Формула для конечных разностей

Конволютные винтовые поверхности 299 Конечные приращения — Формулы 141 -- для функции нескольких переменных— Формулы 145 Конечные разности простейших функций 301 [c.552]

Зависимость (9-38) позволяет находить значение функции 0 во всех внутренних точках области, но ею нельзя воспользоваться для определения функции 0 в точках, лежащих на границе или вблизи нее. Для определения температуры в точках у границы выделим на области существования функции 0 точки с координатами i+b, i + i, г-ЬЗ, i + 2, i-fl, i. Применив формулу. Ньютона для конечных разностей, найдем [Л. 67] [c.351]

Для конечной разности порядка т имеем формулу [c.246]

В области вязкопластических деформаций (область I) решение строится численно методом сеток характеристик с использованием соотношения вдоль характеристик (20.4). Дифференциалы, входящие в эти формулы, заменяются конечными разностями. Рекуррентные формулы для приближенных значений парамет-)ов решения в точке Р 1, т, п) (рис. 69) имеют следующий вид 10, 46] [c.180]

Для углового ребра необходимо дважды составлять дифференциальные уравнения один раз, полагая, что угловое ребро принадлежит одной грани, второй — другой грани, приравнивая левые части этих уравнений. Чтобы в уравнения не вовлекались перемещения углового фиктивного ребра, следует при вычислении производных в конечных разностях пользоваться формулами [c.356]

Полученные операторы симметричны относительно их центра и соответствующие им формулы называют центральными конечными разностями. Путем соответствующего интерполирования можно получить односторонние выражения для про- [c.231]

Особенно эффективным оказывается метод конечных разностей при применении электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ). Метод конечных разностей требует многократного циклического повторения расчетов по одним и тем же формулам для каждого интервала. Он сводит решение задачи к выполнению простейших арифметических действий. Такими возможностями как раз и обладают ЭЦВМ. [c.65]

Коэффициент гидравлического трения X в формулах Дарси легко определяется опытным путем. Для этого достаточно измерить разность пьезометрических отметок (для газов — разность давлений) в двух сечениях испытываемого трубопровода и среднюю скорость течения. В результате обобщения огромного экспериментального материала удалось установить, что Я в конечном итоге является функцией двух безразмерных параметров числа Рейнольдса Re, учитывающего влияние скорости и вязкости жидкости, а также размеры самого трубопровода, и относительной шероховатости где k — линейная величина, характеризующая влияние стенок. Таким образом, [c.157]

Для получения расчетных формул при численном интегрировании в настоящее время широко пользуются методом тепловых балансов и математическими операциями при замене в дифференциальных уравнениях производных функции конечными разностями. [c.107]

Путем суммирования удлинений элементарных участков в зоне опережения и составления балансового уравнения в конечных разностях выведена формула для подсчета опережения s [c.39]

Вторую разность для h — 0,02 можно принять постоянной. Если Д, и д — конечные разности при Ах — h то по интерполяционной формуле Ньютона получим [c.257]

Привести уравнение в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям можно не только заменой производной по одному из направлений конечными разностями, но и, например, интегрированием по этому направлению. Если при этом подынтегральные функции выразить с помощью различных интерполяционных формул через их значения в узлах интерполяции, то исходное уравнение сведется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль кривых, на которых расположены узлы интерполяции. На этом основан метод интегральных соотношений, предложенный академиком А. А. Дородницыным [Л. 60] и нашедший широкое применение для решения нелинейных задач аэродинамики на ЭВМ [Л. 61]. [c.90]

Вывод расчетной зависимости. Для получения расчетной формулы необходимо заменить дифференциальное уравнение теплопроводности (2-31) соответствующим уравнением в конечных разностях. С этой целью в пластине строим пространственную прямоугольную сетку рядом плоскостей, параллельных коор 54 [c.54]

Для получения расчетной формулы перейдем от дифференциального уравнения (2-54) к уравнению в конечных разностях. С этой целью воспользуемся рядом Тейлора для трех независимых переменных. Используя ряд Тейлора, найдем значения температуры в точках сетки г, в, б, а, е и д [c.68]

Если в выражении (V. 5) заменить разность паросодержаний по формуле (V. 3), то можно получить формулу для Q как функцию только конечной температуры процесса при известном начальном состоянии смеси [c.66]

Дальнейший расчёт возможен, если известно распределение электрич. и магн. полей. При заданных краевых условиях поля вычисляются с помощью ур-ния Лапласа или с помощью ур-ния Пуассона при учёте влияния пространственного заряда. Аналитич. решение найдено лишь в нек-рых простейших случаях. Поэтому для аппроксимации экспериментально измеренных полей предложен ряд функций. Однако большинство задач решается численными методами с помощью ЭВМ. Широко используются методы сеток с прямоугольными (метод конечных разностей) и с треугольными (метод конечных элементов) ячейками. В обоих случаях вычисляют потенциалы при помощи сетки, наложенной на рассчитываемую область поля, включая границы, и формул, связывающих потенциал текущей точ- [c.546]

