Граничные условия, 111, 145, 178, 240, — в задаче о кручении

Помимо общего значения, теорему единственности широко используют при решении конкретных задач. Иногда удается частично угадать форму решения (см., например, полуобратный метод решения задач кручения, изгиба и т. д.). Если при этом можно удовлетворить всем дифференциальным уравнениям и граничным условиям задачи, то, в силу теоремы единственности, тем самым найдено искомое решение. [c.30]

Подставляя данную функцию в гармоническое уравнение (8.6), убеждаемся, что оно тождественно удовлетворяется. Следовательно, функция (8.24) является решением задачи о кручении. Подставим функцию ф в граничное условие (8.7). В результате имеем [c.178]

Задача об определении деформации кручения по уравнению (16,11) с граничным условием (16,12) формально совпадает с задачей об определении формы прогиба равномерно нагруженной плоской мембраны по уравнению (14,9). [c.89]

Граничные условия в обеих задачах одни и те же в одной задаче касательные напряжения, в другой — скорости движения жидкости должны быть направлены по касательной к контуру. Таким образом, решение задачи циркуляции жидкости в сосуде определенной формы аналогично решению задачи кручения призматического стержня с поперечным сечением той же формы. [c.89]

Итак, решение задачи о кручении стержня сведено к определению функции ф (дг, у), которая должна удовлетворять уравнению (5.14) и граничному условию (5.16). [c.134]

Таким образом, вместо решения уравнения Пуассона (7.33) при граничном условии (7.13) функция напряжений Ф, минимизирующая функционал может быть приближенно определена одним из прямых методов вариационной задачи кручения при выполнении граничного условия (7.13). [c.179]

Следовательно, решение задачи кручения свелось к решению известной задачи Неймана при граничном условии (3.7). Как отмечалось (см. (7.3) гл. I), для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие [c.267]

Это уравнение совпадает с (9.7.5) (за исключением множителя в правой части) таким образом, задача о кручении ортотропного стержня свелась к задаче о кручении изотропного стержня, сечение которого подвергнуто аффинному преобразованию (9.12.3), т. е. ограничено в плоскости т) контуром F, который получается из контура Г в плоскости ха путем растяжения или сжатия в направлении координатных осей. Граничное условие в плоскости Ха на контуре Г остается прежним F = С. Это же условие выполняется и на преобразованном контуре Г, поскольку между и Г существует точечное соответствие. [c.309]

Другим примером успешного приложения экспериментов при решении задач теории упругости является метод мыльной пленки для определения напрял<ений при кручении и изгибе призматических стержней. Трудная проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных условиях заменяется в этом случае измерениями наклонов и прогибов соответствующим образом натянутой и нагруженной мыльной пленки. Эксперименты показывают, что таким путем можно получить не только визуальную картину распределения напряжений, но и приобрести необходимую информацию относительно величины напряжений с точностью, достаточной для практических целей. [c.16]

Подставляя эти значения и выражения (б) для компонент напряжения в уравнение (в), легко убедиться, что оно удовлетворяется. Очевидно также, что для поперечного сечения, отличного от кругового, для которого уравнения (г) не соблюдаются, компоненты напряжения (б) не удовлетворяют граничным условиям (в), и следовательно, решение (а) неприменимо. Такие более сложные задачи кручения будут рассмотрены ниже (см. главу 10). [c.292]

Таким образом, любая задача о кручении сводится к задаче отыскания функции ф, удовлетворяющей уравнению (147) и граничным условиям (148). [c.302]

Мы видели, что решение задач о кручении в каждом частном случае сводится к определению функции напряжений, удовлетворяющей дифференциальному уравнению (150) и граничному условию (152). При выводе приближенного решения задачи полезно вместо обращения к дифференциальному уравнению определять функцию напряжений из условия минимума некоторого интеграла, ) который можно получить, рассматривая потенциальную энергию скручиваемого стержня. Потенциальная энергия скручиваемого стержня, приходящаяся на единицу длины, согласно выражению (136), определяется формулой [c.322]

На границе скорость циркулирующей жидкости направлена по касательной к границе, и граничное условие для гидродинамической задачи совпадает с условием (152) для за/ ачи о кручении. Таким образом, распределение скоростей в гидродинамической задаче математически тождественно распределению напряжений при кручении, и, применяя известные в гидродинамике решения, можно получить практически важные выводы. [c.333]

