Колебания свободные (собственные стержней

Подставляя функции (е) в представление (г) для решения, найдем собственную форму колебаний, представляющую синусоиду с числом полуволн, равным г. Суммируя подобные формы, получим общее решение задачи о свободных колебаниях свободно опертого стержня при действии осевой растягивающей силы [c.410]

Отнощения, необходимые для определения со, вытекают из четырех граничных условий, которым подчиняются решения уравнения (2.90Ь) и из требования, чтобы функция У(х) не была тождественно равна нулю (тривиальное решение). Совокупность функций Yix), из которых каждая соответствует одной собственной (критической) величине со, обычно линейно независимых и ортогональных, представляет собой основные формы свободных (собственных) колебаний стержня. [c.80]

Сравним полученные результаты со свойствами вала, у которого моменты инерции отдельных дисков распределены по всей его длине. Аналогично формуле (5. 03) для частоты собственных продольных колебаний свободного стержня, частота собственных крутильных колебаний свободного вала длиной L определяется по формуле [c.275]

Согласно с изложенным в 16, 32 наиболее общее решение для свободных собственных колебаний стержня может быть написано в виде ряда [c.153]

Стержни консольные — см. также Стержни упругие на жестких опорах консольные, — Колебания изгибные — Частоты собственные — Расчет 307—310 — Колебания изгибные вынужденные 316, 317 — Колебания продольные 287, 314, 315 — Колебания свободные — Формы и частоты собственные 279, 280, 287, 290, 292, 300 — Характеристики 222 [c.564]

Станки подобного типа должны выполняться в виде сочетания монолитного основания и станины, скрепленных между собой по всей длине, в этом случае частота конструкции будет определяться как частота собственных колебаний свободного стержня прямоугольного сечения с распределенной массой. Критические [c.71]

Рассмотрим свободные продольные колебания растянутых, (сжатых) стержней и поперечные колебания изгибаемых стержней при действии на них грузов Р, во много раз превышающих их собственный вес (рис. 15.19,а и б). В этих случаях массой стержней можно пренебречь. При статическом действии грузов Р стержни, получив деформации бет, будут находиться в состоянии равновесия. Приложив к грузам Р дополнительные вертикальные силы, отклоним их вниз от состояния равновесия на величину Вд, затем мгновенно удалим эти силы. Под действием внутренних сил упругости грузы Р начнут перемещаться вверх, пройдут через положение равновесия, отклонятся вверх на величину 8а, затем переместятся вниз и т. д., т. е. будут совершать свободные упругие колебания около состояния равновесия. [c.472]

Рис. У11.25. Упруго опертый эластичный стержень (вверху) . собственные колебания 1, 2 и 3 гармоник свободного стержня (в середине) колебания упруго опертого стержня (внизу)

Определим частоты собственных, колебаний свободного стержня. [c.323]

Вследствие большой жесткости корпуса его собственные частоты достаточно высоки, но они должны быть тем не менее определены, так как частота возмущающей силы также значительна. Динамические деформации жесткого блока фундамента незначительны и практически вообще не вызывают дополнительных реакций в опорных конструкциях. Вследствие этого можно мысленно убрать последние и рассматривать собственные колебания корпуса как колебания свободного стержня. Такой стержень может совершать изгибные колебания в вертикальной и горизонтальной продольных плоскостях и крутильные вокруг горизонтальной продольной оси. Частоты изгибных колебаний получены по уравнению (432) подстановкой числовых значений /=6, 85 м [c.357]

Рис 198 а—стоячая продольная упругая волна в стержне, как и на следующих рисунках, штриховка выделяет энергетически замкнутые куски стержня длины Х/А, сплошные синусоиды показывают распределение смещения, пунктирные—распределение деформации б—закрепление плоскости ж=0 оставляет распределение смещений и деформации таким же, как в случае а в—основное собственное колебание п=1 стержня, закрепленного- в середине г—колебание п=3 стержня, закрепленного в середине, д— основное собственное колебание стержня, разделенного плоскостью закрепления в отношении 1 3, е—основное собственное колебание стержня, один конец которого закреплен, другой—свободен, к —колебание /г=3 стержня, один конец которого закреплен, другой—свободен, з—основное собственное колебание стержня, закрепленного на обоих концах м—колебание /г = 2 стержня, закрепленного на обоих концах, к—колебание п = 2 свободно подвешенного стержня [c.195]

