Условия несущественности малого параметра

Отсюда следует, что если Q y < О, то точки линии Q (х, г/) = О являются устойчивыми особыми точками для приближенных уравнений быстрых движений и все траектории быстрых движений входят в область медленных движений. Следовательно, условием несущественности малого параметра является условие < О ) При Q y > О точки линии [c.227]

Строгое доказательство условий несущественности малых параметров для системы уравнений [c.227]

Перейдем к выводу аналитических условий несущественности малого параметра (л. [c.250]

Условия несущественности малого параметра [c.250]

Если для точки М Р все 5 корней этого уравнения имеют отрицательные действительные части, то Л/е /. Если же для всех точек М подпространства Р х,у) = О все 5 корней уравнения (13.6) имеют отрицательные вещественные части, то все точки подпространства /суть устойчивые состояния равновесия для приближенных уравнений (13.4) быстрых движений и в этом случае малый параметр Ц несуществен (но только в этом случае). Таким образом, условия несущественности малого параметра можно сформулировать в терминах линейной теории устойчивости, например в виде условий Гурвица для уравнения (13.6). [c.251]

Условие несущественности малых (паразитных) параметров. В зависимости от того, как идут фазовые траектории быстрых движений вблизи и -мерного подпространства F, возможны два основных случая. [c.748]

Для получения аналитических выражений для условий несущественности малых (паразитных) параметров, учтенных при составлении уравнений (10.15), заметим, что точки л -мерного подпространства F(x y) = 0 являются состояниями равновесия для приближенных уравнений быстрых движений (10.17) и поэтому поведение траекторий быстрых движений вблизи подпространства F (например, на расстояниях порядка л, (0< а< 1) от этого подпространства) полностью определяется характером (устойчивостью) этих состояний равновесия. Введем новое, быстрое время [c.749]

Если все 5 корней характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части при любых х, у, удовлетворяющих уравнениям Р (л у) = О, то точки подпространства Р являются устойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений быстрых движений (10.17) и все траектории быстрых движений вблизи подпространства Р входят при возрастании t в малую окрестность последнего. Следовательно, в этом (и только в этом) случае малые паразитные параметры, учтенные при составлении уравнений (10.15), не являются существенными, по крайней мере, для процессов, начинающихся из состояний, совместных с приближенными уравнениями <и.медленных движений (10.16) ). Таким образом, условия несущественности малых (паразитных) параметров могут быть сформулированы, например, в виде условий Раута — Гурвица [95, 99] для уравнения [c.750]

Нетрудно видеть, что сформулированное условие несущественности малых паразитных параметров (10.19) выполняется, в частности, для рассмотренных выше ЯС- и / -контуров (рис. 502 и 503)г по отношению к паразитной индуктивности 0 (в С-контуре) и к паразитной емкости С (в Я1-кон-хуре). Рассмотрим для примера еще раз С-контур (рис. 502) с малой паразитной индуктивностью 0- После введения безразмерного времени [c.751]

Б) Возможен и другой случай, когда условие несущественности малых паразитных параметров ке выполняется, по крайней мере, иа [c.751]

Иная картина получается нри ЛГ 1. В этом случае, как нетрудно видеть, состояние равновесия (О, 0) неустойчиво как при учете паразитных параметров (при х О), так и при пренебрежении ими (при х = 0). Теперь на фазовой линии Р вырожденной модели имеется отрезок — л л х (х О — единственный корень уравнения 1 -(- /С<р (- ) = 0). на котором условие несущественности малых паразитных емкостей не выполняется на этом отрезке [c.775]

Найдем условия несущественности учета малого параметра. Как уже ранее было сказано, точки линии Q х, у) = О являются состояниями равновесия (особыми точками) уравнений быстрых движений, поэтому поведение траекторий быстрых движений вблизи линии Q (х, у) = О полностью определяется характером этих состояний равновесия. Перепишем уравнения быстрых движений (6.17) в виде [c.227]

На основании этой же аналогии мы можем утверждать, что те же малые паразитные емкости и индуктивности являются несущественными, второстепенными параметрами для колебаний в контурах при начальных условиях, совместных с соответствующими уравнениями первого порядка. [c.79]

Однако малая индуктивность уже является параметром, существенным для процессов в схеме. В самом деле, фазовой линией схемы без индуктивности является (на плоскости г, а) характеристика дуги — линия и = ф (г), и условие несущественности сколь угодно малой индуктивности оказывается невыполненным на всем падающем участке этой характеристики, так как там [c.753]

