Уравнение особой линии

Уравнения (10) и (13) принадлежат к такому типу уравнений, которые решены при помощи метода характеристик в Приложении II. Поэтому мы исследуем характеристики этих уравнений и на основании их свойств получим волны разрежения в установившемся течении (см. [4], стр. 273). Уравнение особых линий будет [c.74]

Тогда уравнение особых линий Z = О или [c.265]

При описании явления отрыва ( 35) уже было указано, что реальное положение линии отрыва на поверхности обтекаемого тела определяется свойствами движения в пограничном слое. Мы увидим ниже, что в математическом отношении линия отрыва есть линия, точки которой являются особыми точками решений уравнений движения в пограничном слое (уравнений Прандтля). Задача состоит в том, чтобы определить свойства этих решений вблизи такой особой линии ). [c.231]

В этой полосе для монотонных положительных изотерм расклинивающих давлений П(/г) векторное поле имеет две особые точки, лежащие на оси и = О с абсциссами, определяемыми из решения уравнения (2.1) (см. рис. 2.1). Также имеются две особые линии h = О я h = R. Первая особая линия возникает из-за того, что, по предположению, расклинивающее давление стремится к бесконечности с уменьшением толщины пленки. Аналогично, при толщине пленки, близкой к радиусу капилляра, лапласовское давление стремится к бесконечности. [c.42]

Оболочки вращения знакопеременной гауссовой кривизны могут быть двух видов. К первому из них относятся оболочки типа тора, у которых кривизна на некоторой особой линии меняет знак (точка Л на рис. 11.4а). Построение асимптотических решений уравнений статики, динамики и устойчивости таких оболочек явилось предметом многочисленных исследований (см., например, [1, 55, 87, 136]). Особо отметим работу [c.229]

Из уравнений (1.9) и (1.10) ясен физический смысл Г-интеграла он представляет собой поток энергии через контур интегрирования. В особых точках и особых линиях поля происходит сток энергии из системы по механизмам, не описываемым принятыми уравнениями физического поля. [c.12]

Позади анализатора могут быть установлены три характеристических вида линий изохроматы, изоклины и сингулярные (особые) линии. Эти три вида линий получаются как решения уравнения амплитуды колебания света, выходящего из анализатора [c.256]

Наклон / отвечает некоторому конусу К (рис. 92) (он также есть конус характеристик). Раствор продольного конуса К будет различен для различных интегральных кривых (различных точек В ). Течение этого типа можно построить (и параллельно построить соответствующую обтекаемую поверхность), отправляясь от оси 1 =1 О и задавая скорость г/ . Затруднением, однако, является то, что линия = О является особой линией для уравнения (27.4) и такой, что через каждую точку Ах оси проходит бесконечное множество интегральных линий и кривизны [c.238]

Первое условие определяет отсутствие в потоке вихрей и, следовательно, наличие безвихревого, т. е. потенциального движения. Второе условие известно как уравнение линии тока (П. 15), а третье — как уравнение вихревой линии. Следовательно, уравнения потенциального движения применимы к отдельным линиям тока и вихревым линиям в любых движениях. Четвертое условие характеризует винтовое движение жидкости. Следовательно, уравнение Д. Бернулли может быть распространено и на особый вид движения жидкости, в котором вихревые линии совпадают с линиями тока (винтовое движение). [c.433]

Так как правая часть первого из уравнений (13) имеет множитель х, а вторая по предположению не имеет, то ось ж = О не является особой линией, но состоит из траекторий системы, причем состояния равновесия системы па этой оси изолированные (в силу предположения об аналитичности правых частей, см. главу IV, введение). [c.392]

Структура плоскости V, Z). Картина расположения особых линий уравнений (2) и (3) на плоскости ) (нули числителя и знаменателя) [c.207]

Уравнение (28 ) показывает, что если исключить особые линии, Li и 2, Z будет периодической функцией времени. Обозначим. период через 2Ti и положим Wi = Тогда из уравнения [c.576]

