Вязкоупругость линейная оператор

По аналогии с соотношением (1.15) для вязкоупругого линейного тела связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций можно также записывать в виде (1.16), где постоянные Uij необходимо заменить на линейные интегральные операторы вида [c.9]

Здесь Lij — определенные линейные дифференциальные операторы по XI и Х2 (см., например, книгу [17]) они зависят от геометрии оболочки и от упругих постоянных. В случае линейной вязкоупругости упругим постоянным соответствуют некоторые линейные операторы по времени, характерные для материала оболочки. [c.98]

Здесь 1, 2, 3 — составляющие вектора смещения по осям х , Х2, Xs Mi/ — определенные линейные дифференциальные операторы второго порядка по х , х , лТд, зависящие от упругих постоянных эти операторы можно найти в учебниках по теории упругости. В случае линейной вязкоупругости упругим постоянным соответствуют некоторые линейные операторы по времени, характерные для основного материала. Уравнения [c.99]

Вязкоупругость линейная 46 -- оператор 53 [c.565]

Зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций, например, для изотропного трехмерного вязкоупругого тела можно представить в виде линейных дифференциальных операторов [c.10]

Уравнения динамики линейных вязкоупругих систем. Уравнения движения вязкоупругого тела по форме аналогичны уравнениям движения упругого тела при условии, что вместо упругих констант в эти уравнения должны быть внесены операторы. Динамические уравнения Ламе примут вид [c.145]

Всякое деформируемое твердое тело, проявляющее реономные свойства, называется вязкоупругим. В зависимости от того, линейны или нелинейны операторы (1.1) и (1.2), различают соответственно линейную и нелинейную вязкоупругость. [c.25]

Для формулировки квазистатической задачи Б линейной теории вязкоупругости изотропного однородного тела достаточно в уравнениях (3.25) заменить упругие постоянные на операторы [c.31]

Оператор A(V, ) назовем оператором вязкоупругого равновесия. Для построения общих решений линейных уравнений механики деформируемого твердого тела важную роль, как было показано в предыдущих главах для задач теории упругости, играют соотношения взаимности, связывающие два произвольных поля перемещений в данном теле. [c.131]

Приведем эффективный метод решения краевых задач линейной теории вязкоупругости типа (1.43), (1.46). Для этого запишем соотношения (1.43) в символической форме, введя обозначение интегрального оператора G [c.52]

Операторный вид решения задачи об изгибе симметричной трехслойной консоли с линейно вязкоупругим заполнителем получим из соотношений (4.42), с учетом (4.43), формальной заменой констант ai на операторы а . В результате имеем [c.166]

Здесь а = о (7з —) G3 — операторы, получаемые из коэффициентов ai в решении (4.42), в которых модуль сдвига G3 заменяется оператором линейной вязкоупругости (4.41). [c.166]

Проведем процедуру преобразования констант упругости ai (6.12) в операторы вязкоупругости а путем замены в них модуля сдвига Gk на оператор линейной вязкоупругости G (1.48). При этом будем выделять операторы введенные Ильюшиным [c.329]

Изображению 1/со отвечает ядро ползучести Г( ). Изображениям (6-41) соответствуют оригиналы g n )-> определяемые экспериментально. Искомое решение задачи о деформировании трехслойной круговой линейно вязкоупругой пластины в оригиналах следует из (6.43) после расшифровки входящих туда операторов с помощью представления (1.54) [c.331]

Расшифровка операторов g f, (6.83) в соответствии с (1.54) позволяет получить следующее решение задачи об изгибе симметричной по толщине прямоугольной линейно вязкоупругой трехслойной пластины [c.360]

На примере круговой линейно вязкоупругой трехслойной пластины продемонстрируем применение метода усреднений в динамических задачах линейной вязкоупругости [122]. Физические соотношения для материалов слоев принимаем в виде (1.42) и используем интегральный оператор линейной вязкоупругости [c.423]

Система уравнений движения линейно вязкоупругой трехслойной цилиндрической оболочки следует из (9.1) после замены модулей сдвига на оператор вязкоупругости [c.498]

Решение сформулированной задачи получено в [285, 287] при помощи метода Бубнова-Галеркина. Представляя перемещения в виде (9.3) и подставляя их в уравнения движения типа (9.1) с учетом оператора линейной вязкоупругости (9.15), приходим к системе интегродифференциальных уравнений относительно искомых функций времени t [c.498]

