Непрерывность функции комплексного

Непрерывность функции комплексного переменного 176 [c.313]

Непрерывность функции комплексного переменного определяется так же, как и в случае функции вещественного переменного. Непрерывность функции w=f z), если w = u- -i u, равносильна непрерывности функций и (х, у) и V (х, у). [c.194]

Неопределенные интегралы — см. Интегралы неопределенные Неподвижная точка — Связь 361 Непрерывность функции комплексного переменного 194 Непрерывные дроби 71 [c.579]

Прежде чем перейти к изучению поведения интеграла типа Коши на линии интегрирования, рассмотрим вопрос о классах функций. Пусть f(i) — некоторая функция, причем аргумент t и функция f(t) могут быть как действительными, так и комплексными. Если f(i) является функцией из класса непрерывных функций, то, по определению, приращение аргумента 2—1 и функции If( 2) —/( i)l одновременно стремится к нулю. При этом вопрос [c.137]

Понятия предела функции комплексного переменного и ее непрерывности (в точке или области) совпадают с аналогичными понятиями, известными из курса математического анализа, приводить их не будем. Подчеркнем только, что для существования предела [c.176]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Интеграл типа Коши. Пусть L — гладкий замкнутый контур в плоскости комплексного переменного а. Область, расположенную внутри контура, будем обозначать через 0+, а вне — через 0 . Пусть непрерывная функция f(т) есть краевое значение на контуре L некоторой функции (г), аналитической в 0+ или в 0 , а точка г располагается либо в 0+, либо в 0 . Рассмотрим интеграл [c.12]

Здесь /1 (х, у) и /2 (х, у) - непрерывные функции, известные из решения соответствующей задачи теории пластичности (первая из них действительная, вторая — комплексная). [c.9]

Вспомним сначала некоторые элементарные понятия функционального анализа ). Функционал F [i ) (у)] является функцией от функции г] (у). Другими словами, каждой функции г] (у) (внутри определенной области, например, всем непрерывным функциям от I/ в интервале О у функционал ставит в соответствие вещественное (или комплексное) число. Правила вычислений с функционалами представляют собой обобщение правил обычного анализа. Чтобы понять зто обобщение, можно предста- [c.274]

Формула (6.7) дает обобщенные собственные решения, соответствующие непрерывному спектру (— оо <С и оо). Основной вопрос теперь состоит в исследовании возможных значений и, удовлетворяющих условию (6.6) и, следовательно, образующих дискретный спектр. Такие значения, согласно (6.6), являются нулями функции комплексного переменного [c.193]

Теперь нетрудно заключить, что перемещения и и v, определяемые формулами (1.5) , (1.20), а также деформации и напряжения, определяемые формулами (1.9), являются при Ij/I е и Izl непрерывными вместе со всеми своими производными функциями, ибо соответствующие им интегралы сходятся равномерно. Более того, как функции комплексной переменной Z = z + I деформации и напряжения будут аналитическими функциями, регулярными [4] в полосе —оо<а <оо, <й— у. Заметим еще, что функции (I7 + ayU ) а, (Е -f аг/Е ) а, (Г + + а /Г ) а, (2j + aj/2j) а, (2 + ay Zy) а абсолютно интегрируемы на (—оо, оо) по а при li/l h — г. Поэтому [31 деформации и напряжения при у к — г стремятся к нулю, когда 1а 1оо. Относительно перемещений -и и v можно утверждать, что при I д 1 оо и фиксированном I /1 h — г [c.21]

Принцип отражения. Пусть аналитическая функция комплексного переменного Щ) регулярна и однозначна в области D, ограниченной частично (как на рис. 20) отрезком АВ действительной оси, и стремится непрерывно к действительным значениям на АВ. Тогда соотношение /( ) =/ t) продолжает функцию t) аналитически через отрезок АВ в зеркальный образ D области D, так что f t) является аналитической в области D[iD UAB. [c.59]

