Боголюбова цепочка уравнений

Боголюбова цепочка уравнений 212, 213, 277, 287 Бозе—Эйнштейна статистика 229 Бозе-Эйнштейна распределение 230— 232, 255 [c.308]

Цепочка уравнений Боголюбова для неравновесных функций распределения классических систем [c.96]

Система зацепляющихся уравнений для временных функций распределения ,,( ) называется цепочкой уравнения Боголюбова. Функции определяемые этими уравнениями, и являются [c.99]

Метод решения цепочки уравнений (6.10) для неравновесных функций распределения был развит Боголюбовым на основе существования различных временных масштабов, характеризующих релаксационные процессы в статистических системах. При этом на каждом этапе в процессе приближения системы к равновесию ее состояние определяется различным числом параметров и описывается детерминированным уравнением для соответствующей функции от этих параметров. Действительно, в любом реальном газе существуют три резко разграниченных масштаба времени. [c.100]

Метод Боголюбова в квантовой статистике аналогичен подобному методу исследования классических статистических систем и состоит в введении частичных матриц плотности или статистических операторов комплексов частиц и в установлении цепочки уравнений для этих операторов. [c.101]

Цепочка уравнений Боголюбова (6.10) для неравновесных функций распределения лежит в основе статистической теории неравновесных процессов. Найдем частное решение этой цепочки уравнений для кинетической стадии эволюции неравновесной системы, определяемой кинетическим уравнением вида (6.12) [c.108]

Другой аспект этой проблемы состоит в выяснении вопроса каким образом из обратимого по времени уравнения Лиувилля и эквивалентной ему цепочки уравнений Боголюбова удается получить неинвариантное относительно обращения времени кинетическое уравнение Больцмана, описывающее только необратимые естественные процессы [c.126]

Из всех частичных равновесных функций распределения особо важное значение имеет бинарная функция 5 2(41, Чг) (или р2(Чь Чг)), так как через нее могут быть выражены термическое и калорическое уравнения состояния и другие термодинамические функции изучаемой системы. Таким образом, в методе Боголюбова исследование равновесных систем сводится не к вычислению конфигурационного интеграла, а к решению уравнений для частичных функций распределения, что оказывается в ряде случаев значительно проще. При этом либо используется разложение функций распределения в ряд по малому параметру, либо для получения замкнутой системы s уравнений для этих функций одна из высших функций распределения приближенно выражается через низшие (процедура расцепления, или обрыва, цепочки уравнений). [c.214]

Таким образом, для построения термодинамики систем с парным потенциалом взаимодействия между частицами по методу Боголюбова необходимо определить бинарную функцию распределения как решение цепочки уравнений (12.67). [c.215]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Полагая в цепочке Боголюбова (3.16) последовательно s = 1, 2,. .. и заменяя функциями F и корреляционными функциями согласно (3.39), получим цепочку уравнений для корреляционных функций. Выпишем одно из них [c.56]

Цепочка уравнений Боголюбова 47 [c.440]

Такая цепочка уравнений часто называется цепочкой уравнений Боголюбова. На первый взгляд переход от уравнения Лиувилля к такой цепочке уравнений не приводит к упрощению задачи. Однако в действительности анализ цепочки уравнений Боголюбова может быть проведен проще, чем непосредственное решение уравнения Лиувилля. Это, в частности, связано с тем, что в рассматриваемой нами цепочке уравнений видно, что нужно знать для получения кинетических уравнений. Кроме того, на языке многочастичных функций легче выявлять малость входящих в цепочку уравнений величин. [c.188]

Принципиальным является наличие ряда суш,ественно различных временных и пространственных масштабов. В уравнение Лиувилля или в эквивалентную ему цепочку уравнений Боголюбова входят d- и Я-мас-штабы (масштабы порядка эффективного диаметра молекул d или времени столкновения Тс и длины пробега X или времени между столкновениями т) и вириальный коэффициент nd , где п — числовая плотность молекул. Кроме того, начальные и граничные условия конкретной задачи вводят L-масштаб (характерную длину течения L и характерное время Т). [c.424]

Цепочка уравнений Н. Н. Боголюбова. ... [c.233]

Цепочка уравнений Н. Н. Боголюбова. Как уже отмечалось в пункте 3.1, построение динамики позволяет определить временную эволюцию (Pt, начальной меры Pq=P (см. [c.255]

