Пластинка под действием напряжений в ее плоскости

Рассмотрим еще плоскую задачу теории упругости для анизотропного тела. Пусть в каждой точке пластинки имеется плоскость симметрии упругих свойств, параллельная срединной плоскости. Как и в изотропном случае (см. 4 гл. III), будем полагать, что усилия, приложенные к краям пластинки, действуют в срединной плоскости. Тогда, переходя к усредненным по толщине пластинки величинам, получаем соотношения между деформациями и напряжениями [c.664]

Если на прямолинейную горизонтальную границу АВ полу-бесконечной пластинки действуют несколько сосредоточенных сил Р, Pj, Pj, то напряжения на горизонтальной плоскости тп можно получить с помощью суперпозиции напряжений, вызываемых каждой из этих сил. Для каждой из них кривые напряжений и можно получить, сдвигая кривые, построенные для силы Р, к новым началам координат Oj, 0 ,. .. Отсюда следует, что напряжение а , вызываемое, например, силой Р на плоскости тп в точке D, получается путем умножения ординаты Н- К на Pj. Таким же образом напряжение в точке D, вызываемое силой Ра, получается равным Н К -Р и так далее. Общее нормальное напряжение в точке D на плоскости тп, вызываемое силами Р, Pj, Pj, будет [c.119]

Подобные результаты для родственной задачи показаны на рис. 8.29 и 8.30. В этом случае начальное напряженное состояние представляет чистый сдвиг (Oxy)S° = —Р без нормальных напряжений, действующих на плоскости пласта, у = 0. Распределение сдвиговой компоненты разрыва смещения, полученное с использованием пластовых элементов, в целом имеет такую же форму, как распределение относительного сдвига Ux (х, —/г/2) — х, -hl2), найденное с помощью прямого метода граничных интегралов (рис. 8.29), но соответствие между двумя этими решениями [c.243]

В минералокерамических резцах с механическим креплением сила зажима не должна вызывать дополнительных напряжений в пластинке и служить причиной ее поломки. Необходимо также обращать особое внимание на правильное распределение сил, действующих на пластинку, и на расположение опор. Конструкция резца должна обеспечить плотное прилегание пластинки к опорным плоскостям [c.190]

Пусть ёз — линейный элемент на плоскости Оху. Рассмотрим принадлежащую пластинке, перпендикулярную к плоскости Оху прямоугольную площадку высоты 2/г, след которой на плоскости Оху есть элемент (1 (рис. 12). Проекции на оси Ох, Оу среднего значения напряжения (по толщине), действующего на эту площадку, равны [c.93]

Если на горизонтальный прямолинейный край АВ полубесконечной пластинки действует несколько вертикальных сил Р, Р , Рг, , io напряжения по горизонтальной плоскости тп получатся суммированием напряжений, возникающих от каждой из этих сил. [c.102]

Путем наложения решений (29.3) и (29.17) получим распределение напряжений в ортотропном пространстве или в соответствующей пластинке от силы действующей в плоскости упругой симметрии ху и образующей с осью у какой-то угол со (рис. 37) [c.153]

Таким образом, допустим, что в дополнение к поперечной нагрузке имеются силы, действующие в срединной плоскости пластинки. Обозначим напряжения в срединной плоскости через [c.275]

Учитывая плоское напряженное состояние пластинок, можно полностью описать их деформированное состояние, если известны Ux = Ux x, s)—перемещение точки С в направлении оси х и и = = Us x, s) —перемещение в направлении касательной к контуру поперечного сечения под действием нагрузки р х, s) и д(х, s), приложенной Б плоскости пластинки и отнесенной к единице площади. [c.331]

Рассмотрим тонкую пластинку высотой 2А (рис. 11) с внешними силами, действующими в ее срединной плоскости. Срединной плоскостью пластинки назовем плоскость, делящую пополам высоту пластинки. От действия внешних сил срединная плоскость не искривляется и пластинка не изгибается, она испытывает обобщенное плоское напряженное состояние. [c.29]