Таким образом, с помощью функции напряжений задача о кручении цилиндрического стержня односвязного поперечного сечения сводится к отысканию решения уравнения Пуассона (7.25), удовлетворяющего на контуре С граничному условию (7.26). [c.366]

Сравнив уравнения (7.25) для функции напряжений в задаче о кручении цилиндрического стержня и (7.33) для прогиба мембраны постоянного натяжения и граничные условия (7.26) и (7.34) на контуре С, видим, что решение задачи о кручении цилиндрического стержня сводится к определению формы прогиба мембраны постоянного натяжения, когда [c.370]

Таким образом, задача кручения сводится к определению функции напряжений и (хх, х ), удовлетворяющей основному уравнению (60) и следующим граничным условиям для односвязного сечения на контуре / = 0, для многосвязного сечения на контуре II (хх, х ) = 7 , = [c.35]

Рис. 11.19. К установлению граничного условия для функции Ф в задаче о свободном кручений призмы произвольного поперечного сечения а) поперечное сечение призмы и точка на контуре б) к зависимости между dv, dx и dy в) к зависимости между ds, dx и dy.

Так как поперечное сечение односвязно, это граничное условие может быть записано еще проще (подобная ситуация уже встречалась в задаче о кручении) [c.348]

Таким образом, задача о кручении стержня с произвольным поперечным сечением сводится к решению дифференциального уравнения (8.38) с граничным условием (8.42). [c.173]

Вторая часть книги (гл. 6—10) посвящается применению принципа виртуальной работы и связанных с ним вариационных принципов к частным задачам теории упругости. Здесь рассмотрены задачи о кручении стержня, о балках, о пластинах, об оболочках и конструкциях и показана мощь вариационных принципов для получения приближенных определяющих уравнений и соответствующих граничных условий. [c.13]

До сих пор рассматривались только задачи кручения Сен-Венана, т. е. деформация стержня предполагалась не зависящей от г. Очевидно, что для полной реализации кручения Сен-Венана механические граничные условия на обоих концах, а именно уравнения (6.1) и (6.2), должны находиться в точном соответствии с распределением напряжений, получаемых из решения задачи Сен-Венана. Если стержень конечной длины нагружается крутящими моментами, приложенными произвольным образом на концах стержня, то распределение напряжений в стержне может отличаться от предсказываемых теорией Сен-Венана. Однако, согласно принципу Сен-Венана, упомянутому во введении к этой части, распределение напряжений в таком стержне будет отклоняться от даваемых теорией Сен-Венана лишь локально в окрестности концов стержня. Протяженность области этого отклонения вдоль оси г имеет порядок поперечных размеров стержня, так что теория кручения Сен-Венана может успешно применяться для областей, далеких от концов стержня. Приближенные решения для задачи кручения стержня конечной длины были получены различными авторами с помощью вариационных методов [2, 4]. [c.166]

Таким образом, для рассматриваемых случаев изгиба и кручения граничные условия удовлетворяются, и задача Штурма — Лиувилля поставлена правильно при R н Р, противоположных по знаку S и Q. Отсюда следует, что собственные решения ортогональны, собственные значения %, действительны н положительны и что произвольная функция на интервале (а,Ь) может быть разложена в сходящийся ряд по собственным решениям. [c.352]

В задаче кручения граничные условия на лицевых поверхностях имеют вид и = W = О, V — 0,Ьги 2, где ш. — угол относительного поворота оснований. Слой имеет форму круга или кольца, используются цилиндрические координаты. [c.248]

Обозначим через Г1 и гг внутренний и внешний радиусы слоя, Л — его толщину. Граничные условия на лицевых поверхностях в задаче кручения V = У — при г = Г1, [c.255]

Рассмотрим статически определимую задачу пусть часть из семи обобщенных усилий задана на одном торце, остальные—на другом. В этом случае усилия Q , Qj , Qy, My определяются уравнениями равновесия (3.13) и соответствующими граничными условиями. Этот же факт вытекает и из формул (3.15) в статически определимой задаче = р, у. = 8. 0. Как следует и. -последнего равенства (3.15), бимомент не являегся статически определимой величиной. Однако если стержень достаточно тонкий для того, чтобы пренебречь величинами порядка Л (жесткостью свободного кручения С и функцией as), то Вш= В т. е. в этом случае и бимомент можно считать статически определимой величиной. Отметим, что распределение напряжений и скоростей в статически определимой задаче будет иным, чем в соответствующей упругой задаче. [c.41]