Собственные частоты свободно подвешенного стержня. Речь идет о стержне, подвешенном, как показано на рис. 198, к. Здесь нити практически не влияют на упругие колебания стержня. В нем возможны синусоидальные колебания, при которых [c.198]

Формулы для вычисления моментов инерции сечения и собственных частот изгибных колебаний свободных стержней [c.72]

Для определения скорости звука в твёрдых телах можно воспользоваться измерением частот собственных колебаний тел определённых размеров и формы. Обычно измеряют частоту собственных колебаний стержня, изготовленного из исследуемого материала. Частота собственных продольных колебаний / свободного стержня определяется из уравнения [c.100]

Рассмотрим простейшую задачу теории колебаний — задачу о свободных (или собственных) колебаниях тела, масса которого сосредоточена в одной точке (рис. XI. 10). Массу стержня (или пружины), поддерживающей тело, будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массой колеблющегося тела. [c.298]

Математический маятник состоит из материальной точки массой М, расположенной на нижнем конце невесомого стержня длиной L, свободно вращающегося вокруг оси, проходящей через его верхний конец (рис. 7.1). Наша задача заключается в том, чтобы найти частоту собственных колебаний маятника. Самый простой путь решения этой задачи — суметь написать в соответствующем виде второй закон динамики F = Afa. Это может быть сделано так же, как и в задаче 7.6. Однако очень поучительно попытаться решить эту задачу, исходя из закона сохранения энергии. Чтобы получить уравнения (18)—(22), можно также исходить и из сохранения момента импульса. Отклонения маятника будем измерять углом 0, который стержень об- разует с вертикалью. [c.207]

Определение комплексных собственных значений. Рассмотренные ранее уравнения малых свободных колебаний стержней содержали слагаемые со вторыми производными по вре- [c.97]

Вторая основная задача связана с исследованием динамической устойчивости стержней в потоке и определением критических скоростей потока. Комплексные собственные значения позволяют выяснить возможное поведение стержня при возникающих свободных колебаниях во всем диапазоне скоростей потока (от нуля до критического значения) и тем самым ответить на вопрос, какая потеря устойчивости (с ростом скорости потока) наступит, статическая (дивергенция) или динамическая (флаттер). Задачи динамической неустойчивости типа флаттера подразумевают потенциальное (без срывов) обтекание стержня (рис. 8.1,а), что имеет место только в определенном диапазоне чисел Рейнольдса. Возможны и режимы обтекания с отрывом потока и образованием за стержнем вихревой дорожки Кармана (рис. 8.1,6). Вихри срываются попеременно с поверхности стержня, резко изменяя распределение давления, действующего на стержень, что приводит к появлению периодической силы (силы Кармана), перпендикулярной направлению вектора скорости потока. [c.234]

С этой целью рассмотрим продольные собственные колебания, возникающие в однородном упругом стержне длиной I (рис. 432). Положим, что концы стержня свободны и на один из его торцов (для определенности — левый) в результате удара в момент t = О начинает действовать кратковременная сила /, направленная вдоль оси х вправо (мы не будем учитывать движения стержня как целого). Как было [c.659]

Суперпозиция части или всех гармонических колебаний, описываемых выражениями (18.16) и (18.17), охватывает все те собственные колебания, которые могут возникнуть в стержне со свободными концами. Кратковременное внешнее воздействие, обладающее очень широким спектром частот, способно возбудить практически все нормальные колебания, свойственные системе. Число этих нормальных колебаний теоретически бесконечно велико (поскольку k может быть любым), но практически оно, конечно, ограничено хотя бы вследствие того, что воздействие имеет конечную продолжительность и поэтому не может возбудить сколь угодно быстрых колебаний. [c.667]