К вопросу о существовании равновесной динамической системы идейно примыкает вопрос о существовании решения цепочки уравнений Н. Н. Боголюбова (10.44) для начальной моментной функции кр, отвечающей локальному возмущению инвариантного распределения Гиббса (это означает, что мера Р на М, Ж) абсолютно непрерывна по отношению к одному [c.258]

Статья [33] содержит систематизированный анализ результатов о существовании решения цепочки уравнений Боголюбова, полученных с помощью функционально-аналитического подхода. [c.279]

Стационарные решения цепочки уравнений Боголюбова и первые интегралы движения системы классических частиц. Теор. и мат. физ., 1983, 55, № 1, 78—87 [c.281]

Рис. 2.44. Радиальная функция распределения, полученная путем использования цепочки уравнений Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона для системы твердых шаров плотность системы соответствует типичной плотности жидкости (т = 0,45) [86].

Задача 10. Исходя из цепочки уравнений Боголюбова (см. 1, п. в)) получить парную корреляционную функцию Р2(К) с точностью до членов порядка (1/ ) включительно. [c.383]

Задача 12. Построить на основе первого уравнения цепочки Боголюбова интегральное уравнение для парной корреляционной функции 2(Г , гг) = аппроксимируя трехчастичную функцию распределения з(г1, Гг, гз) = 123 с помощью симметризованного по индексам частиц произведения трех двухчастичных функций [c.387]

Первое рассмотрение задач статистической физики методом частичных функций распределения было осуществлено Ивоном [10]. Наиболее полное и плодотворное исследование с помощью функций распределения как для равновесных, так и для неравновесных систем (о чем подробно будет сказано ниже) осуществлено Н. Н. Боголюбовым [11]. В развитие этого направления большой вклад внесли также Борн, Грин [12] и Кирквуд [13]. Поэтому цепочка уравнений для частичных функций распределения получила название иерархии Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (ББГКИ иерархии). [c.212]

Решение общих задач статистической физики сопряжено с большими численными сложностями. Поэтому вначале были рассмотрены так называемые идеальные системы как для классического, так и для квантового случая. Наряду с рассмотрением идеальных систем исследуются и слабо неидельные системы, т. е. системы, свойства которых не сильно отличаются от идеальных. В 1927 г. Урселом впервые получено разложение по степеням плотности (вириальное разложение) [21]. В дальнейшем оно было развито Дж. Майером, который ввел диаграммный метод [22]. Н. Н. Боголюбовым предложен эффективный способ рассмотрения слабонеидельных систем на основе решения цепочки уравнений заложением функций распределения в ряд по степеням соответствующего малого параметра [И]. [c.213]

Проблема исследования систем, когда к ним не применим критерий слабой неидеальности, требовала новых подходов. Одним из них стал метод получения интегральных уравнений для младших функций распределения, полученных на основе расцепления цепочки уравнений с использованием физических допущений. В 1935 г. Кирквуд предлагает суперпозиционное приближение [26], которое приводит к уравнению, наиболее широко используемому в настоящее время в форме Боголюбова [11]. В 1958 г. Перкус и йевик опубликовали полученное ими уравнение [27], которое обладает тем замечательным свойством, чта допускает точное решение для системы твердых сфер. Для описания систем при больших плотностях был развит метод суммирования диаграмм и перенормировок, на основе которого выведено ГПЦ уравнение [28]. [c.213]

В статистическом пределе N oo, У- оо, V/iV = u = Gnst) получаем цепочку уравнений Боголюбова для равновесных функций распределения [c.212]

В применении к газам и плазме уравнения цепочки Боголюбова для функций распределения (15.32) позволяют, как мы видели, ввести соответственно газовый и плазменный малые параметры и находить решение этих уравнений в виде разложения функций распределения по степеням того или другого малого параметра В случае жидкости уравнения (15.32) не допускают выделения малого параметра. Тем не менее наиболее важным является при менение метода функций распределения к построению статистиче ской теории жидкостей. Это достигается другим, отличным от ме тода малого параметра, способом решения цепочки уравнений Бо голюбова. Этот способ основан на обрыве цепочки уравнений когда исходя из дополнительных физических соображений стар шая функция распределения (s>2) аппроксимируется выраже нием, включающим в себя более младшие функции (k[c.287]

