Конформное отображение на единичный круг

Для случая круга, например, вариационный принцип формулируется так. Рассматриваются односвязные области, содержащие фиксированную точку 2о, и их конформные отображения на единичный круг, переводящие эту точку в центр. Через Гр обозначается линия уровня при отображении /, т. е. прообраз окружности йУ = р при этом отображении в частности, Fi = Г — граница отображаемой области D (рис. 32). [c.108]

Отправляясь от формулы (7) 10 для отображения на круг круга с выброшенной луночкой, можно, как и выше, получить количественное уточнение этого принципа. Оно основывается на приближенной формуле для конформного отображения на единичный круг областей, близких к кругу по положению и кривизне, т. е. таких, что в полярных уравнениях их границ [c.109]

При помощи дополнительного конформного отображения можно получить и более общий результат. Пусть дана произвольная односвязная область D с дважды гладкой границей Г, и пусть / — ее конформное отображение на единичный круг с нормировкой f(Zo) = О, f (zo) >0. Рассмотрим еще область 5 с границей Г и для любой точки обозначим через e( ) отрезок [c.109]

Конформное отображение на единичный круг [c.369]

Таким образом, уравнение граничной кривой заданной области в плоскости г можно представить в новых координатах в более простой форме. Если рассматриваемая область имеет замкнутый граничный контур (рис. 8.12), то при конформном отображении на единичный круг в плоскости с помощью функции = pe > можно добиться того, что граничная кривая будет описываться уравнением р = 1. В плоскости применяются полярные координаты р, ф. Этот частный случай будет рассматриваться в дальнейшем, так как позволяет получить простые решения. [c.221]

Преобразование формул Колосова и граничных условий при конформном отображении на единичный круг. В ос- [c.221]

Рис. 8.13. К конформному отображению на единичный круг плоскости

Идея конформного отображения на единичный круг состоит в том, что фактически решение рассматриваемой двумерной задачи сводится к решению некоторой одномерной задачи, что значительно упрощает исследование [10, 16]. [c.49]

Аналитическая функция w(f) задает конформное отображение внешности единичного круга плоскости f на внешность неизвестного контура L, физической плоскости z. [c.222]

В условиях теоремы указано, что границы отображаемых односвязных областей должны состоять более чем из одной точки. Это означает, что теорема не распространяется на расширенную плоскость и расширенную плоскость с выколотой точкой, для которых конформное отображение на односвязную область вообще не существует (например, на единичный круг). [c.186]

Такой выбор функции P Q) диктуется конформным отображением линии трещины сначала на прямолинейный разрез, который в свою очередь отображается на единичный круг. Отображение одного первого наклонного звена трещины при переходе к разрезу, совпадающему с некоторой новой осью s, дает х = s os ао. Отображение берегов этого разреза на единичный круг по формуле Жуковского приводит к соотношению s = L os 0. Отсюда следует первая строка формулы (24.21). [c.206]

Здесь ij o(x, у) означает гармоническую функцию (Аг )о = 0), удовлетворительную условию (6.4), а IF(Z, g) — аналитическую функцию комплексного переменного Z х iy, осуществляющую конформное отображение данной области на единичный круг так, что произвольная точка области щ переходит в центр круга, т. е. W(l, g) — 0. [c.157]

Рассмотрим сначала нахождение комплексных потенциалов для случая одного отверстия. Если граница области, занимаемой телом, представляет собой простой замкнутый контур, то, согласно [65], можно воспользоваться конформным отображением этой области на единичный круг или на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью. Будем для определенности рассматривать случай, когда область S, занимаемая телом, бесконечна и осуществляется конформное отображение этой области на бесконечную область О, ограниченную единичной окружностью с центром в начале координат. Пусть аналитическая функция t ( ) ( G О, 2 = t ( ) G S) определяет конформное отображение области S на область О. Уравнение границы в преобразованной области имеет вид = 1, или = 1, или = 1/ . [c.76]

Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция I аналитична в /) и что на границе В ее модуль равен 1, Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает В на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения В на круг), то такая проверка излишня—проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображение есть, то оно непременно восстанавливается по формуле (11). [c.86]

Вариационные методы. Эти графоаналитические методы основаны на вариационных принципах теории конформных отображений. Начнем с приближенного решения задачи о конформном отображении ограниченных областей с дважды гладкой границей на единичный круг. [c.118]

Пусть сначала область О близка к кругу в том смысле, что в полярном уравнении г= —б(ф) ее границы Г функция б вместе с двумя производными не превосходит малое число е. Как показано в предыдущем параграфе, приближенное с точностью до выражение для конформного отображения этой области на единичный круг с нормировкой /(0) =0, / (0) > О имеет вид [c.118]

В том же 12 мы показали, что этим способом можно получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к данной если область В близка к О в смысле близости второго порядка и / — конформное отображение О на единичный круг с нормировкой /(2о) = О, / (го)>0, то область 0) близка к кругу, ее отображение /1 на круг можно найти по формуле (2), а тогда сложная функция / = /1°/ будет отображать О на круг. [c.119]

Наиболее эффективные способы решения граничных задач плоской теории упругости, использующие аппарат теории функций комплексного переменного, основываются на возможности построения в простой аналитической форме (в виде полинома или рациональной функции) функции, реализующей точно или приближенно конформное отображение данной области на единичный круг. По этой причине методы теории функций оказываются все еще мало приспособленными к эффективному решению задач для многосвязных областей. [c.575]

Применяя конформное отображение областей S ti S" на заданную область S, скажем на единичный круг (в случае, когда область S односвязна), получаем граничную задачу вида [c.605]

Отображение конформное на единичный круг 370 [c.861]