При решении многих краевых задач линейной теории вязкоупругости применяют принцип Вольтерра, состоящий в том, что решение таких, задач получают из соответствующих упругих решений заменой упругих постоянных временными операторами (операторами наследственной упругости). Принцип Вольтерра является в настоящее время (особенно в нашей стране) одним из основных методов в решении задач квазистатической теории вязкоупругости. [c.68]

В работах [17, 55, 66, 73] приводятся решения некоторых плоских и осесимметричных контактных задач о вдавливании без трения жесткого штампа в двухслойное стареющее вязкоупругое основание. Предполагается, что верхний слой тонкий относительно области контакта, неоднородно-стареющий реологические свойства нижнего слоя описываются уравнениями линейной теории ползучести стареющих материалов слои жестко сцеплены между собой область контакта не изменяется с течением времени. В зависимости от соотношений между модулями упругомгновенных деформаций слоев смешанные задачи сводятся к интегральным уравнениям первого или второго рода, содержащим операторы Фредгольма и Вольтерра. Используемый для их решения аналитический метод (см. 9, гл. 1) позволил построить разложения для основных характеристик контактного взаимодействия при произвольным образом меня- [c.465]

Сравнивая (9.7) с соотношениями (2.9), заключаем, что физические соотношения линейной вязкоупругости имеют точно такой же вид, что и уравнения обобгценного закона Гука, только модуль сдвига G заменен оператором G. [c.218]

Операторы линейной вязкоупругости представляем в виде [c.286]

Заметим, что термин вязкоупругость включает в себя большой диапазон физических процессов, таких, например, как релаксация, вызываемая физико-механическими, термоупругими, электрическими, механическими или другими явлениями. Как известно, между теориями упругости и вязкоупругости существует глубокая внутренняя связь, причем уравнения линейной теории упругости (с линейными граничными условиями) можно распространить на случай вязкоупругости путем подстановки зависящих от времени операторов вместо упругих констант (принцип Вольтерра). [c.430]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

Если изотермическое течение происходит в отсутствие массовой силы [F = 0), то при Л1 = О имеем для завихренности 2 ) = <т,2 /Это означает, что вихрь скорости прямо пропорционален вязкому касательному напряжению, если жидкость либо ньютоновская либо вязкоупругая с оператором субстанциональной производной в реологическом уравнении состояния. Линейная связь со и г,, для некоторых изотермических и неизотермнче-ских течений ньютоновских и вязкоупругих жидкостей была отмечена ранее в п. 1.2.3 (рис. 1.1), и. 1.5.1 (рис. 1.14), п. 1.5.2 (рис. 1.18), п. 2.1.1 (рис. 2.1). Если релаксация вязких напряжений отсутствует у - 0), и жидкость нелинейно-вязкопластичная (1.8), то в классе движений (2.57)-(2.59) зависимость т,2 =т,2((у) - дробно-степенная функция [c.76]

Здесь Lfj - определенные линейные дифференщ1альные опраторы по х( и х 2 (см., например, стр. 237—238 книги [74]) они зависят от 1 ометрии оболочки и от упругих постоянных, в случае линейной вязкоупругости ynpyniM постоянным соответствуют некоторые линейные операторы по времени, характерные для материала оболочки. [c.132]

Как уже отмечалось, решение задач о предельном рав-новесин линейных вязкоупругих тел с трещинами можно получить из упругого решения для предельной (критической) нагрузки простой заменой упругих характеристик материала соответствующими временными операторами. [c.301]

Дальнейшее обобщение линейной теории вязкоупругости состоит в переходе к нелинейным уравнениям вида (10.41) или (10.42), т. е. к соотношениям указанного вида при нелинейных операторах Р и R. Нелинейная теория вязкоупругостн позволяет получить достаточно хорошее описание ползучести бетона и полимеров при различных режимах, в том числе неизотермических. В то же время этой теорией не охватываются необратимые процессы, протекающие мгновенно (атермическая пластичность) такие явления, как было указано, характерны в первую очередь для металлов. Тела, обладающие упругостью, вязкостью и пластичностью, описываются теорией упруго-вязко-пластических сред. Реологические уравнения этой теории уже не могут быть представлены в виде (10.41) или (10.42) (даже при нелинейных операторах Р и R ) подобно тому, как соотношения между напряжениями и деформациями для упруго-пластического тела нельзя записать в виде конечных (функциональных) связей. В рамках упомянутой теории и следует искать описание поведения металлов при достаточно высоких температурах. [c.754]