Указанная слабая зависимость от граничных условий позволяет воспользоваться при решении задачи о кручении следующим приближенным приемом [21, 37]. В решении (3) сохраняем лишь два слагаемых k = 3, 4) и удовлетворяем только одному граничному условию на обоих краях оболочки — ш = 0. Тогда вместо (9) и (12) получим уравнение [c.186]

В главе V ( 155—159) мы получили решение задачи о кручении. Решение удовлетворяло граничным условиям для круглого вала. Мы установили, что напряжение в поперечном сеченни является чисто касательным, имеет интенсивность [c.394]

В наше решение входит гармоническая функция двух переменных 9. Функция 9 определяется с помощью граничного условия (14), и поэтому имеет различный вид для различных форм поперечного сечения цилиндра. Обычно она называется функцией кручения для данного контура. Задача определения ер называется задачей кручения для этого контура. [c.426]

При 1F,равном нулю, уравнения (27) и (28) тождественны с теми, которые фигурировали в задаче кручения ( 336). Очевидно, что граничное условие, которому должны удовлетворять Z , Zy, то же, что и раньше, т. е. (13). Следовательно, [c.433]

Точно так же и граничные условия совпадают полностью, так как в одном случае напряжения, а в другом скорости должны итти в точках контура вдоль него. Уравнениями (18) и (19) и только что указанным граничным условием задача о кручении определялась однозначно, а потому, если мы сможем найти для сосуда того же сечения движение жидкости, то тем самым мы, наверное, будем иметь для того же контурд и правильное решение задачи о кручении. При этом нужно лишь сохранить за собой право выбрать множитель т таким, чтобы пара сил, даваемая касательными напряжениями, уравновешивалась заданным моментом кручения М. [c.67]

Функция кручения ф должна быть однозначной в противном случае перемещение з=тф было бы многозначным (нас интересуют однозначные перемещения). При этом функция tjj, сопряженная с однозначной гармонической функцией, определяемая из условий Коши — Римана (7.10), может быть, вообще говоря, многозначной в нашем случае этого не должно быть, ибо функция г ) возвращается к первоначальному значению цри обходе по любому из контуров Lv, что видно из граничного условия для нее. Исходя из этого постоянные не могут быть фиксированы произвольным образом. Действительно, если фиксировать их произвольно, а затем определять функцию i 3 (для этого следует решить задачу Дирихле, которая, как известно, всегда имеет единственное решение), то функция ф, найденная из условий Коши — Римана с помощью функции 1 ), может оказаться многозначной. [c.179]

В некоторых задачах (кручение и изгиб авиационных профилей и др.) эффективен своеобразный смешанный метод, разработанный Л. С. Лейбензоном, М. Канторовичем и др Он состоит в том, что искомые функции представляют в виде произведения двух функций, из которых одна известная, причем подбираемая так, чтобы частично удовлетворить граничные условия другая же функция неизвестная, зависящая от меньшего числа переменных, и ее следует определять при помощи вариационного уравнения. [c.66]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Решение задачи кручения сводится к о.пределению функции напряжений Ф ( t, j a). которая должна удовлетворять уравнению Пуаоеона (7.33) и граничному условию (7.13). [c.184]

Таким образом, задача определения функций atjo сводится к двум независимым граничным задачам. Первая из них, т. е. уравнения (11.60) вместе с условиями (11.62) и (11.63), представляет собой задачу кручения прямого бруса прямоугольного поперечного сечения (см. гл. VII, 8). задача, как уже известно, решается путем введения функции напряжений, которая определяется формулой [c.382]

Как указывалось в 3 гл. И1 (фор- мула (3.13)), задача кручения сводится к определению в области Di(ODEMB ) функции ф, удовлетворяющей уравнению Пуассона Лф = —2 и обращающейся в нуль на границе. Представим область D в виде двух налегающих друг на друга прямоугольников D (OAB O) и DiiODEFO). Будем считать, что ставится задача об определении в области Di функции фь а в области Z>2 — функции фг, совпадающих между собой в прямоугольнике Оз ОАМЕ) и всюду удовлетворяющих уравнению Пуассона. Поскольку функции ф1 и ф2 удовлетворяют уравнению второго порядка, то для их совпадения в области Оз необходимо, чтобы на контуре этой области функции и их первые производные по нормали совпадали. С учетом сказанного граничные условия и условия на отрезках AM и MF (которые можно назвать условиями согласования) [c.345]

