела. Чтобы отвечать целям теории упругости, структурная теория должна приводить к понятию напряжения, а также должна приводить к закону Гука и существованию упругого потенциала. Кроме того, она должна заключать в себе возможность того, что соотношения между упругими постоянными, которые мы называли соотношениями Коши, могут и не сохраняться. Вот четыре требования, которые предъявляются к теории. [c.645]

Эта теория — простейшая из всех структурных теорий, в которых элементы суть притягивающиеся или отталкивающиеся часги ы — была развита Коши и Пуассоном Д1Я объяснения упругих свойств кристаллического тела. Применение ее к изотропному телу требует допущения, что в нем правильная кристаллизация нарушена и чт.) в любой части, большой по сравнению с молекулярными раз.1ерами, простое однородное распре/ еление не сохраняется. Желательно было бы разработать эту теорию настолько, чтобы притти к закону Гука, существованию упругого потенциала и соотношениям Коши. Основатели этой теории заменяли некоторые суммирования интегрированиями, и это впоследствии вызвало критику, которая указывала иа то, что результаты Коши не являются необходимыми следствиями теории, а могут зависеть от этого сомнительного шага. Мы увидим, что этот шаг не является необходимым и что результаты Коши от иего не зависят. [c.646]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...