Непрерывность функции комплексного переменного

Непрерывность функции комплексного переменного 176 [c.313]

Непрерывность функции комплексного переменного определяется так же, как и в случае функции вещественного переменного. Непрерывность функции w=f z), если w = u- -i u, равносильна непрерывности функций и (х, у) и V (х, у). [c.194]

Неопределенные интегралы — см. Интегралы неопределенные Неподвижная точка — Связь 361 Непрерывность функции комплексного переменного 194 Непрерывные дроби 71 [c.579]

Понятия предела функции комплексного переменного и ее непрерывности (в точке или области) совпадают с аналогичными понятиями, известными из курса математического анализа, приводить их не будем. Подчеркнем только, что для существования предела [c.176]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Формула (6.7) дает обобщенные собственные решения, соответствующие непрерывному спектру (— оо <С и оо). Основной вопрос теперь состоит в исследовании возможных значений и, удовлетворяющих условию (6.6) и, следовательно, образующих дискретный спектр. Такие значения, согласно (6.6), являются нулями функции комплексного переменного [c.193]

Теперь нетрудно заключить, что перемещения и и v, определяемые формулами (1.5) , (1.20), а также деформации и напряжения, определяемые формулами (1.9), являются при Ij/I е и Izl непрерывными вместе со всеми своими производными функциями, ибо соответствующие им интегралы сходятся равномерно. Более того, как функции комплексной переменной Z = z + I деформации и напряжения будут аналитическими функциями, регулярными [4] в полосе —оо<а <оо, <й— у. Заметим еще, что функции (I7 + ayU ) а, (Е -f аг/Е ) а, (Г + + а /Г ) а, (2j + aj/2j) а, (2 + ay Zy) а абсолютно интегрируемы на (—оо, оо) по а при li/l h — г. Поэтому [31 деформации и напряжения при у к — г стремятся к нулю, когда 1а 1оо. Относительно перемещений -и и v можно утверждать, что при I д 1 оо и фиксированном I /1 h — г [c.21]

Принцип отражения. Пусть аналитическая функция комплексного переменного Щ) регулярна и однозначна в области D, ограниченной частично (как на рис. 20) отрезком АВ действительной оси, и стремится непрерывно к действительным значениям на АВ. Тогда соотношение /( ) =/ t) продолжает функцию t) аналитически через отрезок АВ в зеркальный образ D области D, так что f t) является аналитической в области D[iD UAB. [c.59]

Существование и единственность решения можно доказать и при гораздо более общих условиях [достаточно, чтобы функция / (д) была непрерывна], но здесь мы на этом не останавливаемся (см. любой курс теории функции комплексного переменного или теории потенциала). [c.274]

Из элементов теории функций комплексного переменного известно, что, обратно, если две однозначные действительные функции ряд, имеюш ие непрерывные первые производные, связаны соотношениями (2), то р + 5 является голоморфной функцией переменной z в данной области ). [c.657]

Известно, что вещественная и мнимая части каждой регулярной аналитической функции (т. е. имеющей непрерывную производную) / (г где 2 = X -Ь /-у, удовлетворяют уравнениям Коши — Римана, и наоборот, если функции Ф(х,у) и ф(х,у) удовлетворяют уравнениям Коши—Римана, то эти функции можно рассматривать соответственно как вещественную и мнимую части регулярной аналитической функции комплексного переменного. Таким образом, потенциал скорости и функция тока плоского движения представляют вещественную и мнимую части некоторой функции / (г), называемой характеристической функцией или комплексным потенциалом [c.419]

Н. И. Мусхелишвили получено решение задачи для изотропной упругой полуплоскости, основанное на некоторых свойствах интегралов типа Коши, взятых по прямой [26]. Метод Н. И. Мусхелишвили можно с успе хом применить и для решения задачи об упругом равновесии анизотропного полупространства. Напомним две необходимые формулы. Пусть / (z)— функция комплексного переменного z х iy, голоморфная в нижней полуплоскости г/ О и непрерывная вплоть до границы, причем / (оо) = 0. Тогда, если z — точка в нижней полуплоскости, а — точка границы (абсцисса), имеют место следующие равенства [c.144]