Плоское напряженное состояние. Уравнения теории упругости значительно упрощаются, если все входящие в них напряжения оказываются параллельными одной плоскости, например, в случае тонкой пластинки (брус, стержень), подверженной действию сил, приложенных к ее контуру, параллельных плоскости пластинки и равномерно распределенных по ее толщине (рис. 10 а—плоское напряженное состояние б—обобщенное плоское напряженное состояние). [c.33]

Учитывая плоское напряженное состояние пластинок, можно полностью описать их деформированное состояние, если известны и = и х, s) — перемещение точки С в направлении оси л и и = и х, s) — перемещение в направлении касательной к контуру поперечного сечения под действием нагрузок р(х, s) и q(х, s), приложенных в плоскости пластинки и отнесенных к единице площади. Эти перемещения можно представить в виде рядов [c.240]

Исследуем, какие усилия создаются напряжениями (7.6) в сечениях пластинки, нормальных к ее срединной плоскости. На рис. 42 изображен элемент пластинки, вырезанный такими сечениями. Рассмотрим вначале площадку этого элемента с нормалью х. На этой площадке действуют составляющие напряжений ст , и [c.118]

Зная компоненты напряжений Оу, в любой точке пластинки в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, можно найти из уравнений статики напряжения на любой наклонной по отношению к осям X W у плоскости (площадке), проходящей через эту точку перпендикулярно пластинке. Обозначим через Р некоторую точку в напряженной пластинке и допустим, что компоненты напряжения a,j, х у известны (рис. 12). На малом расстоянии от Р проведем плоскость ВС, параллельную оси z, так, чтобы эта плоскость вместе с координатными плоскостями вырезала из пластинки очень малую треугольную призму РВС. Поскольку напряжения изменяются по объему тела непрерывно, то при уменьшении размеров вырезанного элемента напряжение, действующее на площадке ВС, будет стремиться к напряжению на параллельной площадке, проходящей через точку Р. [c.36]

Закон парно< ти касательных напряжений. Рассмотрим деталь в виде тонкой пластинки, нагруженной в ее средней плоскости (рис. 2.7). Если в такой пластине толщиной Л = 1, находящейся в равновесии под действием сил Р ,. ... Рп, выделить прямоугольный элемент О А ВС с длиной сторон с1х и с1у, то по четырем его [c.132]

Необходимая при расчетах и конструировании прочность слоя при простом напряженном состоянии представляет собой напряжение, при независимом действии которого слой разрушается. Если считать слой пластинкой малой толщины по сравнению с ее размерами в плоскости, можно выделить 5 значений прочности (см. рис. 2) [c.120]

Для того, чтобы найти й1 д поступим следующим образом. Выделим из рассмотренного элемента пластинку толщиной с1у на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 12.64) и найдем потенциальную энергию деформации, накопленную в этой пластинке. На гранях выделенной пластинки (рис. 12.64), лежащих в поперечных сечениях балки, действуют силы (г/) г/= т6 (г/) ф, а на гранях, параллельных срединной плоскости,— силы %у,Ь у) йг = хЬ у) йг (%гу = Туг = "Г — вследствие закона парности касательных напряжений). [c.194]

При применении жестких, т. е. высокомодульных материалов, действие собственного веса в модели можно заменить с некоторым приближением контурными силами [7]. При исследовании плоского напряженного состояния вокруг достаточно заглубленной выработки весомую полуплоскость можно заменить невесомой плоскостью. Моделирование в этом случае обычно осуществляется на прямоугольной пластинке с вырезами, имитирующими горные выработки. Напряжения нетронутого горного массива (27) заменяются двухосным равномерным давлением по контуру модели. Размеры пластинки и нагрузка принимаются такими, чтобы возмущения, вызванные выработками, практически затухали к внешнему контуру модели. [c.16]

