Соотношение ортогональности нормальные

Последние два соотношения являются условиями ортогональности 5-й и г-й форм колебаний. Вектор называется вектором силы инерции, соответствующим з-му нормальному колебанию, а вектор kKs — вектором силы упругости, соответствующим тому же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) можно трактовать как условия ортогональности формы г-го нормального колебания к векторам силы инерции и силы упругости, соответствующим 5-му нормальному колебанию. Использование условий ортогональности нормальных колебаний дает возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с п степенями свободы. Покажем, например, что кинетическая энергия любого собственного колебания равна сумме кинетических энергий всех нормальных колебаний. Кинетическую энергию системы (8.1.4) в матричной форме можно записать в виде [c.286]

В случае = О из (120) следует, что 0 = О, т. е. нормальные линии являются прямыми, направленными вдоль радиусов. Если угол 0 на границе задан, то значение Гт на данной нормальной линии можно найти, записав соотношение (120) для точки пересечения нормальной линии с границей значение 2 В ЭТОМ случае определяется подстановкой граничных значений г и z в соотношение (122). Полученное соотношение представляет собой уравнение нормальной линии, проходящей через данную точку границы. Если построены все нормальные линии, то можно построить и волокна как траектории, ортогональные нормальным линиям. Эту процедуру обычно легче осуществить графически,, нежели аналитически. Приведенное выше построение формы нормальных линий принадлежит Т. Дж. Роджерсу (не опубликовано). [c.340]

Соотношения ортогональности для нормальных волн. При исследовании статики и динамики полосы многие авторы отмечали, что нормальные волны не ортогональны в обычном смысле. Непосредственной проверкой можно убедиться, что интегралы от —Н до Н от произведения функций, описывающих смещения и поворот полосы но поперечной координате для различных нормальных волн, рассмотренных выше, не равняются нулю. Даже в шарнирно опертой полосе нормальные волны не образуют ортогональной системы, так как волны с номерами 2и и 2 — 1 имеют одинаковое распределение смещений по поперечному сечению полосы (см. (6,56) и (6.58)). Это обстоятельство не дает возможности прямо вычислять коэффициенты разложения в ряды но нормальным волнам и затрудняет решение задач на вынужденные колебания. [c.201]

Решение многих задач, возникающих в твердых волноводах, в частности расчет их вынужденных колебаний, оказывается возможным, если найдено соотношение ортогональности в более широком смысле. В этом случае результирующее движение волновода можно искать непосредственно в виде разложения в ряд по нормальным волнам, а применение соотношения расширенной ортогональности позволяет вычислять неизвестные коэффициенты разложения. [c.202]

Применим метод Келдыша к выводу соотношения ортогональности для изгибных нормальных волн в зажатой полосе [53]. Прежде всего следует преобразовать уравнение (6.23) в систему уравнений таким образом, чтобы величина —к = d jdx входила в них линейно. С этой целью можно ввести, например, переменные u =iW ж U2 = L w. Тогда [c.202]

При i Ф п первый множитель отличен от нуля и соотношение ортогональности для изгибных нормальных волн в зажатой полосе принимает вид [c.203]

Соотношения (5-29) показывают, что вообще нормальное напряжение в том или ином направлении не равно среднему из трех взаимно ортогональных нормальных напряжений в точке, если только вязкие эффекты не равны нулю или жидкость не находится в покое. [c.112]

При решении задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится интегрировать в полном и половинном диапазонах изменения ц различные функции нормальных мод. Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогональности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и бол е полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях [1, 2, 6, 25]. [c.402]

Пользуясь известным правилом преобразования от смещений в декартовых координатах к комплексным нормальным координатам уравнением динамики и соотношениями ортогональности для собственных векторов получим следующее выражение для кинетической энергии [c.331]

Связи между выражениями, квадратичными относительно амплитуд нормальных волн. Вектор групповой скорости. Пространственная дисперсия и ортогональность нормальных волн. Теорема взаимности. Между амплитудами нормальных волн можно установить целый ряд соотношений, квадратичных относительно этих амплитуд. Исходными при этом являются уравнения поля (2.3) и (2.5). Для удобства приведем здесь еще раз эти уравнения, а также комплексно сопряженные выражения (частота ш считается вещественной) [c.102]

Векторы поляризации нормальных мод уже не связаны простыми соотношениями ортогональности типа (22.61). Если в нормальной моде смещение [c.70]

Соотношения (7-6.6) и (7-6.7) выражают свойство симметрии, согласно которому одноосное растяжение (а = aj) простой жидкости не приводит к отличным от нуля разностям нормальных напряжений в направлениях, ортогональных направлению растяжения. [c.289]

Заметим, что число нормальных форм колебаний и равное ему число собственных частот совпадает с числом степеней свободы колебательной системы и что две нормальные формы колебаний ортогональны, т. е. имеет место соотношение [c.557]

Если поперечное сечение потока в каждой его точке нормально к вектору скорости, то его называют живым сечением. В общем случае живые сечения криволинейны, а распределение скоростей в них неравномерно. Такие сечения существуют не для всех потоков. Можно доказать, что условием существования живых сечений потока конечных размеров является соотношение .го1 0, г. е. ортогональность вектора скорости и его ротора. [c.32]