Все последующие решения задачи обтекания решетки пластин, основанные на конформных отображениях, элементарно следуют из решения С. А. Чаплыгина. Так, например, наиболее распространенное отображение внутренности единичного круга яз плоскости параметрического переменного [c.109]

Правая часть соответствует функции, заданной для первоначального граничного контура Д + //2 и после конформного отображения становится функцией, определяемой на единичном круге. [c.224]

В частном случае одиночного профиля (т->оо) все коэффициенты Шп при п > О обращаются в нули и ряд (161) переходит в известный уже нам по предыдущему ( 45) ряд (74). Таким образом, совокупность первого слагаемого и первой суммы в правой части (161) соответствует конформному отображению внешности единичного профиля на внешность единичного круга а последняя сумма выражает влияние остальных профилей решетки. [c.269]

Пусть бесконечно большая пластина имеет круглое отверстие радиуса г, край которого свободен от нагрузки, а напряжения на бесконечности равны а , а . Конформное отображение области, занимаемой пластиной, на единичный круг осуществляется преобразованием ([ЗО], III, ч. 2, стр. 123) [c.333]

В частном случае конформного отображения заданной односвязной области на единичный круг гамильтониан и уравнения движения имеют вид [c.166]

Зная течение вокруг окружности единичного радиуса, можно с помощью конформного отображения области, внешней данному профилю, на область, внешнюю кругу, построить течение и вокруг произвольного профиля. При этом используется свойство [c.21]

Осуществим теперь конформное отображение круга единичного радиуса на область 0+ с помощью функции (й( ). Пусть при этом точки а и р переходят в точки а и дуги и дуги [c.394]

При решении задачи типа а) и б) обычно бывает удобно преобразовать область S либо на круг единичного радиуса (случай а), либо на плоскость с выброшенным кругом единичного радиуса (случай б). В том и другом случае функция z = a ( ), осуществляющая конформное отображение областей, устанавливает соответствие между точками контура z е Г и точками окружности единичного радиуса = о = е в плоскости Функции ф и ф будут теперь функциями переменной Для краткости мы будем употреблять для них те же символы, т. е. вместо [c.338]

Конформное отображение внешности эллипса в плоскости Z на внешность единичного круга в плос кости определяется преобразованием [c.509]

Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде всего, если для некоторой области О мы умеем решать задачу Римана и, следовательно, знаем ее конформное отображение / на единичный круг А = ге- < 1 , то мы можем решать для этой области и задачу Дирихле. В самом деле, если граница области О является простой непрерывной кривой (что мы и предположим), то, как доказывается в теории конформных отображений, / продолжается до нет рерывного и взаимно однозначного отображения О на А. Поэтому на единичной окружности (о =1 мы можем рассматривать обратную к / функцию и с ее помощью перенести на эту окружность заданные граничные значения /(со) = и[/- (со)]. Теперь по этим значениям мы можем при помощи интеграла Пуассона построить гармоническую в круге [ш < 1 функцию [c.84]

Аналитическая функция со( ) задает конформное отображение внешности единичного круга плокости на внешность контура L плоскости z она должна быть определена из решения задачи. Постоянную с без ограничения обйцности можно считать положительной. [c.168]

Во многих случаях оказывается полезным обратный ход—построение конформного отображения области О на единичный круг при помощи решения в В задачи Дирихле. Зададимся точкой Хо О, которую искомое отображение / переводит в центр круга ш = О (рис. 19). [c.85]

Предположим, что нам известна функция, реализующая конформное отображение занятой упругой средой односвязной области или области, дополняющей эту последнюю до полной плоскости комплексного переменного, на единичный круг. Если с помощью этой функции произвести замену переменной в упомянутом интегральном уравнении плоской задачи, то оно преобразуется в уравнение на окружности единичного радиуса, причем ядро вновь полученного уравнения будет выражено в явном виде через граничные значения отображающей функции. При элементарных полиномиальных отображениях вида (1) 153 ядро это будет сохранять простую структуру, и к решению интегрального уравнения можно применить обычный метод рядов Фурье. Этот прием решения, впервые примененный Д. И. Шерманом к задаче о сплошном эллипсе, использовался впоследствии в ряде конкретных случаев. Мы ограничимся ссылкой на работы Л. Д. Корбуковой [1, 2] и Н. Д. Тарабасова [4]. [c.599]

Если конформное отображение, в частности на единичный круг в плоскости (как это рассматривалось до сих пор), невыполнимо, то вводят в общем случае криволинейные координаты 1 = onst и т] = onst в плоскости Z (см. рис. 8.11). При этом получаются несколько более общие выражения для преобразуемых величин. Однако здесь на этом останавливаться больше не будем. [c.225]

Вообще говоря, ряды (13.1), (13.2) содержат бесконечное число членов. Удерживая в них несколько первых членов, получим приближенное конформное отображение рассматриваемых областей на единичный круг. Последнее равносильно тому, что оюбражены будут не эти области, а некоторые другие — тем более к-ним близкие, чем больше членов будет удержано в рядах (13.1), (13.2). [c.327]

Предположим, что сечение стержня есть односвязная область 0+, и пусть функция 2 = (й( ) реализует конформное отображение единичного круга в плоскости на 0+. Осуществим замену переменных в выражении для F(z) и полученную таким образом функцию будем обозначать через /( ). Перепищем краевое условие (1.3) в виде [c.362]

Для отверстий, форма которых отличается от круговой, решение получается с помощью конформного отображения. Пусть функция 2 = (О (5) осуществляет копформное отображение области, внешней по отношению к контуру /, на внешность единичного круга в плоскости Потребуем, чтобы при оо ( ) -> , тогда будет со (оо) =1, Теперь функция [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...