Исследуем, какие усилия соответствуют напряжениям (8.6) в сечениях пластинки, нормальных к ее срединной плоскости. На рис. 52 изображен бесконечно малый элемент пластинки, вырезанный такими сечениями. Рассмотрим вначале площадку с нормалью, параллельной оси X. По ней действуют составляющие напряжений Ту и На рисунке показаны положительные напряжения нормальное напряжение направлено по внешней нормали к сечению, а касательные — в направлении соответствующих положительных координатных осей, так как внешняя нормаль к сечению совпадает с положительным направлением оси х. [c.121]

В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Выбор срединной плоскости в качестве плоскости приведения позволил отделить уравнения плоской задачи теории упругости от уравнений изгиба пластинки, которые и явились предметом исследования. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. Полученные результаты приводят к выводу о пригодности разработанных в настоящей моно- [c.13]

Теперь представим себе, что пластинка (при действии касательных напряжений) согнута в круглую трубу (рис. Aid) так, что стороны В С и A D становятся окружностями, лежащими в параллельных плоскостях. Так как ширина деформированной пластинки (рис. А7Ь) постоянна, то стороны [c.198]

Перемещение соответствующее 15, 25, 60, 571, полное удлинение как функция перемещения 54 Перерезывающая сила при изгибе балки 291—300, см. изгиба задач , прогиб вследствие перерезывающей силы Пластинка в равновесии под действием сил, лежащих в ее плоскости, см. плоское напряженное состояние, плоское напряженное состояние обобщенное, — в форме части кольца 514 (пр. 3), — под действием поперечной нагрузки 308—316,— треугольная MI [c.669]

В книге Навье имеются дополнительные главы, касающиеся подпорных стен, арок, пластинок и ферм. О них будет сказано дальше. Мы видим, что в книге даны удовлетворительные решения многих задач строительной механики, хотя для того, чтобы привести их к окончательному виду с современной точки зрения, было бы необходимо дополнить их исследованием касательных напряжений при изгибе балки, а также исследованием изгиба балки в плоскости, не совпадающей с плоскостью действия сил. Эти две задачи, как мы увидим, были решены позднее, после смерти Навье. [c.100]

За последние десятилетия XIX века крупных успехов удалось достигнуть в решении двумерных задач теории упругости. Существуют два типа таких задач. Если тонкая пластинка подвергается действию сил, приложенных по ее краю, в ее срединной плоскости (которую мы совмещаем с плоскостью ху), то компоненты о., и Ху, напряжения по обеим граням пластинки обращаются в hj jil, и тогда, не делая большой погрешности, мы вправе допустить, что эти компоненты равны нулю также и по всей толщине пластинки. В подобных случаях мы имеем дело с (обобщенным) плоским напряженным состоянием. Другого рода двумерная задача возникает, если длинное цилиндрическое или призматическое тело нагружено распределенными силами, интенсивность которых не меняется по длине цилиндра. В такой системе участок тела, отстоящий на значительном расстоянии от концов цилиндра, испытывает, по существу, плоскую деформацию, т. с. перемещения при деформировании происходят лишь в плоскостях, перпендикулярных к оси цилиндра (которую мы совмещаем с осью z). В этом случае обращаются в нуль компоненты деформации г., и Ууг нам достаточно рассматривать лишь три компоненты деформации s , и Такое состояние упругого тела называется плоской деформацией. [c.418]

ВО внимание и то влияние, которое оказывают на изгиб пластинки напряжения, действующие в ее срединной плоскости. Это достигается введением некоторых добавочных членов в вышеупомянутое дифференциальное уравнение пластинки (см. 90). [c.12]

Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изгибается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в срединной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелинейным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см. 96). При больших прогибах нам следует также различать случай неподвижных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена возможность свободно перемещаться в ее плоскости — это заметно отражается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. 99, 100). Благодаря кривизне деформированной срединной поверхности, дополнительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напряжения противодействуют приложенной поперечной нагрузке таким образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично изгибной жесткостью, а частично мембранным действием пластинки. В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исключением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван наложенными на пластинку граничными условиями. [c.12]

