Поле симметрий гамильтоново

Векторные поля, порожденные интегралами F гамильтоновой системы (3.22), естественно назвать гамильтоновыми полями симметрий. Конечно, далеко не всякое поле симметрий гамильтоновой системы является гамильтоновым. [c.82]

Замечание. По индукции можно доказать, что если среднее функции Л по тору отлично от нуля, то Q + г(52 = = =. .. = 0. Если поле симметрий гамильтоново с гамильтонианом т + т-1 + - ) ТО все ПОЛИНОМЫ Р. к т) делятся на Я. Отсюда, в частности, следует теорема С. В. Болотина (теорема 3 из 4). [c.172]

Как уже говорилось, интегралы уравнений Гамильтона порождают поля симметрий (которые называются гамильтоновыми). С другой стороны, пример (8.1) показывает, что не каждое поле симметрий гамильтоновой системы является гамильтоновым (или даже локально гамильтоновым). [c.172]

Мы назвали поле симметрий и локально гамильтоновым, если 1-форма Lo u, ) замкнута, но не точна (см. 3 гл. П). В этом случае уравнения геодезических допускают в качестве инварианта замкнутую 1-форму, которая называется многозначным интегралом. [c.157]

О, является полем симметрий. Оно гамильтоново, однако поле третьей степени Ни [Н — гамильтониан геодезического потока), также являющееся полем симметрий, уже не гамильтоново. [c.158]

Нам осталось рассмотреть оставшийся вырожденный случай l = С2 = 0. Покажем, что при этом поле симметрий коллинеарно гамильтонову полю v. Действительно, соотношение Q - - iQ = О приводит к равенствам [c.169]

Канонические координаты х mod 2тг и у являются переменными действие — угол невозмущенной системы с гамильтонианом Яо. Следуя Пуанкаре, мы рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема теории возмущений, изложенная в 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях s 0. [c.177]

Этот результат усиливает теорему 3 из 1, которая при тех же предположениях гарантирует отсутствие дополнительного аналитического интеграла, независимого от интеграла энергии. Действительно, как было отмечено в 3 гл. П, каждый интеграл уравнений Гамильтона порождает гамильтоново поле симметрий. Более того, полям симметрий могут отвечать многозначные интегралы (напомним, что под многозначной функцией на М мы понимаем замкнутую 1-форму [c.194]

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

Применим теорему 3 к гамильтоновой системе с п степенями свободы, обладающей нерезонансным А, -мерным инвариантным тором. Предположим, что эта система допускает г независимых интегралов в инволюции. Утверждается, что спектр соответствующей матрицы Q содержит не менее 2г - к чисел вида г Х, и>), X е Z При к = 1 получаем теорему 4 из 8. Доказательство основано на том факте, что гамильтоновы поля v// ,..., vh являются полями симметрий, причем для них справедливы соотношения (9.9). Для получения нужной оценки остается воспользоваться заключением теоремы 3. [c.235]

В предположении о независимости собственных чисел. .., гамильтонова система имеет п неспециальных линейно независимых гамильтоновых полей. Действительно, согласно лемме 1 1, уравнения Гамильтона допускают п независимых формальных интегралов = х у +. .., не содержащих специальных слагаемых вида сх у . Очевидно, что гамильтоновы поля являются неспециальными полями симметрий. [c.325]

Доказательство теоремы 2 опирается на результаты 8 из гл. III. Рассмотрим гамильтоново поле симметрий, порожденное однородным гамильтонианом степени т F = fm,oPT + fm-, PT P2 + +. .. + h,mP2- Поскольку Qk = дF/dpk к = 1,2), то [c.406]

Теоретически интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах не обязательно может быть связана с наличием необходимого количества первых интегралов. Она может быть обусловлена полями симметрий, различными инвариантными формами и другими тензорными законами сохранения [31, 83]. Содержательные примеры, однако, относятся лишь к частным сочетаниям таких тензорных инвариантов. Сейчас мы рассмотрим еще одну типичную ситуацию. [c.75]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и находящуюся в постоянном консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. [c.821]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и наход щуюся в постоянном и консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами qi, которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. Координаты q могут быть выбраны различными способами, в частном случае это могут быть декартовы координаты х, у, г, цилиндрические или сферические координаты. Во всех случаях всякое изменение qi вызывает изменение Pi. [c.895]

Более интересный пример доставляет гамильтонова система из п. 3 1, имеющая в целом интегралы лишь конечной гладкости. Однако, нетривиальная группа преобразований у у + а, х х, t t является ее группой симметрий. Она порождается векторным полем с компонентами 1,0,0 в координатах y,x,t. [c.80]

Обсуждение связи между группами симметрий и интегралами гамильтоновых систем начнем с рассмотрения более общей задачи. Пусть —компактное трехмерное многообразие, V — касательное векторное поле на Е без особых точек. Пусть также динамическая система [c.172]

Симметрии в гамильтоновой механике. Пусть (М, а ) — симплектическое многообразие н группа g действует на М как группа симплектических диффеоморфизмов. С группой g связано векторное поле [c.97]

Ввиду квазиоднородности гамильтониана (3.10) точно такая же картина трансверсальных сепаратрис имеется на всех энергетических поверхностях с положительным значением полной энергии. В качестве следствия получаем, что уравнения (3.11) не имеют дополнительного аналитического интеграла. Этот результат был получен ранее в работе С. Л. Зиглина [64] с использованием анализа ветвления решений системы (3.11) в плоскости комплексного времени. На самом деле из трансверсальности пересечения сепаратрис вытекает существенно более сильное утверждение об отсутствии нетривиального аналитического поля симметрий гамильтоновой системы (3.11). [c.275]