Характеристические функции по самому своему определению являются комплексными непрерывными функциями, обладающими следующими свойствами [c.177]

Существование и единственность решения можно доказать и при гораздо более общих условиях [достаточно, чтобы функция / (д) была непрерывна], но здесь мы на этом не останавливаемся (см. любой курс теории функции комплексного переменного или теории потенциала). [c.274]

Из элементов теории функций комплексного переменного известно, что, обратно, если две однозначные действительные функции ряд, имеюш ие непрерывные первые производные, связаны соотношениями (2), то р + 5 является голоморфной функцией переменной z в данной области ). [c.657]

Вещественное число А называется характеристическим числом ) функции X ( ) (может быть, комплексной), если х ( ) ехр [— (А. 4- а) ] - О при оо и любом а >> О, а ж ( ) ехр [ (—А - - ) ] неограничено. Если X ( ) ехр (р, ) О при любом fг, то характеристическое число функции X t) равно — оо. Если же х ( ) ехр ( г ) — неограниченная функция при оо при любом ц, то характеристическое число х ( ) равно -]-оо. Каждая непрерывная функция х ( ) имеет характеристическое число. Если имеется система функций ( ),. . ( ), то наибольшее характеристическое число этих функций называется характеристическим числом системы.. Ляпунов доказал, что все - (ненулевые) решения системы (7) имеют конечные характеристические числа. Всего различных характеристических чисел система (7) имеет не больше п. Если ры в (7) постоянные, то характеристическими числами этой системы будут вещественные части характеристических чисел матрицы коэффициентов Р = pki II- Всегда можно построить такую фундаментальную систему решений, что сумма их характеристических чисел я = А1 И-. .. -НАп, будет наименьшей. Ляпунов доказал, что 5 - - р,>0, [c.69]

Расчет квантованных ДОЭ для формирования полей с заданным распределением комплексной амплитуды также основывается на оптимизации непрерывной функции Ам щЬ1,Ь2) (2.316). Расчет функции (и) проводится градиентным методом и состоит в итерационной коррекции функции (и) по правилу (2,319). Функционал е (9 ) в этом случае соответствует некоторому интегральному функционалу [c.135]

Отметим, что и в плоском течении в этом классе парадокс Даламбера имеет место подъемная сила появляется лишь при наличии логарифмического члена в асимптотическом разложении для комплексного потенциала потенциал скорости при наличии этого члена не является непрерывной функцией во внешности профиля. [c.171]

В проблемах автоматического регулирования, как правило, недопустимы неограниченно возрастающие отклонения V от начального значения УQ. Если мы вспомним, что показательная функция у = при положительном множителе Я, в показателе экспоненты при возрастании аргумента t неограниченно возрастает и притом, как известно из математики, быстрее всякой другой алгебраической непрерывной функции, то ясно, что положительные значения показателя недопустимы, и практически мы должны считаться для целей регулирования с отрицательными значениями вещественных корней и с отрицательными значениями вещественной части комплексных корней, т. е. с корнями, которые изображаются точками, лежащими в левой комплексной полуплоскости. [c.66]

Известно, что вещественная и мнимая части каждой регулярной аналитической функции (т. е. имеющей непрерывную производную) / (г где 2 = X -Ь /-у, удовлетворяют уравнениям Коши — Римана, и наоборот, если функции Ф(х,у) и ф(х,у) удовлетворяют уравнениям Коши—Римана, то эти функции можно рассматривать соответственно как вещественную и мнимую части регулярной аналитической функции комплексного переменного. Таким образом, потенциал скорости и функция тока плоского движения представляют вещественную и мнимую части некоторой функции / (г), называемой характеристической функцией или комплексным потенциалом [c.419]

Когда вектор к принимает комплексные значения, сходящаяся волна перестает быть ограниченной, и ее нельзя представить элементом пространства С. Эту трудность можно обойти, если ввести в рассмотрение новое пространство С непрерывных функций с нормой [c.154]