Решая дифференциальное уравнение (7) известным методом конечных разностей для области эндотермического эффекта, получаем расчетную формулу для определения эффективного коэффициента температуропроводности а м час) [c.361]

Формулы для параметров -сетки, как в [3, 4], получены следующим образом. Записываем уравнение в конечных разностях, аппроксимирующее дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных, и уравнение, полученное по закону Кирхгофа, для цепи, сходящейся в узел. Для аналогий необходимо, чтобы величины сопротивлений — параметры -сетки, входящие в уравнение закона Кирхгофа, соответствовали коэффициентам, стоящим при членах конечно-разностного уравнения теплопроводности. [c.401]

Для сечений кривого стержня, отличающихся от прямоугольного, можно найти значения г и г/о в таблицах, помещенных в разного рода справочниках. Впрочем, при наличии современной ЭВМ численное определение т по формуле (18.9), записанной в конечных разностях, не представляет большого труда. [c.321]

Считая 3,, постоянным н записывая н конечных разностях, получим формулу для объема [c.12]

Работа Майкельсона [40] в контексте нашего обсуждения является настолько, можно сказать, проясняющей и важной в применении к современным проблемам, что полезно иметь четкое представление о ее содержании. Важное вводное утверждение по сути вопроса состояло в следующем Общая формула для видности полос, обусловленных интерференцией двух пучков света от неоднородного источника с переменной разностью путей такая же, как и для источника конечного размера с переменным параллаксом . ( Однородный следует понимать как монохроматичный.) [c.135]

В выражении для потенциальной энергии деформации интегралы заменяются приближенными конечными суммами, основанными на схеме расчетной конечно-разностной сетки, покрывающей поверхность пластинки. Далее, используя формулы для стандартных конечных разностей с неравномерными интервалами, общую потенциальную энергию деформации пластинки окончательно выразим в квадратичной форме F через конечные разности для перемещений га " у [c.116]

Выражения (6.28) и (6.29) представляют первую и вторую производные через конечные разности. Эти выражения называются центральными. разностями, поскольку они. содержат ординаты, относящиеся к точкам, лежащим по обе стороны от точки г. Можно также получить выражения, содержащие (помимо ординаты в точке i) ординаты, относящиеся к точкам, которые расположены или только справа, или только слева от точки i, Такие выражения называются разностями для интерполирования соответственно вперед или назад. Кроме того, в конечно-разностной форме можно представить и производные порядка выше второго. Однако конечно-разностных формул, приведенных выше, будет достаточно для определения прогибов балок ). [c.234]

Для Р = п Р ь1Й и второй члены этой формулы обращаются в оо, но разность этих членов стремится к конечному пределу. Положив — Р = , найдем для этой разности [c.209]

Остальные радиусы Р для конечных положений узла определяются как разность между Н ,акс и остальными Ь, т. е. по формулам [c.157]

По номограмме на рис. 178 можно определить время т, необходимое для прогрева полиэтиленовых пластин толщиной Ь от начальной разности температур А4 (между температурой греющей плиты и температурой в середине пластины) до конечной разности при контактном двустороннем обогреве слоя. Номограмма составлена [92] по формуле [c.184]

Для интервала времени О г 1 ускорения и скорости выражаются формулами (10.22). Учет непрерывности скорости в момент 4 = 1 приводит к выражениям (10.23). Скорости в точках з, з, 4, выражаются формулами (10.24). Уравнения движения в конечных разностях и безразмерной форме составляются для узлов разностной сетки и промежуточных точек по времени х 2, 2-з> 5-6, а также для точки 1. Ускорения в эти моменты времени выражаются формулами (10.25). [c.341]

Использование схемы центральных конечных разностей приводит в направлении х к погрешности обрыва процесса порядка (Ах) , а в направлении у — к погрешности порядка (Аг/)2, т. е. получается уравновешенная система. Поэтому применим для нашего расчета именно такую схему. Необходимые формулы для конечноразностных отношений можно найти в любом руководстве по численному анализу, см., например, р ]. [c.188]

Решение задачи методом конечных разностей приводит к следующей формуле для критического давления [1] [c.172]

В результате решения задачи по методу конечных разностей для случая, когда усеченная оболочка по меньшему основанию защемлена, а по большему — шарнирно оперта, получается следующая формула для верхнего критического давления [1] [c.172]

Остальные радиусы R для конечных положений узла определяются как разность между / макс и остальными , т. е. пе формулам [c.163]