Тогда гамильтоново поле vp z) — поле симметрий системы (3.22). Действительно, пусть Ьн и Lp—операторы дифференцирования, отвечгиощие гамильтоновым полям и vp. Из тождества Якоби для скобок Пуассона следует, что [c.82]

Эти наблюдения можно обобщить. Пусть / — замкнутая 1-форма в фазовом пространстве системы с гамильтонианом Я. Локально / = dF, поэтому форме / можно поставить в соответствие локально-гамильтоново поле vp с функцией гамильтона F. Екли Н, F = О, то поле vp является полем симметрий системы (3.22). Форму / (или многозначную функцию F) можно назвать многозначным интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом Я. Если форма / точна, то F — глобальный однозначный интеграл. [c.82]

Этот результат усиливает теоремы 1 и 2 1, так как любой интеграл, независимый с интегралом энергии, порождает нетривиальное поле симметрий, В частности, из теоремы 1 вытекает отсутствие многозначных аналитических интегралов. Основная трудность в доказательстве теоремы 1 состоит в том, чтобы установить линейную зависимость векторов и, v во всех точках Eh. Так как г О, то и = Xv. Известно (см. 3 гл, П), что Л — интеграл гамильтоновой системы на Eh. Поскольку Л — аналитическая функция и род М больше единицы, то Л = onst по теореме 2 из 1, [c.153]

Не следует думать, что поля симметрий задачи о геодезических всегда гамильтоновы (или локально гамильтоновы). Вот простой контрпример если Л = onst, то квадратичное векторное поле с оператором дифференцирования [c.157]

Теорема 1 [107а)]. Если М = Т , то любое поле симметрий первой степени гамильтоново. [c.158]

Теорема 2 [107а)]. Если гауссова кривизна метрики на торе не равна тождественно нулю, то любое поле симметрий второй степени гамильтоново. [c.158]

Таким образом, в необратимом случае поле симметрий локально гамильтоново. Г амильтониан Ф будет однозначной функцией в фазовом пространстве, если (Л) = 0. [c.171]

Теоремы 1-3 из 8 приводят к следующему предположению, высказанному в работе [107а] если геодезический поток на замкнутой поверхности допускает полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное гамильтонову полю V, то существует дополнительный по импульсам интеграл степени не выше п. Эта гипотеза практически полностью доказана в [181а] (см. п. 2). [c.172]

Н, Fi,..., Fk и А + 1 линейно независимых полей симметрий ими являются гамильтоновы поля vh, 1 ,,..., г / . Эти интегралы попарно находятся в инволюции, поэтому каждая из с )уикций Н, Fi,...,Fk — интеграл каждой из систем уравнений z = ни, z = vf ,. .., z = Vfi,. Согласно теореме 3, по крайней мере 2(А - -1) —1 = 2А - -1 мультипликаторов периодической траектории 7 равны единице. [c.225]

Предположим, что Н = H-i - Тогда при всех значениях ауфг операторы (4.2) и (4.7) будут коммутировать. Следовательно, гамильтонова система в окрестности равновесия может иметь негамильтоновы поля симметрий. Отметим, что линейные поля (4.7), очевидно, неспециальные. Оказывается, в типичной ситуации неспециальные поля симметрий являются гамильтоновыми. [c.326]

Предположим, что степени квазиоднородности гамильтониана и дополнительного интеграла являются целыми числами. Тогда среди показателей Ковалевской появляется дополнительная пара целых чисел. Одно из них — степень нового интеграла, а другое — взятая с обратным знаком степень гамильтонова поля симметрий, порождаемого этим интегралом. [c.344]

Как известно, существование первых интегралов связано с наличием некоторого поля симметрий и с возможностью понижения порядка — по крайней мере локально. Это известная теорема Нётер, использование которой для гамильтоновых систем с линейными по импульсам интегралами связано с некоторыми упрощениями. Для простоты мы рассмотрим каноническую ситуацию, хотя рассуждения без труда переносятся и на общие уравнения Пуанкаре-Четаева, в частности, на уравнения динамики твердого тела в матричных реализациях групп Ли (задающих конфигурационные пространства). [c.221]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Основные связующие темы сохранились и для дополнительного материала, включённого во второе издание. Кинетическая энергия, кинетический потенциал и действие применяются при исследовании динамики общих и специальных систем. В их числе реономные системы (п. 5.5) динамические системы (п. 12.5) и системы Четаева (п. 17.3), (заметка 29) системы с неевклидовым действием (п. 18.3) системы с распределёнными параметрами — стержень в задаче об устойчивости его формы (п. 25.5) и развёртываемая центробежными силами в космосе поверхность (заметка 27) система с диссипацией энергии за счёт гистерезиса в опоре (заметка 28) система переменного состава (заметка 30) гамильтоновы системы (заметки 32-35) системы, включающие бесконечно удалённые гравитирующие массы со сферической симметрией и инерционные объекты, нарушающие общую симметрию (заметки 36, 37) система, состоящая из релятивистской частицы и её собственного поля (заметка 38). [c.14]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Попутно мы доказали, что в предположениях теоремы Нехорошева исходные дифференциальные уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. Действительно, мы конструктивно строим (и - й)-мерные инвариантные многообразия и указываем в явном виде и - fe независимых касательных полей, которые попарно коммутируют между собой. Среди этих полей имеется исходное гамильтоново векторное поле. Остается воспользоваться теоремой Ли об интегрируемости в квадратурах системы уравнений, допускающей полную абелеву группу симметрий. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...