Н. И. Мусхелишвили получено решение задачи для изотропной упругой полуплоскости, основанное на некоторых свойствах интегралов типа Коши, взятых по прямой [26]. Метод Н. И. Мусхелишвили можно с успе хом применить и для решения задачи об упругом равновесии анизотропного полупространства. Напомним две необходимые формулы. Пусть / (z)— функция комплексного переменного z х iy, голоморфная в нижней полуплоскости г/ О и непрерывная вплоть до границы, причем / (оо) = 0. Тогда, если z — точка в нижней полуплоскости, а — точка границы (абсцисса), имеют место следующие равенства [c.144]

Примечательно, однако, что оба эти определения эквивалентны ([824], стр. 205). Другими словами, имеется только одна производная векторной функции. Следовательно, в единственном смысле можно говорить и об аналитической векторной функции комплексного переменного. (Используемое при этом определение непрерывности всегда понимается в сильном смысле.) [c.163]

Оператор резольвенты (а — КУ замкнутого оператора К является аналитической (операторной) функцией комплексной переменной а, регулярной во всех точках а в резольвентном множестве (19311, стр. 291). Понятие аналитической операторной функции было введено в гл. 6, 7, п. 2. Если К — вполне непрерывный оператор, то оператор (а — К) аналитичен всюду в комплексной а-плоскости, за исключением изолированных полюсов конечного порядка, которые все заключены в конечной области и которые не могут иметь каких-либо точек сгущения, кроме точки а = 0. [c.199]

Для того чтобы задать норму в л> надо только заменить комплексные числа, играющие роль скаляров в л, ограниченными непрерывными функциями бозонных полей, снабженными sup-нормой. Так, если f = X) Разложение эле- [c.18]

В силу самого своего определения характеристические функции являются комплексными непрерывными функциями от аргументов 0], 02,. .., 0 , обладающими следующими свойствами [c.176]

Мы будем в основном рассматривать аппроксимации различных непрерывных функций, определенных на компактных подмножествах А-мерного точечного пространства Более точно, пусть 3 — некоторое множество элементов Т, и, V,. . в значительной мере произвольных. Почти во всех наших приложениях величины Т будут действительными или комплексными числами, векторами или тензорами заданного порядка. Нами будут рассматриваться отображения F , которые ставят в соответствие каждой точке X некоторого компактного подмножества пространства элемент 1( 3. Для обозначения таких функций мы будем использовать запись Т = Р (X), где Т — значение функции в точке X. Область есть область определения функции Р (X). Предполагается, что Р непрерывна на М, т. е. для каждой точки Хо принадлежащей Р (X) Р (Хо) при г (X, Хо) 0. Отсюда следует, что образ Р Ц) тоже компактен. Если при этом Р — взаимно однозначная функция, то существует Р 1 и Р называют тогда топологическим отображением или гомеоморфизмом. [c.43]

Можно доказать, что существование производных duldx, ди/ду, dvIdx, dvidy в окрестности точки х, у) и их непрерывность в этой точке вместе с условиями Коши—Римана являются достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного W (г) и (х, у) + iv (х, у) в точке z х + iy [15]. [c.178]

Вначале немного о свойствах комплекснозначЕ1ых функций, т. е. функций действительного аргумента, принимающих комплексные значения. Пусть z z (t) — комплекснозначная функция, определенная на отрезке а < / < р. Отделяя у функции Z (I) действительную и мнимую части, ее можно представить в виде Z X (t) + iy (О (например, е - os t + i sin I). Предел и непрерывность комплекснозначной функции определяются обычным образом. Легко проверить, что необходимым и достаточным условием существования предела или непрерывности функции z (t) является существование предела или непрерывность ее действительной и мнимой частей. Г1роизводная комплекснозначной функции также определяется обычным образом [c.182]

