Полиномиальные поля

Задача о структуре симметрий геодезического потока на сфере более сложная и пока не изучалась. В следующем параграфе рассмотрен упрощенный ее вариант если геодезический поток на двумерной поверхности допускает полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное полю v, то существует ли дополнительный по импульсам интеграл степени гг Практически во всех случаях ответ положительный. [c.158]

Полиномиальное поле на плоскости можно заменить здесь аналитическим векторным полем на замкнутой двумерной поверхности. [c.112]

В п. 2.4.12 мы приводили оценку индекса особой точки градиентного векторного поля. Приведем теперь аналогичный результат для произвольного полиномиального поля. [c.172]

Простейший способ аналитического описания функций поведения элемента состоит в представлении их в виде полиномиального ряда, коэффициенты которого являются обобщенными параметрами Oi. Даже в том случае, когда поле элемента записано в терминах функций формы, функции формы можно рассматривать как преобразования полиномиального поля. [c.230]

Дальнейшие преобразования проводятся так же, как и в предыдущем примере аппроксимируется поле перемещений внутри Ti и вектор усилий t на границе дТi с помощью какого-либо набора функций, например полиномиальных, и далее составляется линейная алгебраическая система уравнений. [c.211]

Отсюда и до конца второй главы, если не оговорено противное, типичное семейство — это семейство из некоторого открытого всюду плотного множества в пространстве семейств с С -топологией (а — любое число, большее или равное степени полиномиальных векторных полей, задающих главные деформации). [c.20]

Полиномиальные решения задачи о равновесии цилиндра. В п. 7.1. представлены формулы, выражающие напряжения и перемещения в цилиндре, подверженном аксиально-симметричной деформации и деформации изгиба, через гармонические функции двух видов — осесимметричные (зависящие от х, и произведения функций от х, на В этом пункте дается построение этих решений в форме однородных полиномов от х, Z, для сплошного цилиндра и с членами, содержащими надлежащие особенности на оси z (при л = 0), в случае полого цилиндра. [c.339]

Линейную аппроксимацию поля перемещений обеспечивают полиномиальные зависимости [c.95]

В некоторых задачах оказывается возможным подобрать простое полиномиальное решение, соответствующее полю объемных сил. Прямое интегральное представление (4.38) для этого случая можно записать в виде [c.124]

В табл. 16.7.1 приведены результаты измерений зависимости критического поля Не от температуры для обычного олова (среднее значение атомной массы Л1 = 118,7) и для двух образцов олова с другой концентрацией изотопов (здесь Го.о — температура, при которой отношение Я /Я О) = 0,01). Было найдено также, что все образцы удовлетворяют полиномиальному соотношению [c.92]

Заметим, что в определение множеств допустимых полей перемещений К и вариаций перемещений не включено описание функционального пространства V, которому должны принадлежать эти поля. Дело в том, что конкретизировать пространство V можно только после задания структуры упругого потенциала W например, для полиномиальных аппроксимаций функции W пространство V будет пространством С. Л. Соболева типа — см. выше формулу (9). Очевидно также, что множества К и К , вообще говоря, не совпадают. [c.107]

Это очевидное утверждение позволяет свести задачу об аналитическом поле симметрий к задаче о поле симметрий с однородными полиномиальными компонентами. [c.154]

Следствие. Если геодезический поток на торе имеет нетривиальное поле симметрий степени п 5, то существует независимый от Н полиномиальный интеграл степени не выше п. [c.175]

Рассмотрим простой пример. Пусть 1 = 1 и = 8п(2Ка /7г, х), где К — полный эллиптический интеграл с модулем х > 0. Так как / имеет простые полюсы, то применимы теоремы 1 и 2. Следовательно, общее решение многозначно, и уравнения движения не имеют однозначного полиномиального интеграла. Интересно отметить, что в вещественной области имеется однозначный полиномиальный интеграл—интеграл энергии, однако в комплексном фазовом пространстве эта функция имеет логарифмические особые точки. Задача о несуществовании полиномиальных интегралов уравнений (2.1) при вещественных значениях х значительно сложнее для потенциальных полей с потенциалом в виде тригонометрического многочлена она решена в 5 гл. IV. [c.336]

V — потенциал силового поля. Уравнения Биркгофа (1.7), очевидно, имеют вид (2.1). Исследуем задачу о существовании полиномиальных по скоростям интегралов с однозначными коэффициентами, независимых от интеграла энергии [c.378]

Эти наблюдения обобщаются на случай полиномиальных интегралов произвольной степени для любого п 1 существует семейство аналитических потенциалов У х,1), 2тг-периодических по X, зависящее от п - 1 произвольной аналитической 2тг-периодической функции, для которых уравнение (3.1) имеет полиномиальный интеграл степени п с однозначными аналитическими коэффициентами. Доказательство основано на применении теоремы Коши — Ковалевской. Однако эту теорему непосредственно нельзя применить к системе (3.4). Преобразуем (3.4), поль- [c.381]