Однородная атмосфера. Предположение, что плотность атмосферы не зависит от давления и, следовательно, от высоты, конечно, не соответствует действительности и допустимо только в целях получения приближенных формул для небольших разностей высот. В частности, такое предположение означало бы неустойчивость равновесия воздуха Предполагая v— = onst., получаем из равенства (1) [c.34]

Можно произвольно увеличить число учитываемых в расчетах соседних узлов, повышая тем самым точность вычислений. Поскольку формулы тем сложнее, чем больше число учитываемых узлов, это число не должно быть слишком большим. Наиболее часто используется девятито-р(2) Ы чечная формула, которая ос-Рис. 39. К выводу девятиточечных новывается на учете восьми формул метода конечных разностей. узлов ПЛОСКОЙ решетки, ближайших к произвольному узлу, вместо четырех (рис. 39). Поскольку в трехмерных расчетах нам пришлось бы в этом случае рассматривать 26 узлов вместо шести, этот подход практически может быть использован лишь в двумерных задачах. В дальнейшем мы выведем девятиточечные формулы как для плоских, так и для аксиально-симметричных полей. [c.148]

Так как при вычислениях используется формула численного интегрирования наклонной строки с учетом конечных разностей третьего порядка, необходимо иметь по крайней мере четыре значения производнойВ начале вычислений имеется только одно значение производной в точке Ко, определяемое по (12.42) при условии, что для = о значение X, = 0. Для определения недостающих значений можно использовать, в частности, способ последовательных приближений, который заключается в уточнении полученных значений функций и их производных в первых точках. Расчеты производятся в следующем порядке. [c.691]

Приближенные формулы для других узких сечений и сравнения с более точными результатами, полученными с использованием метода конечных разностей, дал Картер (W. J. arter, J. Appl. Me h. 25, 115—121 (1958)), [c.369]

В отличие от энергетических установок в ЭХТС наряду с машинами имеется очень много технологических аппаратов, в которых, как известно, никакой райоты не производится. Однако в этих аппаратах имеются большие потери на необратимость конечная разность температур, протекание химической реакции и т. д. В рассматриваемом методе термодинамического анализа они учитываются при определении эффективного к. п. д. анализируемой установки. Однако определение этих потерь связано с большими трудностями и поэтому при термодинамическом анализе ЭХТС методом циклов очень важно оценить эффективность работы всех ее элементов — и машин и технологических аппаратов, подсчитав для каждого из них потерю на необратимость по формуле (1.207). [c.71]

Формула для величины сдвига представляет собой небольшое обобщение формулы (24). Для тела с первоначально искривленными параллельными волокнами можно представить себе такое состояние деформации, при которой все волокна распрямлены и расположены вдоль прямых 0 = 0. Пусть У—ла-гранжева координата, постоянная вдоль каждого волокна ее можно отождествить с декартовой координатой частиц распрямленного волокна. Тогда величина сдвига при переходе от начального состояния к конечному равна величине сдвига при переходе от начального состояния к промежуточному (с распрямленными волокнами), т. е. — (0о + fi) плюс величина сдвига при переходе от промежуточного состояния к конечному (B + foj-Обозначая разность /г —fi через f Y), имеем [c.326]

В основу используемого в настоящей работе графического метода А. В. Башарина положено применение формулы трапеций для интегрирования дифференциальных уравнений, представленных в конечных разностях, т. е. метод основан на применении известной формулы [c.68]

Для квадратичной аппроксимации прочих характеристик ГЭС на основе разложения в ряд Тейлора требуется вычислять частные производные t Xo), f" Xo), К(Хо, Уо), f yiXo, Уо) и др. На ЦВМ эти частные производные удобно определять по конечным разностям методом численного дифференцирования. Формулы для подсчета частных производных этим методом следующие [c.34]

Защемленные или свободные по контуру пластины. Точного решения для данного случая в замкнутом виде получить не удается. Здесь можно применять различные приближенные подходы вариационные методы (Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина. и др.), численные методы (конечных разностей, конечных элементов), комбинированные методы и т. д. Так, по формуле Релея основная частота [c.205]

При решении контактной задачи с помощью предложенной теории процесс итераций качественно отличается от процесса, построенного в главе III для анализа взаимодействия двух оболочек различной формы. В этом случае последовательно решаются модифицированные краевые задачи для первой и второй оболочек, причем скорость сходимости существенно зависит от коэффициента с в формуле для контактного давления. В рассматриваемой теории слоистых оболочек строятся и решаются краевые задачи для гармоник разложения (VI.21), причем вектор-функции Vi (а) — конечные разности исходных вектор-функций F. Следствием этого является почти полное отделение задачи для средней по толщине пакета фур1кции Vi от задач для их конечных разностей, [c.116]