Первое из этих условий есть уравнение неразрывности, а второе получается из закона Дарси и условия непрерывности давления на поверхности раздела S. Таким образом, плоская задача приводится к определению двух функций комплексного переменного dtiijdz = — [c.305]

Степенным называется рядс +схг-Ь + С2г +. ..+ с г +-.-, где коэг[1/ ициенты q, fi, j,. . с ,. . . — постоянные комплексные числа, а г — независимое комплексное переменное. Для всякого степенного ряда существует круг с центром в нулевой точке (к-Руг сходимости) и с радиусом R радицс сходимости), внутри которого (т. е. при г / ) ряд расходится. В некоторых точках окружности круга сходимости (т. е. при г = R) ряд может сходиться, в других расходиться. Всякий степенной ряд равномерно сходится в круге j г если r R. Степенной ряд, для которого R > О, изображает непрерывную функцию внутри его круга сходимости. Степенной ряд можно, не меняя его круга сходимости, дифференцировать н интегрировать почленно сколько угодно раз. [c.195]

Общая механическая теория движения тел, когда жидкость, заполняющай всю внешность тела, движется непрерывно и циркуляция по любому контуру равна нулю, разрабатывалась еще В. Томсоном и П. Г. Тетом, Г. Кирхгофом и Н. Е. Жуковским. Плоская задача о потенциальном течении жидкости и задача о силах нри движениях с постоянной циркуляцией рассматривались с помощью теории функций комплексного переменного С. А. Чаплыгиным (1920). Л. И. Седовым (1935) подробно разработана плоская задача, даны формулы для присоединенных масс и вычислены коэффициенты присоединенных масс для профиля Жуковского. Большую часть известных сведений [c.30]

В данном пункте рассматривается итеранионный метод расчета квантованных ДОЭ. Метод по сложжости ж вычиаштельным затратам эквивалентен алж оритму ГС и состоит из следуюш 1х шагов 1) аппроксимация функции комплексного пропускания (ФКП) квантованного ДОЭ непрерывной ФКП 2) градиентный метод для оптимизации непрерывной ФКП, 3) обратный переход к квантованной ФКП. [c.123]

Таким комплексным представлением часто пользуются в теории связи, где V называют аналитическим сигналом ), связанным с К" . Он получил это название потому, что при К , удовлетворяющем определенным общим условиям непрерывности, функции У (г), рассматриваемая как функция комплексной переменной г, аналитнчна в нижней полуплоскости г (см. [351). [c.454]

Фуакцин как векторы. Рассмотрим непрерывную функцию 1) (д), аргумент которой изменяется в ограниченном интервале значений. Мы можем сколь угодно точно задать эту функцию с помощью пронумерованного набора из Л" чисел 1 ) = (д ) (п = 1, 2,.. ., У), разбив интервал изменения д на достаточно большое число отрезков. Будем считать, что эти числа являются декартовыми компонентами некоторого радиуса-вектора в Л -мер-ном пpo тpaIi твe. Обозначим этот вектор символом г))) = = 1131,. , 4 л - Если о з q)— комплексная функция, нам понадобится 2М чисел и измерений. Функции т] д) будет соответствовать колшлексно-сопряженный вектор, который мы обозначим через <а ) [ 1 15>. Различным функциям (д), ф д),.. . будут соответствовать различные наборы чисел, т. е. различные векторы в этом пространстве, называемом гильбертовым. [c.49]

Понятие аналитичности операторной функции комплексного переменного южнo ввести теперь как однозначное обобщение аналогичного понятия для обычной функции комплексного переменного. Требующееся при этом свойство непрерывности всегда понимается как непрерывность по норме, т. е. непрерывность, равномерная относительно выбора векторов, на которые действуют операторы. [c.166]

Предложение 6.2. Пусть В и В - банаховы пространства и пусть F(p) - голоморфная функция комплексной переменной р со эна-чениями из (Bj, в ). Если длярш-р имеем р- р ) В2, В )(т.е. F (Pq) обратим и F UPo) является непрерывным оператором аз [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...