Рис.17. Поверхность жидкости и линии тока на глубине 0.25, 0.5, 0.75 для волн, длина которых равна двум, одной и половине глубины бассейна. Отношение амплитуды волны на поверхности к длине во всех случаях одинаково. Основное отличие от предыдущей задачи состоит в том, что траектория частицы на поверхности из окружности превращается в эллипс. Не представляет особых затруднений, записав необходимые формулы с экспонентами для амплитуд а и e на некоторой глубине у, получить уравнение для линии тока на этой глубине. Чтобы не перегружать изложение избыточными деталями, не станем приводить эти несколько громоздкие формулы, а просто изобразим результаты расчетов на графиках на рис.17. При углублении в жидкость вертикальные перемещения частиц для длинной волны затухают значительно быстрее, чем горизонтальные, и на дне перемещения по вертикали вообще обращаются в нуль. Короткие волны, длина которых меньше глубины бассейна, быстро затухают на глубине порядка длины волны и разница между перемещениями по горизонтали и вертикали для них исчезает.

Уравнение (5.7) — это уравнение для линии тока х]/ = О, представляющей собой окружность с центром в начале координат и проходящей через точки А и В. Заметим, что точки А я В являются особыми точками в них пересекаются две линии тока, одна из которых представляет собой окружность, описываемую уравнением (5.7), а вторая — прямую линию у = О (т.е. ось х), которая также является линией тока. [c.78]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Отметим, что и 6о те же самые, что и в предыдущем случае. Особые точки и линии системы уравнений (5.131) определяются из уравнений [c.209]

Найдем условия несущественности учета малого параметра. Как уже ранее было сказано, точки линии Q х, у) = О являются состояниями равновесия (особыми точками) уравнений быстрых движений, поэтому поведение траекторий быстрых движений вблизи линии Q (х, у) = О полностью определяется характером этих состояний равновесия. Перепишем уравнения быстрых движений (6.17) в виде [c.227]

Отсюда следует, что если Q y < О, то точки линии Q (х, г/) = О являются устойчивыми особыми точками для приближенных уравнений быстрых движений и все траектории быстрых движений входят в область медленных движений. Следовательно, условием несущественности малого параметра является условие < О ) При Q y > О точки линии [c.227]

Линия Q (ф, ф) = —сф + М (Q — ф) представлена на рис. 6.9. Особая точка уравнений (6.18) определяется из уравнений [c.230]

Обратим внимание на то, что линии тока не могут пересекаться ни в одной точке, где скорость не равна нулю или бесконечности (теоретически допускается сколь угодно большое значение скорости в отдельных точках). Действительно, если бы две линии тока пересекались в одной точке, где скорость конечна, то это означало бы, что частица, находящаяся в этой точке в один и тот же момент времени, имеет две разные скорости, что физически невозможно. Если же в данной точке я = О или =оо, то через нее может проходить несколько или даже бесконечное множество линий тока. Такие точки называются критическими. Они являются особыми точками дифференциальных уравнении линий тока. [c.32]

Прежде чем исследовать тип этих особых точек, отметим, что на плоскости Vip можно выделить так называемую звуковую линию, или линию бесконечных градиентов, которую обозначим через тп и вдоль которой выполняется условие Д(у1, р) = 0. Каждой точке этой линии соответствует точка в плоскости хр пли xvi с бесконечными значениями градиентов параметров (рис. 4.4.2). Исключение может представить та точка на тп, где, кроме А = О, реализуется Ар = 0. Эта точка будет особой точкой уравнения (4.4.23), так как ей соответствует P=V = 0. На рис. 4.4.2 эта точка отмечена буквой t. [c.342]

Особый интерес представляет выяснение физического смысла уравнения Бернулли. Будем рассматривать частицу жидкости, имеюш,ую массу 8т, которая движется по линии тока S—S (рис. 3.10), Определим величину полной энергии, которой обладает частица в сечениях 1—I и //—II. [c.79]

Особый интерес представляет выяснение физического смысла уравнения Бернулли. Будем рассматривать частицу жидкости, имеющую массу 8т, которая движется по линии тока 5 — S (рис. 78). [c.116]