Примечательно, однако, что оба эти определения эквивалентны ([824], стр. 205). Другими словами, имеется только одна производная векторной функции. Следовательно, в единственном смысле можно говорить и об аналитической векторной функции комплексного переменного. (Используемое при этом определение непрерывности всегда понимается в сильном смысле.) [c.163]

Оператор резольвенты (а — КУ замкнутого оператора К является аналитической (операторной) функцией комплексной переменной а, регулярной во всех точках а в резольвентном множестве (19311, стр. 291). Понятие аналитической операторной функции было введено в гл. 6, 7, п. 2. Если К — вполне непрерывный оператор, то оператор (а — К) аналитичен всюду в комплексной а-плоскости, за исключением изолированных полюсов конечного порядка, которые все заключены в конечной области и которые не могут иметь каких-либо точек сгущения, кроме точки а = 0. [c.199]

Интеграл типа Коши. Пусть L — гладкий замкнутый контур в плоскости комплексного переменного а. Область, расположенную внутри контура, будем обозначать через 0+, а вне — через 0 . Пусть непрерывная функция f(т) есть краевое значение на контуре L некоторой функции (г), аналитической в 0+ или в 0 , а точка г располагается либо в 0+, либо в 0 . Рассмотрим интеграл [c.12]

Лемма. Если функция F (р) равномерно непрерывна в плоскости комплексного переменного р и F (р) О равномерно относительно аргумента р при р оо, то интеграл [c.181]

МАКСИМУМА МОДУЛЯ ПРИНЦИП — утверждение, согласно к-рому аналитическая функция одного или неск. комплексных переменных, отличная от постоянной, не может внутри области аналитичности достигать своего максимального по абс. величине значения. В частности, если /(х) — аналитич. ф-ция в области D, и в нек-рой окрестности U точки Sa имеет место неравенство /(г) 1/ 2о) > 2 g С/, то /(г) постоянна в D. Если /(z) аналитична в D и непрерывна в замыкании D, то ф-ция / г) достигает своего макс, значения на границе области D. [c.41]

I. Пусть 2 — конечная или бесконечная область на плоскости комплексной переменной С, ограниченная простым замкнутым контуром у ), и пусть (U (С) — функция, голоморфная в области 2 ) w непрерывная вплоть до контура. Пусть, далее, точка, определяемая равенством z w (Q, описывает на плоскости z двигаясь все время в [c.166]

Рассматриваемая задача о равновесии тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, сводится к определению комплексных потенциалов — трех функций (2 ) трех различных комплексных переменных = а + 1 у в области 5 поперечного сечения. Эти функции должны быть такими, чтобы определяемые ими напряжения и перемещения были однозначными функциями координат X и у и непрерывными вплоть до контура. На контуре области Ф должны удовлетворять условиям (21.8) или (21.10) (первая и вторая основные задачи). Иначе говоря, на контуре задаются три комбинации Ф и сопряженных функций. [c.117]

Как было доказано выше (см. гл. 1П, 3, п. 1), комплексная функция напряжений w непрерывна на всей плоскости Е комплексной переменной z=x- -iy и на бесконечности удовлетворяет условию [c.245]

Скалярное произведение <а/ ад > более не является обычной дискретной функцией, а образует некоторое распределение ( б-функция ) <а/ ф> является комплексной функцией вещественной непрерывной переменной /. Окончательно приведенные выше уравнения мож- [c.72]

Заметим, что представление функции дискретного аргумента интегралом Фурье можно рассматривать и как функцию непрерывного аргумента (т. е. полагать во второй из формул (10.3), что х — непрерывная переменная). Если же расширить область определения X на всю комплексную плоскость, то VI (х) окажется целой аналитической функцией. [c.58]