Полиномиальные линзы. Кривые бив распределения потенциала на рис. 80 асимптотически стремятся к потенциалам электродов следовательно, этим способом можно пользоваться для субъективного определения границ поля. Кривая а имеет резкие границы, но ей нельзя поставить в соответствие никакое физическое поле. Как указывалось выше, желательно четко определить его границы и затем, положив значение поля на обоих концах линзы равным нулю, найти такое распределение потенциала, которое имеет вид, показанный на рис. 80, но достигает значений потенциалов на электродах в этих точках. [c.411]

Конструирование пушек с полевой эмиссией намного легче, чем термоионных пушек. Из-за очень сильного электростатического поля у вершины вблизи нее потенциал резко возрастает и спадает на расстоянии порядка нескольких радиусов вершины. Дальше поле практически равно нулю. Если пушка проектируется так, чтобы поле экранировалось отверстием в первом электроде (см. разд. 7.3.1.5), то влиянием эмиттера вообще можно пренебречь. В первом приближении можно считать, что частицы появляются из области, в которой поле отсутствует, тогда в этой пушке можно использовать любую ограниченную линзу с нулевым полем на входе. На рис. 127 показана упрощенная кубическая полиномиальная линза с единственной модификацией, состоящей в том, что электроды ограничиваются плоскими поверхностями, перпендикулярными оптической оси (область в пространстве объекта, в которой поле отсутствует, обеспечивается упомянутым выше распределением потенциала без введения дополнительных экранирующих трубок). В соответствии с этим любая ограниченная электростатическая линза может быть использована как многоэлектродная пушечная линза. За последнее время для источников с полевой эмиссией успешно применялись многоэлектродные пушечные линзы [228]. [c.472]

При корреляционном и регрессионном анализе связь показателя качества агрегата у1 с технологическими факторами (погрешностями механизмов) можно представить в форме полиномиального уравнения множественной регрессии, полу- [c.92]

Замечание 1. Обобщение уравнений Пуанкаре-Жуковского на случай наличия силового поля рассматривалось в [56]. При этом получается гамильтонова система на прямой сумме е(3) so(3). В [56] приведены, без доказательства, некоторые необходимые условия существования дополнительных аналитических и полиномиальных интегралов и указан тривиальный аналог случая Лагранжа, заведомо существующий у подобных систем. [c.183]

Т.е. суперпозиции обычной (евклидовой) упругой пружины и некоторых сингулярных членов. Случай а = О, к ф О был известен еще Якоби. На уровне (М,7) = О система (10.21) траекторно изоморфна некоторому шаровому волчку в поле потенциала четвертой степени по 7 и более сложного сингулярного потенциала. В связи с разделением переменных на (и вообще на б" ) можно поставить вопрос о полиномиальных потенциалах, для которых система является разделимой. В полиномиальном случае он разрешен в [18, 283]. Соответствующие системы, описывающие движение шарового волчка, как правило, не являются физически реализуемыми. [c.332]

В общем случае вискозиметрические функции жидкости и-го порядка представляют собой многочлены по х степени не выше п. Поскольку в общей теории жидкостей вискозиметрические функции вовсе не обязаны быть полиномиальными, с помощью модели жидкости п-го порядка ни при каком п нельзя описать все результаты, относящиеся к вискозиметрическим течениям. Этот факт должен способствовать уяснению различия между порядком и сложностью действительно, как мы уже видели в упр. VI. 1.3, теория жидкостей сложности 2 уже включает в себя наиболее общую теорию вискозиметрических течений. Оба термина сложность и порядок призваны указывать, что мы имеем дело с результатом процесса аппроксимации чем ниже сложность жидкости, тем меньшего порядка производные от поля скорости нужны, чтобы определить напряжения в жидкости. В то же время, чем ниже порядок жидкости, тем медленнее течения, адекватно описываемые ее уравнением состояния. С другой стороны, следует помнить, что предложенные процессы-аппроксимации никак не обоснованы, а служат лишь в качестве наводящих соображений, более того, они вовсе и не необходимы нам, чтобы иметь возможность рассматривать жидкости порядка п или сложности п, ибо такие жидкости удовлетворяют всем общим требованиям механики сплошной среды и потому могут быть предметом изучения сами по себе. В частности, жидкость Навье — Стокса и упругая жидкость, являющиеся жидкостями порядков 1 и О соответственно, не обязательно должны рассматриваться как аппроксимации че-го-то более общего, но заслуживают рассмотрения и как независимые объекты, образчики того, какой может быть жидкость. Таким образом, классическая гидродинамика, которая всегда ограничивалась рассмотрением только этих двух жидкостей, представляет собой, хотя и специальную, но точную теорию. [c.241]