В сопротивлении материалов приняты следующие обозначения и определения для проекций векторов Q и М Q i = N -осевая сила, направленная по касательной к осевой линии стержня Qyi, Qj. - перерезывающие силы М / = Мк - крутящий момент Myi и M i изгибающие моменты. Уравнения равновесия конечной части стержня позволяют наглядно представить связь между внешними и возникающими при нагружении внутренними силами. Если считать стержень (в более общем случае конструкцию) абсолютно жестким и прочным, как это принято в теоретической механике, то внутренние силы особого интереса не представляют. Считая конструкцию абсолютно жесткой ( не деформируется) и абсолютно прочной (не разрушается), предполагают, что конструкция может выдержать любые нагрузки. [c.20]

Выраже11ия (186) и (187) являются полярными уравнениями двойной Линии Мюнгера, причем уравнение (186) представляет для нас особый интерес, так как позволяет рассматривать эту кривую как конхоиду розы. [c.159]

В плоском случае, то есть если в уравнении (2.7) устремить радиус капилляра к бесконечности, мы придем к фазовому портрету типа, изображенного на рис. 2.2 в, с той лищь разницей, что особая линия h = R переносится в бесконечность. При этом петля сепаратрисы, замыкающаяся в бесконечно-удаленной точке, описывает мениск в щели (Philip, 1977 Неймарк и Хейфец, 1981). Для плоского случая периодических решений не существует, однако одиночные капли и линзы, описываемые траекториями внутри сепаратрисы как слева от особой точки, так и справа от нее, соответственно, сосуществуют в неравновесных условиях, описанных выше. [c.45]

Все Ф301КЦИИ, участвующие в уравнениях (1.1)—(1.4), предполагаю1ся непрерывно дифференцируемыми всюду, за исключением фронта трещины, который представляет собой движущуюся особую линию, где эти уравнения не имеют смысла. Целью теории является изучение законов движения этой линии. [c.8]

Здесь величина Г, как обычно, обозначает основной локальный параметр, контролирующий движение особой линии (см., например, формулы (1.12) (1.14) первой главы), а именно, составляющ)оо на нормаль kL в плоскости Х1Х2 локальной интенсивности инвариантного Г-интеграла, приходящейся на единицу длины особой линии L. (В правой части уравнений (3.8) стоят компоненты нормали к контуру L на плоскостиXiX2,2lb левой компоненты нормали к поверхности S .) [c.148]

Обнаружена глубокая аналогия между трехмерным пограничным слоем (или энтропийным слоем) на режимах взаимодействия и двумерным невязким сверхзвуковым потоком. На хо лодных телах и в следе уравнения пограничного слоя, кроме поверхностей тока, обладают еще двумя семействами характеристик (как сверхзвуковой поток), ограничивающих области переда чи возмущений. Для докритического режима аналогичного дозвуковому потоку решение вблизи передней кромки содержит произвольную функцию, которая может определяться из условий на особой линии, аналогичной звуковой линии невязкого потока. Получены уравнения характеристик и звуковых линий, условия отпирания и запирания возмущений. Исследованы, в частности, закритические течения на треугольном крыле с докритиче скими и закритически ми передними кромками. (Аналогия с дозвуковыми и сверхзвуковыми передними кромками для крыла в сверхзвуковом потоке невязкого газа.) [c.306]

Используем общие определения параграфа 2 применительно к векторному соленоидальному полю завихренности и. Тогда из общих свойств векторных полей на основании теоремы Стокса (1.8) следует, что циркуляция Г по любому замкнутому стягиваемому контуру равна алгебраической сумме интенсивностей к всех вихревых трубок, пересекающих поверхность, ограниченную этим контуром. Это справедливо и в частном случае вихревых трубок бесконечно малого поперечного сечения — вихревых нитей. Обратим внимание на то, что понятие вихревая нить и вихревая линия отличны. Вихревая нить — это особая линия в распределении поля завихренности, полностью определяемая значением интенсивности к. В свою очередь — вихревая линия — это линия, касательная к которой в каждый момент времени совпадает с направлением мгновенной оси вращения жидких элементов. Применительно к описанию вихревого движения термины вихревые линии и нити ввел Г. Гельмгольц в (135). Он сформулировал основные свойства интегралов гидродинамических уравнений второго класса (так были названы течения, содержащие отличную от нуля завихренность в отличие от полностью потенциальных течений, весьма детально к тому времени изученных). Сформулированные в виде трех положений, эти свойства в дальнейшем названы законами или теоремами Гельмгольца для в 1хревого движения. Более столетия они встречаются в различных интерпретациях практически во всех учебниках по механике жидкости. Приведем эти законы в формулировках Г. Гельмгольца [c.34]