Строгое доказательство сформулированного условия несущественности малых параметров в уравмниях (10.15) читатель может найти в работах И. С. Градштейна и А. Н. Тихонова [49, 50, 119]. [c.750]

В соответствии со сказанным получаем (для / - О ) разбиение фазовой плоскости на траектории (рис. 13.10) и графики изменения угла ф и скорости о (рис. 13.11). На рис. 13.10 кривая F= До, ф) = О построена по уравнению (13.11) с учетом зависимости М= M(Q,-(a) (см. рис. 13.9.) Участки F и F на линии Дсо, ф) = О находятся без труда. В самом деле, участки F - это совокупность точек на линии F=0, где выполнено условие несущественности малого параметра, т.е. где dFIdd) < О, а для участков F должно быть dF/d > 0. Из (13.11) находим, что [c.254]

Линеаризованная задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была впервые правильно поставлена и решена Л. И. Седовым (1937). Им дан метод решения плоской задачи о глиссировании для любых чисел Фруда. Для больших значений числа Фруда получены асимптотические формулы для формы свободной поверхности и для гидродинамических сил, причем показано, что для больших чисел Фруда влияние весомости жидкости несущественно. Особенностью решения задач с тяжелой жидкостью является то обстоятельство, что в соответствии с граничным условием (5.2) в верхнюю полуплоскость можно путем зеркального отображения продолжить функцию Келдыша / (г). Комплексный потенциал ю (г) продолжается в верхнюю полуплоскость более сложным путем, и поэтому задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости больше не сводится к задаче о крыле. Числовые расчеты по методу Л. И. Седова были выполнены Ю. С. Чаплыгиным (1940). Методом Л. И. Седова был решен также частный пример о глиссировании дужки круга (М. И. Гуревич, 1937). В дальнейшем задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была решена методом Фурье Л. Н. Сретенским (1940) ) и методом решения интегрального уравнения путем разложения решения по малому параметру Н. Б. Ко-чипым (1938). Задачу о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины рассмотрел М. Д. Хаскинд (1943). [c.13]

Разрывные колебания [61, 94, 105, 114, 158, 159]. Весьма интересным, особенно для теории систем с разрывными колебаниями, является тот случай, когда -мерный образ F Р х у) = 0 —- фазовое пространство вырожденной модели системы, построенной при пренебрежении всеми паразитными параметрами, распадается на две части на часть F, в точках котброй условие несущественности тех или иных малых (паразитных) параметров выполняется (все корни характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части), и на часть F , где это условие не выполнено. Тогда только малая 0( 1.)-окрестность подпространства F (в полном я-мерном фазовом пространстве лг, у) является областью медленных- движений изображающей точки только там скорости изменения состояния системы (т. е. х я у остаются ограниченными в течение конечных иптервалов времени при л. 0. Поэтому, если рассматриваемые паразитные параметры достаточно малы (т. е. если л< 1), мы можем пользоваться для описания медленного движения изображающей точки вблизи приближенными уравнениями медленных движений системы— уравнениями (10.16), совпадающими с уравнениями вырожденной системы, а само движение можем считать происходящим (также приближенно) в пределах этой части F подпространства F х у) = 0. [c.753]

Величина if названа сплошностью, учитывая те значения, которые она приобретает в отмеченных выше крайних случаях. Аналогично тому, как при вязком разрушении наступает момент потери устойчивости равномерного растяжения и возникает шейка, в условиях малых значений г ), а именно —при г] = г 3о>0, рассеянный характер разрушения становится неустойчивым, и происходит глобальное разрушение образца. Однако, как Н. Дж. Хофф при определении 4р не учитывал образования шейки, так и Л. М. Качанов в упрощенном варианте теории относит [разрушение не к г1)о>0, а к г ) = 0. При этом, как и в случае вязкого разрушения, отрезки времени от начала нагружения до ip = -i Jo и до г(5 = 0 отличаются несущественно. Л. М. Качанов делает еще одно существенное предположение— связывает хрупкое разрушение с возникновением трещин, которые образуются при достижении максимальным растягивающим напряжением определенной предельной величины. Учитывая это предположение и ожидаемый характер изменения параметра ip, Л. М. Качанов для его определения предложил следующее уравнение [c.585]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...