Можно доказать, что существование производных duldx, ди/ду, dvIdx, dvidy в окрестности точки х, у) и их непрерывность в этой точке вместе с условиями Коши—Римана являются достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного W (г) и (х, у) + iv (х, у) в точке z х + iy [15]. [c.178]

Первое из этих условий есть уравнение неразрывности, а второе получается из закона Дарси и условия непрерывности давления на поверхности раздела S. Таким образом, плоская задача приводится к определению двух функций комплексного переменного dtiijdz = — [c.305]

Общая механическая теория движения тел, когда жидкость, заполняющай всю внешность тела, движется непрерывно и циркуляция по любому контуру равна нулю, разрабатывалась еще В. Томсоном и П. Г. Тетом, Г. Кирхгофом и Н. Е. Жуковским. Плоская задача о потенциальном течении жидкости и задача о силах нри движениях с постоянной циркуляцией рассматривались с помощью теории функций комплексного переменного С. А. Чаплыгиным (1920). Л. И. Седовым (1935) подробно разработана плоская задача, даны формулы для присоединенных масс и вычислены коэффициенты присоединенных масс для профиля Жуковского. Большую часть известных сведений [c.30]

Таким комплексным представлением часто пользуются в теории связи, где V называют аналитическим сигналом ), связанным с К" . Он получил это название потому, что при К , удовлетворяющем определенным общим условиям непрерывности, функции У (г), рассматриваемая как функция комплексной переменной г, аналитнчна в нижней полуплоскости г (см. [351). [c.454]

Понятие аналитичности операторной функции комплексного переменного южнo ввести теперь как однозначное обобщение аналогичного понятия для обычной функции комплексного переменного. Требующееся при этом свойство непрерывности всегда понимается как непрерывность по норме, т. е. непрерывность, равномерная относительно выбора векторов, на которые действуют операторы. [c.166]

Предложение 6.2. Пусть В и В - банаховы пространства и пусть F(p) - голоморфная функция комплексной переменной р со эна-чениями из (Bj, в ). Если длярш-р имеем р- р ) В2, В )(т.е. F (Pq) обратим и F UPo) является непрерывным оператором аз [c.59]

Пусть L обозначает совокупность конечного числа п простых не пересекающихся дуг и замкнутых линий плоскости комплексного переменного z. Затем положим, что на каждой дуге и линии, входящих в L, выбрано определенное положительное направление. Разомкнутые дуги обозначим через афь, выбирая обозначения так, чтобы положительное направление вело от ал к bh- Функцию F z) будем называть кусочно-голоморфной во всей плоскости, если она голоморфна в плоскости комплексного переменного z, разрезанной вдоль L, непрерывно продолжима на все точки L слева и справа, за исключением концов а, bh, и вблизи концов ал, Ьи имеет место неравенство [c.142]

Степенным называется рядс +схг-Ь + С2г +. ..+ с г +-.-, где коэг[1/ ициенты q, fi, j,. . с ,. . . — постоянные комплексные числа, а г — независимое комплексное переменное. Для всякого степенного ряда существует круг с центром в нулевой точке (к-Руг сходимости) и с радиусом R радицс сходимости), внутри которого (т. е. при г / ) ряд расходится. В некоторых точках окружности круга сходимости (т. е. при г = R) ряд может сходиться, в других расходиться. Всякий степенной ряд равномерно сходится в круге j г если r R. Степенной ряд, для которого R > О, изображает непрерывную функцию внутри его круга сходимости. Степенной ряд можно, не меняя его круга сходимости, дифференцировать н интегрировать почленно сколько угодно раз. [c.195]

Сведение граничной задачи Гильберта к линейной задаче Римана. Пусть/) — конечная или бесконечная область плоскости комплексного переменного, ограниченная одним непе-ресекающимся гладким замкнутым контуром L. Граничной задачей Гильберта назьтают следующую задачу найти аналитическую в D, непрерывно продолжимую на L функцию = u+ iv по граничному условию [c.240]