Условия для нормальных напряжений приводятся к системе двух функциональных уравнений. Обычный путь — разложение по полным и ортогональным системам функций — приводит эти уравнения к бесконечным алгебраическим системам. Для получения коэффициентов систем кроме соотношений (2.9), (2.16) главы 5 необходимо использовать разложение [c.201]

Более жесткая кинематическая гипотеза введена С. П. Тимошенко при исследовании трансверсальных колебаний приз.мати-ческого стержня [163], позднее обобщенная Рейсснером на случай пластин [156], а затем и оболочек [157]. Конкретно постулировалось следующее нормальные элементы недеформированной оболочки после нагружения остаются прямолинейными, не изменяют своей длины, но не являются ортогональными к деформированной поверхности приведения . Соответствующие данной кинематической гипотезе соотношения, получаемые из (2.38) при условии [c.93]

При изучении распределения напряжений и деформаций в слоистой оболочке будем считать, что материал каждого слоя идеально упруг, а поперечным нормальным напряжением можно пренебречь по сравнению с нормальными напряжениями в плоскости слоя. Считаем также, что материалы всех слоев оболочки имеют плоскость упругой симметрии [8 ], ортогональную оси z. При перечисленных предположениях физические соотношения запишутся в виде [c.26]

Для вывода основного уравнения к гипотезам, принятым выше (т. е. несжимаемость нормального элемента и малость h R)y добавим еще одну ввиду того что коэффициенты Пуассона малы для рассматриваемых материалов, будем пренебрегать их зависимостью от температуры. Из соотношения iV2= 2Vi при этом следует, что модули упругости 2 должны изменяться по температуре одинаковым образом, что подтверждается результатами экспериментальных исследований для стеклопластиков, армированных в ортогональных направлениях [77]. [c.148]

Величины Т1, Т2, тз называются главными касательными напряжениями. Для них справедливо соотношение тх -Н Т2 + тз = = 0. Поверхности, на которых действуют главные касательные напряжения, не являются взаимно ортогональными, а образуют стороны правильного додекаэдра. Его стороны не свободны от нормальных напряжений. [c.29]

Это соотношение показывает, что в случае специального нормального движения функция ар (t) не должна зависеть от i, что несовместимо с нашим предположением if (i) отлична от нуля. Итак, специальное нормальное ортогональное движение невозможно. [c.207]

Разложение о" на нормальную и касательную к йА компоненты дает так называемые нормальное напряжение (т и касательное напряжение at (рис. 1.3). Как видно из рисунка, справедливо соотношение о" Р = + а . Следует всегда помнить, что величины Оп и at, определенные подобным образом, не являются компонентами вектора в обычном смысле. Заметим, что целесообразно касательные напряжения at в плоскости элемента dA вновь раскладывать на два ортогональных направления. [c.14]

Таким образом, область ядра дислокации растворяется чрезвычайно.бьктро, а периферийные участки значительно медленнее., Тем не менее вследствие конкуренции двух процессов растворения деформированных объемов и поверхностных ступенек ( двумерных зародышей ), имеющих ортогональные векторы скорости, травление может идти в глубину (образуются туннели ) и распространяться в ширину (возникают плоскодонные ямки травления, особенно после ухода дислокаций из данного места). Какой из процессов окажется преобладающим, зависит от соотношения. между нормальной скоростью растворения (в глубину) и тангенциальной скоростью (вдоль поверхности). Если Rj , [c.59]

Таким образом, область ядра дислокации растворяется чрезвычайно быстро, а периферийные участки значительно медленнее. Тем не менее вследствие конкуренции двух процессов растворения деформированных объемов и поверхностных ступенек ( двумерных зародышей ), имеющих ортогональные векторы скорости, травление может идти в глубину (образуются туннели ) и распространяться в ширину (возникают плоскодонные ямк-и травления, особенно после ухода дислокаций из данного места). Какой из процессов окажется преобладающим, зависит от соотношения между нормальной скоростью растворения Rq (в глубину) и тангенциальной скоростью Rf, (вдоль поверхности). Если С а> то возникает плоскодонная ямка травления, которая после перемещения ступени исчезает. Наоборот, при R > Rj образуется тонкий туннель вдоль дислокации. Нормальная скорость i B пропорциональна частоте появления двумерных- зародышей [20], а тангенциальная Rf, характеризует скорость их расширения при перемещении ступеней. Отношение RqIRa можно регулировать введением в раствор ингибирующих и стимулирующих примесей, избирательное действие которых аналогично действию полирующих электролитов, Примеси, находящиеся в металле, могут оказывать двоякое действие с одной стороны, при 62 [c.62]