Теоремы 1-3 из 8 приводят к следующему предположению, высказанному в работе [107а] если геодезический поток на замкнутой поверхности допускает полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное гамильтонову полю V, то существует дополнительный по импульсам интеграл степени не выше п. Эта гипотеза практически полностью доказана в [181а] (см. п. 2). [c.172]

Существует, однако, очень эффективный способ использования отличных реконструкционных свойств простых полиномов. Если мы не будем пытаться строить никакой кривой, но вместо этого исследуем свойства полиномиальных полей, проблема интерполяционного шума сразу же исчезает. Таким образом, мож- [c.538]

Полиномиальные векторные поля. Ниже рассматриваются только векторные поля, имеющие центр по линейным членам. Наличие центра для таких полей равносильно обращению в > уль всех ляпуновских фокусных величин. Поэто1 у условие центра для полиномиального поля степени л задается бесконечным числом алгебраических уравнений на конечное число коэф- [c.96]

Полиномиальные поля. Рассмотрим допустимые поля направлений в СР , отвечающие всем полиномиальным вектора ным полям степени п в фиксированной аффинной карте. Этот класс допустимых полей и соответствующих им уравнений обозначим через Фп. Общее по Петровскому—Ландису поле класса бФп имеет на бесконечно удаленной прямой, дополняю [c.117]

Дюлака формальной заменой, сохраняющей е. Затем отбрасываются члены достаточно высокого порядка по х (выше трех для н ля с мнимой парой и выше пяти для двух мнимых пар). Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. В классе таких семейств изучается версаль-ная деформация факторсистемы, соответствующей ростку е). Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства. [c.27]

В традиц. квантовой теории поля (КТП) обычно используются полиномиальные лагранжианы (т. е. представляемые в виде многочлена от ф-ций поля и их первых производных). Описывающие взаимодействия полей простейшим способом с мин. числом производных. Такие лагранжианы могут приводить к перенормируемым теориям взаимодействия элементарных частиц (см. Перенормируемость). Наиб, типичный пример таких теорий — квантовая электродинамика. [c.324]

В связи со сказанным, естественно поставить более общую задачу об условиях существования векторных полей симметрий с полиномиальными компонентами для уравнений (8.2). В отличие от обратимого случая (Л = 0), здесь поле симметрий уже не будет однородным. Его можно представить в виде конечной суммь однородных полей и = и,п + Um i -Ь. .., deg щ = к, расположенных в порядке убывания степени. Степенью поля и назовем величину deg Um = т. [c.159]

Теорема 3 [181а]. Если геодезический поток на имеет нетривиальное поле симметрий степени п, то найдется многозначный полиномиальный по импульсам интеграл степени не выше п. Кроме того, если п нечетно, то обязательно существует однозначный полиномиальный интеграл. Если же п четно, то однозначный интеграл существует всегда, кроме тех случаев, когда конформный множитель Л удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных производных. [c.175]

Задачу о равновесии конуса (сплошного и полого) при действии осесимметричной нагрузки рассмотрел в 1944 г. Г. С. Шапиро им получены полиномиальные решения задачи для некоторых типов поверхностных нагрузок и для действия силы тяжести иным способом эта задача исследована А. Я. Александровым (1962). Действие сосредоточенного момента, приложенного в вершине конуса, рассмотрел А. Ф. Улитко [c.23]

Свойства кубической полиномиальной линзы хорошо исследованы для фиксированных положений объекта и изображения. Результаты показывают [219, 220, 222—224], что она превосходит двухапертурную линзу, которая является всего лишь другим типом симметричной двухэлектродной линзы и с которой поэтому можно прямо сравнивать полиномиальную линзу. В случае применения в качестве источника частиц, когда цилиндрического расширения со стороны объекта нет, это преиму-шество проявляется особенно сильно. Хотя двухапертурные линзы могут иметь очень маленькие отверстия, следует учитывать, что отверстие в каждом электроде действует как линза с оптической силой, определяемой разностью электрических полей на обеих поверхностях отверстия (см. разд. 7.8.2). Так как поле быстро изменяется вблизи обоих отверстий, аберрации этих линз ухудшают качество изображения. Эту ситуацию можно улучшить, удалив поля из области вблизи отверстий. Это справедливо для полиномиальной линзы, которая имеет чистые входные и выходные условия электрическое поле принимается равным нулю в непосредственной близости отверстия по обе стороны, следовательно, отверстия в электродах не сказываются на оптических свойствах системы. [c.415]

Как мы видели (разд. 7.3.1.5), двухапертурная линза хуже полиномиальной из-за сильных полей вблизи отверстий. Такое же отверстие в плоском электроде гибридной линзы дает очень малые аберрации, так как, хотя поле вблизи него меняется быстро, на электрод подан высокий потенциал, следовательно, члены, появляющиеся в выражении для коэффициентов аберрации, относительно малы. Этот факт можно продемонстрировать перестановкой электродов гибридной линзы. Если низкий потенциал подать на плоский электрод с отвестием, то линза будет работать значительно хуже. [c.420]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...