Для прямоугольника Xi = b, Хг = 1ъ граничные условия будут следующими при xi = .b Т1 = ф,2 = 0, при Тг = = ф,1 = 0. Таким образом, па контуре прямоугольника ф = onst или ф = 0. Решение уравнения (9.16.4) ищется совершенно таким же способом, как для задачи кручения в 9.9. Частное решение уравнения (9.16.4), обращающееся в нуль при х = Ъ, есть [c.321]

Часто применяемые на практике балки таврового, двутаврового, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная теория изгиба применительно к таким профилям может быть неточной более правильные расчеты получаются, если строить для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возникает естественная необходимость построения решения плоской задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна. Дело в том, что метод разделения переменных, который будет применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум граничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решении добиваются точного удовлетворения граничных условий на длинных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные условия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ширина балки есть 2Ь, длина I, оси координат выбраны так, что границами слун ат линии х, = 0, х, = I, Х2 = Ь. [c.355]

Таким образом, задача о кручении сводится к отысканию решений уравнения (б), удовлетворяюш,нх граничным условиям (в). Чтобы получкть эти решения в форме полиномов, воспользуемся функцией комплексного переменного [c.306]

Сеп-Венаиом был предло кеп так называемый полуобрат-пый метод (1853 г.), суть которого состоит в том, что при решении задачи теории упругости задаются частью компонент перемещений и частью компонент напряжений, а недостающие компоненты определяются из уравнений теории упругости так, чтобы удовлетворялись все уравнения теории упругости и граничные условия. Этим методом Сеп-Венан решил задачи о кручении бруса некруглого сечения и об изгибе бруса. [c.58]

Сравнивая (7.25) и (7.36) и граничные условия (7.26) и (7.37), видим, что математические задачи об определении функции напряжений при кручении цилиндрического стержня и скорости течения ламинарного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в бесконечно длинной трубе, поперечное сечение которой одинаково с поперечным сечением стержня, под действием постоянного перепада давлений dpldz совпадают, когда [c.372]

В работе Холстона и др. [125] постановка задачи устойчивости оболочек с произвольной структурой пакета, изложенная ранее в работе Ченга и Хо [61], распространена на случай кручения. Холстоном и другими авторами было проведено также экспериментальное исследование этого случая нагружения, причем экспериментальные значения критического усилия в среднем значительно превышали теоретические. Авторы объяснили это,различие несоответствием между реальными й принятыми при теоретическом анализе граничными условиями. [c.235]

Последовательность отыскания функций следующая. Интегрируя (16.14) находим и, V, ш, Все уравнения в (16.14) и соответствующие граничные условия являются самостоятельными — изгибы в двух главных плоскостях, кручение и осевая деформация в рассматриваемой (линейной) постановке задачи происходят независимо друг от друга. В случае нелинейной в геометрическом смысле постановки задачи этой са.мостоятельности не было бы. Далее, из (16.9), дифференцируя уже найденные функции, получаем у,х, х.у, X- и Ёг. После ЭТОГО из (16.12) определяем Мх, Му, М и Ы из (16.7), 5 находим Qx и из (16.11) ,в получаем ух и Уу и, наконец, из (16.9) в находим и Оу. [c.553]

Из-за того что жесткая форма кручения не ортогональна упругим тонам изгиба, уравнения для ро и р k I) связаны инерционными и центробежными силами. Можно также поставить задачу без выделения установочных колебаний. При этом следует опустить степень свободы ро и соответствующее уравнение движения. Тогда деформация 0е будет представлять все движения кручения, включая и вызванное упругостью пр-оводки управления. Граничное условие для уравнения кручения в этом случае имеет вид [c.387]

Задача изгиба ( 350) является трудной задачей. В граничное условие (34) входят очень сложные выражения, и поэтому мало вероятно, чтобы метод решения, аналогичный решению задачи кручения в 341, привел к полезным результатам. Мы говорим сейчас о методе, в котором заранее задается гармоническая функция двух переменныхч На этом мы закончим пока общее изложение задачи. [c.436]

Таким обраэом, задача кручения призматического стержня произвольного поперечного сечения приводится к отысканию решения уравнения (е), в каждом конкретном случае такого, чтобы оно удовлетворяло граничному условию (f). [c.285]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...