Если изменять коэффициенты уравнения (9.13), то функция д с) и ее нули будут меняться. Эти пули при непрерывном изменении коэффициентов могут исчезать , уходя в особые точки. Особые точки д с) — это те точки плоскости комплексного переменного с, через которые при t = 0 проходят решения, не продолжимые на сегмент О < / < ш. Изучим поведение таких решений. [c.132]

МАКСИМУМА МОДУЛЯ ПРИНЦИП в теорип апа.штических функций — свойство однозначной апа-лнтич. функции / (z) комплексного переменного z (отличной от постоянной, аналитической внутри области D и непрерывной на D, включая точки границы S этой области), состоящее в том, что I/ (,г) может достигать своего наибольшего значения лишь па г р а н и ц о 1 . Что касается наименьшего зпачения I/ (z)J, то, если оно положительно, оно такжо может достигаться лишь в точках, принадлежащих к S если же rnin j/ (z) = О, то точки, в к-рых / (z) = 0, могут паходиться и внутри D. [c.126]

Даррозе указал, что задачу Гильберта, связанную с доказательством полупространственной полноты, нужно привести к диагональному виду это возможно, но диагонализация внесла дополнительные сингулярности в комплексной плоскости, приводящие к трудностям, с которыми Даррозе не справился. Решение найдено в недавней статье автора [32], где показано, что для решения некоторого класса систем сингулярных интегральных уравнений полезно воспользоваться теорией интегралов от алгебраических функций Мы не будем входить в детали метода, использованного в этой статье, так как это увело бы нас слишком далеко. Заметим только, что эти методы можно применить также в многогрупповой теории переноса нейтронов, когда нейтроны делятся на группы с различной энергией (вместо использования непрерывной переменной для скорости) [2, 3, 16]. [c.355]

Чтобы свести систему дифференциальных уравнений (2.63) к системе алгебраических уравнений, производят разложение волновых функций по полному набору базисных волновых функций. Удобнее всего с расчетной точки зрения оказывается базис из штурмовских волновых функций, так как он не содержит непрерывного спектра. Однако он хорошо известен только для атома водорода. Поэтому большинство расчетов в рамках метода Флоке проводится для атома водорода [2.25]. Кроме того, в расчетах удобно заменить радиальную переменную г г ехр(х ) (это так называемый поворот радиальной переменной в комплексной плоскости). Угол поворота выбирается так, чтобы все величины были бы вещественными в решаемых уравнениях. Для обеспечения высокой точности численных расчетов приходится учитывать базис, состоящий из нескольких десятков штурмовских функций [2.25 [c.49]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Интегралы по вещественной переменной. Часто встречаются интегралы вида (11,1), в которых контур у представляет собой вещественную ось НИИ ее часть. Примером их служат интегралы Лапласа, где у — отрезок [а, Ь, а функция / принимает на зтом отрезке вещественные значения. Нас по-прежнему будет интересовать асимптотика интегралов при р - В сущности, мы имеем здесь вырожденный а>учай задачи, рассмотренной в п. 11.1 исходный контур интегрирования совпадает с путем быстрейшего спуска. Поэтому на интегралы Лапласа переносятся все полученные выше результаты. Для их вывода не требуется дефор мировать контур интегрирования в комплексной плоскости. Следовательно, можно отказаться от требования аналитичности функций, считая бунк-ции [ к Р бесконечно дифференцируемыми в окрестностях точек а, о к максимумов /(и>), и кусочно-непрерывными и ограниченными на интервале (а, Ь). Если ( к Р или их производные терпят разрыв в конечном числе точек а,-, / = 1то асимптотику интеграла легко получить, разбивая отрезок [а, Ь на интервалы (а, й]), (а аг),..., (а/, Ь) и суммируя известные асимптотики интегралов по этим интервалам. Так удается рассмотреть и а1учаи, в которых / достигает максимума в точке разрыва. [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...