Важнейшие предпосылки теории тонких пластинок составляют также и базис для обычной (элементарной) теории тонких оболочек. Следует, однако, обратить внимание на существенное различие в поведении пластинок и оболочек под воздействием внешней нагрузки. Статическое равновесие элемента пластинки под поперечной нагрузкой возможно лишь в результате действия изгибающих и крутящих моментов, обычно сопровождающегося действием перерезывающих сил, тогда как оболочка в общем случае способна передавать распределенную по поверхности нагрузку через мембранные напряжения, которые действуют параллельно касательной плоскости в заданной точке срединной поверхности и распределены равномерно по толщине оболочки. Это свойство оболочки сообщает ей, как правило, значительно большую жесткость и большую экономичность в сравнении с пластинкой в тех же условиях. [c.13]

Мы видели, что только что рассмотренный плоский полярископ дает для некоторого выбранного значения а соответствующие изоклины, а также изохромы или полосы. Таким образом, затемнения на рис. 101 показывают ориентации главных осей, совпадающие с ориентациями поляризатора и анализатора. В действительности фотография, показанная на рис. lO l, получена в круговом полярископе, который является модификацией плоского полярископа, позватяющей исключить из рассмотрения изо-клины ). Схематически этот полярископ показан на рис. 99, б, на котором по сравнению с рис. 99, а добавлены две пластинки Qp и в четверть волны. Пластинка в четверть волны — это кристаллическая пластинка, имеющая две плоскости поляризации и действующая на луч света подобно модели с однородным напряженным состоянием. Она вносит разность фаз А в соответствии с равенством (е), но толщина этой пластинки подобрана так, чтобы выполнялось условие А -=л/2. Используя уравнение (е) со значением Д для света, покидающего Qp, замечаем, что можно прийти к простому результату, если принять равным 45° угол а, представляющий сейчас угол между плоскостью поляризации призмы Р и одной из осей Q . Тогда можно записать [c.168]

С pq d идентично с запаздыванием, вызванным сдвигом pq, действующим в плоскости пластинки. Эта величина почти для всех известных материалов представляет обыкновенно небольшую часть длины волны света. Такая величина слишком незначительна, чтобы ее можно было наблюдать. Но если бы был открыт материал с очень высоким оптическим коэффициентом напряжения, то наблюдение этого явлени5 было бы очень строгим испытанием точности законов, связывающих напряжения с оптическими явлениями, о которых мы говорили, в частности закона I. [c.179]

Ху — О при 2 = и поверхностные усилия, приложенные по контуру пластинки, действуют в срединной плоскости ху. При этих условиях срединная плоскость не искривляется, пластинка не претерпевает изгиба и при малой толпщне 2к составляющие напряжения Хх, У г, наверное, весьма мало изменяются при изменении координаты г. В таком случае средние по толщине значения составляющих напряжения в достаточной степени характеризуют напряженное состояние и определение этих средних значений имеет большое практическое значение. [c.73]

Предположим, что на прямоугольную стеклянную пластинку, находящуюся в однородном напряженном состоянии (рис. 60) 1по горизонтальным граням пластинки действуют равномерно распределенные растягивающие усилия к вертикальным граням приложены напряжения Уу], падает плоско поляризованный луч света. Направление луча перпендикулярно к плоскости пластинки О А — направление, по которому совершаются колебания. Так как пластинка под действием напряжений стала двояколучепреломляющей, то О А разложится на два колебания ОВ = 04соз а и ОС = ОЛзта. [c.119]

Имеется много задач 6 напряженном состоянии, когда деформация, по существу, происходит в одной плоскости. Это так называемые двумерные задачи. Примерами служат изгиб балок узкого прямоугольного поперечного сечения, изгиб ферм, арок, зубчатых колес или вообще пластинок какой угодно формы, но постоянной толщины, на которые действуют силы или моменты в плоскости пластинки. Форма пластинок может быть такой, что становится весьма затруднительным аналитическое определение закона распределения напряжений для таких случаев оказывается весьма полезным фотоупругий метод. В этом методе применяются модели, вырезанные из пластинок изотропного прозрачного материала, как, например, стекло, целлулоид или бакелит. Хорошо известно, что под действием напряжений эти материалы становятся двояколучепреломляющими, м если луч поляризованного гее/иа проходит через прозрачную модель, находящуюся в напряженном состоянии, то при этом йожно получить окрашенное изображение, по которому удается найти закон распределения напряжений ). [c.276]