Рассмотрим примеры учета собственной массы призматических стержней для простейших видов их свободных колебаний. [c.387]

Из формул (21.8) и (21.9) видно, что частота свободных колебаний системы возрастает с увеличением жесткости, или, что то же, с уменьшением статической деформации, вызываемой данным грузом. Легко убедиться, что груз, подвешенный к упругому стержню, обладает значительно более высокой собственной частотой колебания, чем тот же груз, подвешенный к податливой пружине. [c.595]

При переходных режимах вынужденным колебаниям сопутствуют свободные, соответствующие начальным условиям. При мгновенном приложении нагрузки или при мгновенном изменении какой-либо из координат (например, при мгновенном перемещении одной из опор) в системе происходит удар. При этом, как и в системах с конечным число.м свободных координат, движение начинается в точке приложения мгновенного возмущения и лишь постепенно распространяется на остальные части системы. При этом образуется бегущая волна, как это поясняет рис. 8.25, на котором изображен заделанный одним конном стержень, к свободному концу которого внезапно приложена нагрузка. Здесь показана примерная упругая линия этого стержня в последовательные моменты времени. Скорость распространения волны деформации и ее форма (крутизна) зависят от параметров системы (от соотношения распределенных масс и упругости, иными словами, от соотношения собственных частот нормальных форм и времени приложения внешней нагрузки). Вследствие постепенности распространения деформации при ударных нагрузках в зоне их приложения возникают динамические напряжения, которые могут во много раз превысить статические, т. е. те, которые соответствуют весьма медленному нагружению системы. Поэтому появление ударных нагрузок в машинах крайне нежелательно. [c.234]

Здесь В/ — заданные линейно независимые функции, играющие роль координатных. Каждая из функций Vi удовлетворяет кинематическим граничным условиям, но не обязательно статическим. В качестве таких функций могут быть взяты, например, первые к форм собственных колебаний стержня, свободного от нагрузки. Подлежащие определению функции Ц1 имеют смысл обобщенных перемещений. Функция р определяет вклад формы о,- в поперечное перемещение о оси стержня. [c.451]

Рассмотренный простой пример примечателен тем, что п нем аналитическое решение удалось довести до конца. К сожалению, ато можно сделать лишь в немногих случаях. Часто задачи оптимизации оказываются аналитически неразрешимыми даже в аналогичных простых постановках. Так, при определении максимальной первой собственной частоты изгибных колебаний стержня заданной массы М,,, заделанного на одном конце и свободного на другом, уравнения движения и оптимальности имеют вид [356] [c.264]

На основании приведенных данных вычисляется собственная частота по формуле (2.90с). Из табл. 3 следует, что собственная частота имеет одинаковое значение как у стержней со свободными концами, так и с защемленными, если при этом не учитывается собственная нулевая частота, которую имеет только стержень со свободными концами. Кроме того, из таблицы следует, что независимо от способа закрепления концов высшие значения собственных частот колебаний приближаются друг к другу. [c.82]

Уравнение (11.242) совершенно не зависит от коэффициента вязкости и, в частности, остается таким же в случае идеально упругой системы, когда к — 0. Поэтому числа р полностью совпадают с найденными выше однако, как будет показано ниже, величина р есть лишь приближенное значение собственной частоты. Важно отметить, что собственные формы совершенно не зависят от вязких свойств стержня, т. е. формы свободных затухающих колебаний совпадают с формами свободных незатухающих колебаний. [c.132]

Интересно также отметить, что подвижной анод А механотрона этого типа имеет форму конуса (фиг. 1, Э), основание которого обращено к эластичной мембране М. Сделано это с целью уменьшения момента инерции свободного конца подвижного стержня относительно оси качаний, находящейся приблизительно в плоскости мембраны, что позволяет повысить собственную частоту колебаний кинематической системы механотрона. Резонансная частота колебаний подвижной системы такой лампы равна 12 ООО пер/сек. Эта особенность механотрона позволяет пользоваться им в качестве чувствительного элемента ряда систем акустических датчиков. [c.117]