Следовательно, график зависимости у от t представляет собой прямую линию (рис. 10.2). Это уравнение справедливо, когда скорость реакции на поверхности раздела постоянна, например, когда среда проникает к поверхности металла через трещины и поры в оксидной пленке. Для таких металлов обычно уИрм//гтро < 1. В особых случаях, когда скорость лимитирующей реакции постоянна как на внутренней, так и на внешней фазовой границе пленки продуктов коррозии, линейное уравнение может быть справедливо и при MpJnmpoK > 1- Например, вольфрам, окисляясь при 700—1000°С согласно параболическому уравнению, образует внешний пористый слой WO3 и внутренний плотный слой неизвестного состава [10]. Когда скорости образо- [c.192]

При кинематическом исследовании механизмов с трехповодковыми группами, состоящими из базисного звена и трех поводков, уравнения, составленные для произвольно выбранных точек, непосредственно решить нельзя. Поэтому выбирают на базисном звене 3 точки, которые получили название особых (рис. 3.18, а). Они находятся на пересечении осевых линий двух поводков или перпендикуляров к осям ползунов. Например, особая точка W находится на пересечении линии ЕН поводка 5 и перпендикуляра WB к направляющей ED ползуна 2 (второй поводок) (рис. 3.18, а). Следовательно, для каждой трехповодковой группы на базисном звене существуют три особь(е точки. На рис. 3.18, а особые точки обозна-4efHji буквами И/, W и W". При кинематическом анализе достаточно найти параметры только одной особой точки, например W. Смысл выбора этих точек, например заключается в том, чтобы добиться одинакового направления скоростей относительного дви-м<ения двух точек, для которых записывается векторное уравнение. Например, направление скорости vu для звена 2 совпадает с осг [c.86]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

Отметим, что особыми точками системы (6.17) будут точки пересечения линий х = х = onst с кривой Q х, у) = О Таким образом, уравнения (6.14) оказываются непригод ными для описания движения динамической системы. Урав нения (6.14) могут отражать движение системы только в ма лой окрестности (порядка ц) линии Q (х, у) = О, где х к у остаются конечными. Эти движения называются медленными движениями, а указанная малая окрестность линии Q (х, у) = О областью медленных движений. [c.226]

Как было уже сказано, особыми точками этих уравнений являются точки пересечения прямых х = onst с линией Q (д , у) = 0. Следовательно, эти точки пересечения разбивают прямые X = onst на траектории быстрых движений. Если при достаточно больших у знак функции Q (л-, у) противоположен знаку у, то траектории быстрых движений идут из бесконечности и от участков линии Q (х, у) = О, где Q y> О, к тем участкам линии, где Qy < 0. го означает, что медленные движения системы, когда х и у ограничены в течение конечных интервалов времени при О, будут происходить только в малых окрестностях (порядка [х) участков Q х, у) = О, Q х, у) < О, т. е. будут приближенно отображаться уравнениями вырожденной системы [c.228]

Если звуковая линия тп в плоскости v,p проходит над точкой о, имеющей координаты vo, 1) и соответствующей начальному равновесному (см. рис. 4.4.2, а) состоянию, то стандартным исследованием дифференциального уравнения (4.4.20) можно показать, что one есть узловые особые точки, а упомянутая точка t есть седловая особая точка. Прп этом любая пеирерывная кривая, соединяющая точки о и е, должна пересечь тп, а в плоскости хр ей будет соответствовать опрокинутая [c.342]

Доказательство существования или отсутствия непрерывного решения для структуры волны i случае Do > f, когда интегральная кривая пересекает звуковую линию в особой точке, в которой Д 1 = Д 2 = Др1 = А = О, связано с исследованием системы из шести независимых дифференциальных уравнений. Этот вопрос здесь обсуждаться не будет, так как случай D > С/ при заметных объемных концентрациях пузырьков 2 10 может осуществиться только в ч11езвычайно сильных ударных волнах, когда необходим учет дробления пузырьков, фазовых переходов и других физико-химических процессов, т. е. необходимо [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...