Если сила Р действует в срединной плоскости бесконечной пластинки (рис. 79, а), то распределение напряжений можно легко получить путем наложения только что рассмотренны.х систем. Мы не можем, однако, построить решение путем простого наложения двух решений для полубесконечной пластинки, как показано на рис. 79, б и е. Хотя вертикальные перемещения в обоих случаях будут одними и теми же, горизонтальные пере- [c.140]

ОНО имеет в точках, определяемых координатами T = th = Когда эллипс очень узок, эти значения весьма велики и точки, в которых они действуют, близки к концам большой оси. Имеются решения для эллиптического отверстия в пластинке, находящейся под действием чистого изгиба в своей плоскостии параболического распределения касательных усилий, которое возникает в тонкой балке прямоугольного сечения ), для эллиптического отверстия с равными и противоположными по знаку сосредоточенными силами, приложенными по концам малой оси ), а также для жесткого и упругого включений, заполняющих отверстие в растянутой пластинке ). Рассматривались и более общие виды решений в форме рядов для действительной функции напряжений ф в эллиптических координатах ). Эквивалентные им комплексные потенциалы можно построить из функций, использованных или упомянутых здесь вместе с аналогом простых функций, приведенных в задачах на стр. 197, если необходимо учесть влияние дислокаций, а также сосредоточенных сил и моментов. Решение для общего случая нагружения эллиптического отверстия дается позже в 67—72. [c.204]

Основные типы напряженных состояний. Линейное (одноосное) напряженное состояние—два главных напря-и<ения равны нулю (например, в точках бруса при простом растяжении или при чистом изгибе). На любой площадке, параллельной отличному от нуля главному напряжению, нормальное и касательное напряжения равны нулю. Плоское (двухосное) напряженное состояние — одно из трех главных напряжений равно нулю (например, в точках пластинки, нагруженной силами, лежащими в ее срединной плоскости в точках непагруженной поверхности детали). Для плоского напряженного состояния главные напряжения обозначаются через н 02 (ij >. С2). Полное напряжение иа любой площадке параллельно плоскости, в которой действуют главные напряжения Sj и 32-Объемное (трехосное) все три главных напряжения отличны от нуля. [c.8]

С другим примером использования оптического метода в измерении напряжений мы встречаемся в работе Менаже (M snager) ), который произвел проверку радиального распределения напряжений в пластинке под действием на нее сил, приложенных в ее срединной плоскости. Таким образом, мы видим, что уже в конце XIX века инженеры начали признавать ценность оптического метода исследования напряжений. Первые годы XX века были ознаменованы быстрым ростом его применений, ныне же этот метод стал одним из самых эффективных средств экспериментального исследования напряжений. [c.421]

Общие уравнения для больших прогибов весьма тонких пластинок были приведены к более простому виду А. Фёпплем, применившим функцию напряжений для напряжений, действующих в срединной плоскости пластинки ). Лимитирующее условие, по которому пластинка должна быть весьма тонкой , было отброшено Карманом ), уравнения которого нашли использование в упомянутой выше книге А. Надаиив исследовании больших прогибов прямоугольных пластинок Самюэля Леви ). [c.492]

В связи с некоторыми судостроительными про- Рис. 196. блемами, возникшими в русском флоте, автор настоящей книги провел исследование упругой устойчивости прямоугольных пластинок, подвергавшихся действию сил в срединной плоскости ). Простейший случай равномерно сжатой прямоугольной пластинки, свободно опертой по краям, был уже решен Дж. Брайэном (см. стр. 359), но в кораблестроении инженеру приходится сталкиваться обычно с иными условиями и отыскание критических значений напряжений сопряжено здесь с более сложными вычислениями. На этот раз задача была решена для многих частных случаев причем для них были составлены таблицы критических значений напряжений. [c.495]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...