Ответ заключается в следующем так как уравнения механики обратимы, то необратимость возникает тогда, когда уравнения механики мы дополняем чуждыми самой механике вероятностными гипотезами. В случае уравнений Фоккера - Планка такой гипотезой является предположение о марковском характере процесса (уравнение Смолухов-ского). В выводе уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова роль такой гипотезы выполняет условие ослабления корреляций (87.17), приводящее к появлению асимметрии по отношению к отражению времени и т. д. Введение подобных гипотез теснейшим образом связано с ролью взаимодействия между частицами (в частности, с ролью столкновений). Оно является фактором, вызывающим направленную эволюцию состояния, которое описывается функцией распределения. Не случайно поэтому, что в кинетических уравнениях, при выводе которых взаимодействием частиц, в частности столкновениями, мы пренебрегаем, необратимость не возникает. Примерами подобных уравнений являются уравнение самосогласованного поля ( 89) и уравнение свободно-молекулярного течения ( 88), обратимость которых без труда обнаруживается. [c.547]

Фактически автор показывает, что бесконечная цепочка уравнений ЬЬГКИ (Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона) имеет решение, удовлетворяющ,ее условию хаоса. — Прим. ред. [c.7]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Отметим, что, наряду с изложенным выше подходом, интенсивно и плодотворно развивается и другой, альтернативный, подход, при котором вопросы о существовании и единственности решения цепочки уравнений Н. Н. Боголюбова решаются с позиций функционального анализа. При таком подходе цепочка уравнений Н. Н. Боголюбова рассматривается как абстрактное эволюционное уравнение. На первом этапе решение строится в банаховом пространстве последовательностей функций, описывающих состояния конечных систем частиц. Затем совершается термодинамический предельный переход к бесконечным системам. Существенную роль здесь, как и в пункте 3.2, играют свойства конечно частичной динамики. Функционально-аналитический подход развивается в работах киевских специалистов по математической физике [В], [9], [27], [32]. Детальный обзор этого направления содержится в недавней статье Д. Я. Петрины и В. И. Герасименко [33], к которому мы и отсылаем читателя за подробностями. Развернутое изложение всего круга вопросов, связанных с современным состоянием задачи о решениях цепочки уравнений Н. Н. Боголюбова, содержится в подготовленной к печати монографии Д. Я. Петрины, В. И. Герасименко и П. В. Малышева. [c.256]

Задача нахождения инвариантных мер ставилась в [12], [76] как задача о нахождении стационарных по времени решений цепочки уравнений Боголюбова, т. е. о нахождении моментных функций, для которых обращается в нуль левая часть уравнений (10.44). Основная теорема [12], [76] утверждает, что внутри описанного класса мер каждое из таких стационарных решений задает моментные функции одного из распределений Гиббса, фигурирующих в опредёлении 4.1. [c.260]

Метод Лэнфорда основан на том, что моментная функция ke(t)=kpi, дающая решение цепочки уравнений И. Н. Боголюбова (10.44) для допредельной системы, разлагается в ряд теории возмущений, сходящийся при достаточно малых t. При этом главным членом разложения служит слагаемое, отвечающее свободному движению частиц, а в качестве малого возмуще- [c.272]

Работа [Ш] содержит обзор математических работ, относящихся к тематике данной главы и опубликованных, в основном, с 1968 по 1975 г. В монографии [23] изложены результаты, развивающие подход, который был предложен в 1], [2]. Обзор последующих результатов в эхам иаправлеиин содержится в [24]. Работы [28], [29] посвящены результатам, связывающим кинетические уравнения с различными типами цепочек уравнений (аналогичных цепочке уравнений Боголюбова), возникающих при описании движения различных физических систем. [c.279]

В работе [73] точно сформулирован предельный переход (предельный переход малой плотности), при котором из уравнений, описывающих движения системы ч-астиц (в частности, из щепочки у рав1вен ий Боголюбова), получается уравнение Больцмана. В статье [85] приведен строгий вывод уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова в ходе предельного перехода малой плотности. [c.279]

Наша ближайшая задача теперь состоит в том, чтобы подтвердить конкретными расчетами те физические особенности системы, которые были выданы только что в виде аванса (в частности, необходимо оценить величину Яо и совершенно кон-хретно, а не в общих словах сформулировать область применимости изложенных выше предстаалений). Мы сделаем это сначала на качественном уровне (сохраняя, естественно, всю идеологию приближения), а затем исследуем возможность использования для получения основных результатов цепочки уравнений Боголюбова. [c.313]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...