Метод осреднения применяется к решению квазистатически Е задач линейной теории вязкоупругости для композитов. Особое внимание уделяется теории нулевого приближения. Для слоистых-вязкоупругих композитов тензоры эффективных ядер релаксации и ползучести находятся в явном виде. Выясняются особенности строения этих тензоров в случае структурной анизотропии. Вводится понятие канонических вязкоупругих операторов и описывается схема экспериментального определения их ядер. Дается описание метода численной реализации упругого решения и на" двух конкретных задачах показывается его применение. Даются постановки связанной задачи термовязкоупругости для физичес- ки линейных композитов и квазилинейной теории вязкоупругости, для композитов. [c.268]

Если теперь, пользуясь алгеброй операторов, мы получим формальное решение Задачи (5.9), (5.10) или (5.8), (5.6), то для получения решения задачи линейной теории вязкоупругости для однородных сред будет необходимо расшифровать , встречающиеся в решении функции от операторов. В этом и состоит принцип Вольтерры. Следует иметь, однако ввиду, что в случае ядер релаксации и ползучести неразностного типа умножение операторов не является коммутативной операцией, и поэтому при использовании принципа Вольтерры нужно проследить за методом получения аналитического решения соответствующей задачи теории упругости с тем, чтобы правильно записать произведение упругих постоянных, входящих в ее решение. Основная трудность при решении указанных задач возникает при расшифровке операторов. Для упрощения этой процедуры часто основные операторы выбираются в специальном виде, а экспериментально найденные ядра релаксации и ползучести аппроксимируются ядрами, соответствующими данному специальному виду этих операторов [99]. Лля случая ядер разностного типа часто применяется метод преобразования Лапласа [33]. При расшифровке вязкоупругих операторов большое значение имеет так называемый оператор А.А. Ильюшина др [c.109]

Отметим еще одно почти очевидное обобщение изложенной теории на материалы, являющиеся линейно-вязкоупругими. Для этого нужно упругие постоянные Ец в (5.20) заменить соответствз щими линейными операщ1я-ми по времени, например в достаточно общем виде операторами Вольтерра [c.266]

Отсюда приходим к важному принципу Вольтёрра решение линейной задачи вязкоупругости может быть получено из решения соответствующей задачи линейной теории упругости путем замены в нем констант упругости некоторыми операторами. В нашем случае следует заменить модуль сдвига G оператором G. [c.53]

Процесс деформирования в этом случае описывается соотношениями линейной теории вязкоупругости, содержащими ограниченные интегральные операторы. Это операторы, удовлетворяющие условию (2.19). К ним относятся операторы с экспоненциальными и дробно-экспоненци-альными ядрами, рассмотренные выше. И, наконец, когда ff>ag, кривая деформирования не имеет горизонтальной асимптоты. В случае, когда постепенное нарас- [c.32]

На примере круглой трехслойпой пластины продемонстрируем применение метода усреднений в динамических задачах линейной вязкоупругости [18]. Физические соотпошепия припимаем в виде (8.2), т. е. объемное деформирование считаем упругим, сдвиговое — линейно-вязкоупругим. Введем интегральный оператор [c.285]

Обобгцая соотношения закона Гука для плоской задачи [1 на случай линейной вязкоупругости путем замены упругих констант на соответствуюгцие операторы [2], для области 5 будем иметь [c.351]

Принцип Вольтерра. При решении статических задач вязкоупругости основную роль играет принцип, сформулированный Вольтерра и основанный на том, что линейные операции дифференцирования и интегрирования по координатам и умножения на временной оператор Вольтерра коммутативны. Поэтому любое решение статической задачи классической теории упругости трансформируется в решение соответствующей задачи линейной вязкоупругости путем замены в окончательном результате упругих постоянных соответствующими операторами. Если в решении классической задачи упругие постоянные фигурируют в качестве множителя, представляющего собою их рациональную комбинацию, расшифровка рациональной фунгщии операторов сводится к последовательному решению интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для экспоненциальных и дробно-экспоненциальных операторов эти вычисления производятся по стандартным правилам. Более сложное положение возникает тогда, когда в решении задачи теории упругости упругие константы не образуют рациональных комбинаций, а также если тип граничных условий в разных точках поверхности тела меняется. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...