Доказательства этих результатов, а также ряда других можно найти в трудах, посвященных конечным разностям. В данном же случае, когда е считается малой величиной, разности л-го порядка имеют порядок s . Таким образом, пренебрежение п-й разностью дает ошибку порядка О s"). В приводимых ниже упрощенных расчетах разности более высоких порядков считаются пренебрежимо малыми и используются только первые члены в правых частях соотношений (2.8) — (2.14). Вносимая при этом погрешность будет зависеть от порядка первого пренебрегаемого члена так, формулу (2.11), в которой опускают разности третьего и более высоких порядков и ошибка в определении dvfdx имеет порядок 0( ), следует предпочесть формуле (2.8), в которой мы пренебрегаем уже разностью второго порядка, и поэтому ошибка в определении dvjdx имеет порядок 0(e). При очень важных численных расчетах всегда сохраняют и используют разности более высоких порядков. При этом можно уменьшить время, требуемое для решения задачи, и повысить точность результатов, но это достигается за счет усложнения применяемого математического метода. [c.457]

Так как то же значение для R мы нолучим при гг = 7V = 1, то можно рассматривать (7) как формулу для коэффициента корреляции между Xi и разностью yi — kxi. Этот коэффициент корреляции обраш ается в нуль при условии, что р = к (сгж/сгу) если р > А ах/СГу), то Я > О, если же р < к (сгж/сгу), то Я < 0. Интересно, что если мы выберем к = р (ах/сгу), т.е. положим к равным коэффициенту регрессии, то всегда R = = 0. Далее заметим, что при р = О формулы (/3) и (7) дают для R значения, отличные от нуля это, конечно, объясняется тем, что в состав выражений Х и. yi — kxi входит одна и та же величина Xi. Здесь мы имеем дело с тем, что Пирсон называет ложной корреляцией , и, наконец, отметим еш е одно свойство коэффициента корреляции R если N стремится к оо, то Я стремится к нулю — обстоятельство, которое находит себе естественное объяснение в том, что нри увеличении N уменьшается относительный вес суммы [c.75]

Рассмотрим вариант записи оператора Лапласа по формуле (2.147). Для аппроксимации частных производных в численном методе конечных разностей, которым пользуются для решения уравнения (2.147), воспользуемся сеткой Дю-Форта и Франкеля [120], т. е. запишем частные производные в следующем виде [c.117]

Обе формулы (86) и (87) и являются основою приближенного способа, который состоит в том, что вместо шарнирной цепи с 6e KvjHe4Ho большим числом бесконечно малых отдельных звеньев, заменяюь,ей непрерывный стержень, мы должны взять шарнирную цепь с небольшим числом звеньев. Вследствие этого диференциальные уравнения для непрерывной балки перейдут в уравнения в конечных разностях для шарнирной цепи. В остальных отношениях ход вычислений для определения критической нагрузки остается такой же, какой мы применили в первои параграфе этой главы. Как и там, мы сообщим шарнирной цепи, находящейся в равновесии, бесконечно малые возможные перемещения, совместные с граничными условиями, и напишем условия равновесия для [c.355]

Следовательно, в рассматриваемом случае имеем на замкнутой границе области расчета ш=0 и фиксированные значения функции тока (29) — (33), т. е. задачу Дирихле для дифференциальных уравнений (12), (15). При решении задачи методом конечных разностей область интегрирования (см. рис. 2) покрывается прямоугольной сеткой с конечными размерами по оси х. Поэтому граничные условия в жестких областях прих->—ооих- 4"°° выполняются приближенно. В результате этого численные расчеты показывают, что во всех узлах сетки имеется неоднородная пластическая деформация. Но малые значения скоростей деформаций, соизмеримые с погрешностями вычислений, приводят к неустойчивости итерационного процесса, так как коэффициенты и источниковый член в уравнении для вихря (12) вычисляются с большой погрешностью. Такие малые значения скоростей деформаций возникают вблизи левой и правой границ сетки, где неоднородное поле скоростей пластического течения не-црерывно переходит в однородные распределения скоростей жестких зон. Пусть функция гр вычислена с некоторой ошибкой е. Тогда, обозначая через к среднее значение шага сетки вблизи ее левой или правой границы, определим возможную среднюю ошибку б эффективной скорости деформации Ве по формулам (7), (16), (23) При введении условия [c.64]

Эквипотенциальные линии, полученные при помощи электрической модели, совпадающие с линиями равных 2 = показаны на фиг. IV. 15. Для проверки линии 2 = onst построены также путем вычислений методом конечных разностей. Результаты вычислений показаны на фиг. IV. 15 пунктирными линиями. Некоторое расхождение вычисленных и полученных на модели линий 2 = onst объясняется малыми градиентами сумм главных напряжений у горизонтальной оси симметрии сжатого квадрата и неточным выполнением условий на границе при моделировании. Эпюры напряжений по горизонтальной и вертикальной осям симметрии, полученные по данным измерений поляризационно-оптическим методом и на электрической модели, соответствуют вычисленным по приближенным формулам Фрохта 139]. [c.288]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...