В формуле (135), соответствующей возбуждению моментом, I — момент инерции массы стержня относительно его центра массы для свободного стержня. Кроме того, в формулах (134) и (135) со — частота действия силы или момента — последовательные частоты собственных колебаний стержня [c.406]

В качестве примера падения некоторых собственных частот с увеличением частоты вращения могут служить колебания системы, показанной на рис. 6.34. Здесь две группы радиальных консольных стержней закреплены на вращающемся кольце (оболочке). Первая группа — стержни, ориентированные свободными концами в сторону действия центробежных сил, а вторая — в противоположную. Увеличение частоты вращения приводит к росту собственных частот системы, характеризующихся преобладанием изгибных деформаций стержней первой группы и, напротив, вызывает падение частот системы, которым свойственно преобладание изгибных колебаний стержней второй группы, [c.116]

Расчет колебаний вращающихся дисков постоянной толщины при отсутствии на их периферии дополнительных масс показал, что использование как уравнений (6.4), так и уравнений (4.21) дает практически один и тот же результат. Однако размещение на наружном радиусе диска дополнительных масс (лопаток) приводит к существенному различию в результатах расчетной оценки влияния вращения на собственные частоты. На рис. 6.35 представлены результаты расчетов, выполненных для диска постоянной толшины с жесткими лопатками, которые имитировали недеформируемыми стержнями с сосредоточенными массами на свободных концах. Как видно, использование уравнений (4.21) приводит к более высоким значениям частот, особенно при малых т. [c.118]

Уравнение собственных колебаний для стержня, имеющего свободный конец, формировалось с учетом граничных условий [c.208]

При р = О имеем первую сй и вторую (Оа частоты собственных колебаний свободного защемленного стержня. По мере увеличения неследящей силы эти частоты (и все более высокие) уменьшаются, обращаясь в нуль при силе, принимающей критические значения, т. е. [c.302]

Хорошо оборудованная сейсмическая обсерватория всегда имеет два инструмента типа, более или менее подобного омисанному, один инструмент для N — S составляющей движения, а другой для Е — W составляющей. Для регистрации вертикальной составляющей необходима несколько иная установка. Установка, предложенная Юингом (Ewing), состоит из жёсткой рамы, существенная часть которой представлена на фиг. 63 в виде АОВ эта часть может вращаться около горизонтальной оси, проходящей через точку О. Стержень ОА, расположенный в горизонтальном направлении имеет груз W, причем точка В стержня 03 посредством спиральной пружины соединена с неподвижною точкою С. Если груз W слегка отклонится от своего полол№ния равновесия, то момент силы тяжести относительно точки О почти не изменится, но натяжение пружины увеличится, несмотря на то, что плечо силы натяжения относительно О уменьшится. Размеры инструмента подбираются таким образом, чтобы влияние первого фактора было несколько больше второго тогда восстанавливающая сила будет незначительна, и период свободных (собственных) колебаний будет велик. Следовательно, динамические свойства установки в сущности такие же, как в предыдущем случае, и действие прибора под влиянием вынужденных вертикальных колебаний оси О происходит по тем же законам ). [c.175]

На рпс. VI.24, б показан динамический виброгаситель — для горпзоп-талыю-фрезерных станков. В хоботе 8 станка устанавливают упругий стержень 7 с грузом 6. Свободный конец стержня помещен в резиновой фтулке 5. Перемещегнгем груза по длпне стержня ого колебания настраивают в резонанс с собственными колебаниями хобота. Благодаря инерции груза 6 и упругости [c.416]

В [1.348] (1962) определены собственные значения и собственные функции стержней постоянного поперечного сечения, сов ершающих колебания при шарнирном опирании двух концов, свободных концах, одном защемленном и одном свободном конце стержня. Записаны условия 0 ртогональности собственных функций и выражения для упругой энергии. [c.84]

Для экспериментального определения частоты собственных колебатш стержня последний присоединяют к какому-либо возбудителю упругих колебаний переменной частоты и астав-ляют совери1ать вынужденные колебания соответствующей частоты. Плавно изменяя частоту колебаний возбудителя, добиваются резонанса между частотой вынужденных и собственных колебаний стержня. При резонансе амплитуда вынужденных колебаний стержня имеет максимальную величину, поэтому, присоединив к свободному концу стержня пьезоэлектрический приёмник, можно весьма точно определить положение, соответствующее резонансу, по максимальной величине амплитуды электрических колебаний, получаемых от пьезоэлектрического приёмника. Определив частоты, соответствующие двум соседним максимумам показаний приёмника, можно определить скорость звука а из уравнення [c.101]

В одной из недавних работ В. Прагера [7] справедливо отмечаются трудности, связанные с возможными ошибками при постановке задач оптимального проектирования конструкций. Примером может служить задача о стержне заданной длины I, защемленном на одном конце и свободном на другом. Стержень должен иметь два участка с постоянными поперечными сечениями и заданными длинами. Поперечные сечения стержня должны быть выбраны так, чтобы частота его собственных колебаний была максимальна. При такой формулировке задачи оптимальный проект должен использовать весь материал на участке, примыкающем к заделке. Однако этот проект может оказаться непригодным, так как может быть существенным требование, чтобы стержень имел длину /. Чтобы исключить неправильные проекты, необходимо задать минимальную вели- [c.6]

Свободные колебания жесткого стержня описываются нелинейным дифференциальным уравнением + 300sin<7 -230зш(//- /5-4со = = О, где q - обобщенная координата. Определить собственную частоту стержня в случае малых колебаний. (1,33) [c.342]

Указание. Беа учета массы атержня круговая частота Ф собственных колебаний груза (число колебаний за 2 я с) вычисляется по формуле ф = Мут ц, где т = 0/ <— масса груза 6ц — статическое удлинение стержня от единичной силы g — ускорение свободного падения (g = У.8 м/с ). Частота собственных вертикальных колебаний груза (в герцах) f = ф/2я. [c.288]

Двучлены при постоянных С называются иногда функциями Релея и обозначаются по порядку через С, с, S, s. Задачи собственных или свободных колебаний стержня принадлежат к категории задач о собстпенных значениях [211. [c.83]

Свободные колебания. На рис. 2.1 показана упругая система, состоящая из прямого консольно защемленного стержня с сосредоточенной массой М на его свободном конце. В предположении невесомости и недеформируемости стержня вдоль оси, система имеет две собственные частоты, поскольку масса обладает двумя степенями свободы. [c.24]

Простейшая система. На рис. 3.1 показана поворотно-симметричная система S идентичных прямых стержней, которые на периферии. недеформируемого жестко закрепленного диска равномерно расположены но окружности с шагом = 2я/5. Стержни ориентированы радиально на их свободных концах размещены 5 масс Af, центры которых совмещены с точками крепления к стержням. Главные моменты инерции масс относительно радиальных направлений —/ = = ЛГгу, 1 де Г] — радиус инерции. Между соседними массами установлены упругие связи, сочлененные с ними шарнирно и имеющие продольную жесткость с . Точки крепления связен отстоят от центров масс в направлении оси системы на расстояниях а и Ь. Предполагается, что каждая масса имеет две степени свободы — возможность перемещения по окружности системы и поворота относительно радиального иаправлен ия Период такой системы имеет две степени свободы, а вся система 2S степеней свободы и соответственно 25 собственных частот, т. е. каждой, из т групп принадлежат две собственные частоты. При свободных колебаниях системы из условий равновесия /г-й массы, если нзгибная жесткость стержня с , а крутильная — Скр, следует [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...