Полученное соотношение ортогональности (7) значительно облегчает процедуру разложения произвольных функций в ряды по собственным формам обобщенных краевых задач и решение неоднородных уравнений вида (1). Описанным здесь способом могут быть получены соотношения ортогональности для резонансных форм движушихся стержней и струн [6] с граничными условиями типа (И), для нормальных волн Лэмба [7] в толстом упругом слое, для волн в тонкой полосе [8] и, по-видимому, для нормальных волн любого твердого волновода. [c.9]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Изложенный в этом параграфе подход может быть распространен и на более сложный случай, когда массы и пружины прикрепляют к обоим концам стержня. В этом случае, как следует из выражения (г), нормальные функции будут содержать оба ненулевых слагаемых, поэтому частотное уравнение будет иметь больше членов. Кроме того, соотношения ортогональности и нормированности будут содержать члены с массами и жесткостями пружин, прикрепленными к обоим концам стержня, но при этом начальные условия, записанные в нормальных координатах, можно представить в виде, когда они будут определяться только влиянием прикрепленных на концах стержня масс. В качестве упражнения предлагаем читателю получить эти более сложные (но и более общие) выражения, описывающие продольные колебания призматических стержней. Аналогичный с точки зрения математической формулировки случай вала с закрепленными на концах дисками будет обсужден в п. 5.7, а случай предварительно растянутой нити с дополнительными пружинами, препятствующими поперечным перемещениям, будет рассмотрен в п. 5.8. [c.352]

Из соотношений ортогональности (5.59) и нормированности (5.62) видно, что при I == / соотношения (р) и (с) приводят к следующим представлениям для начальных перемещений и скоростей в нормальных координатах [c.364]

Соотношения (2.38) определяют кинематически однородную модель оболочки с нежесткой нормалью, которая представляет оболочку как тело с 6 кинематическими степенями свободы три перемещения в пространстве Vx, иу, цр, два угла поворота в плоскостях х, г и у, г соответственно у и уу обжатие ух нормального (т. е. прямолинейного и ортогонального к поверхности приведения) элемента оболочки. На рис. 2.4 показан один из возможных вариантов изменения по толщине Л1-слойного пакета для рассматриваемой модели. Для качественного сравнения с моделями (см. раздел 2.1.5.1) на рисунке приведены обозначения компонент вектора перемещений отдельных слоев пакета Выражение (2.38) можно получить из (2.34), полагая [c.92]

Таким образом, соотношения (2.39), которые по смыслу являются условия.ми кинематической однородности модели слоистого пакета, устанавливают взаимосвязь между кинематически неоднородной и однородной моделями с нежесткой нормалью первого порядка. Соотношения (2.39) означают, что в отличие от модели (2.34), в которой нормальные элементы всех слоев пакета обладают лишь тремя общими степенями свободы, связанными с перемещениями в пространстве пакета как целого, в модели (2.38) общими являются все 6 рассматривае.мых кинематических степеней свободы нормального элемента каждого слоя, т. е. пакет рассматривается как кинематическое целое с одним общим нормальным элементом, соединяющим обе граничные поверхности слоистого пакета. Следовательно, соответствующая модели (2.38) кинематическая гипотеза может быть сформулирована следующим образом нормальные элементы недеформированной оболочки после нагружения оболочки остаются прямолинейными, но изменяют свою длину и не являются ортогональными к деформированной поверхности приведения . [c.93]

Ортогональным поляризациям соответствуют нормальные циклические операторы [82], т. е. такие, для которых выполняется соотношение (где — эрмитово сопряженный оператор). Отсюда легко получить условие ортогональности собственных поляризаций [c.154]

Можно показать [76], ЧТО для возможности применения метода возмущений необходимо и достаточно, чтобы невозмущенная матрица Джонса и эрмитово сопряженная матрица имели одни и те же собственные векторы. Этому требованию удовлетворяют нормальные матрицы [82], т. е. такие, для которых справедливо соотношение где знак соответствует эрмитову сопряжению. Существенно также, что для нормальных матриц операция умножения на произвольный вектор с последующим скалярным умножением на другой произвольный вектор обладает свойством коммутативности, т. е. (Л501 62) = ( 02 01). Матрица тогда и только тогда является нормальной, когда она имеет полную ортонормированную систему собственных векторов. Отсюда критерием возможности применения метода возмущений для расчета поляризационных характеристик является ортогональность собственных [c.159]

Отдельную группу представляют поворотные компенсаторы. Они выполняются в виде одиночной или составной плоскопараллельной пластинки из анизотропного материала. Изменение разности хода осуществляется поворотом вокруг оси 00 лежащей в плоскости пластинки (рис. 4.4.5). Здесь представлены два возможных варианта такого компенсатора. Компенсатор в виде одиночной пластинки (компенсатор Берека) представляет собой плоскопараллельную пластинку, вырезанную перпендикулярно оптической оси (рис. 4.4.5,а). При нормальном падении света (а = 0) разность хода равна нулю, так как луч света идет параллельно оптической оси и показатели преломления для ортогональных компонент (параллельной и перпендикулярной оси вращения) равны между собой. При наклонном падении разность хода вычисляется по формуле (4.3.18) с учетом соотношений (4.3.19) и (4.3.20), которую запишем в виде [c.293]

Ниже приводятся основные механические характеристики стеклопластика АГ-4-С (в дальнейшем называемого материалом) при нормальной температуре. Рассматриваются стеклопластик с однонаправленным расположением нитей и равнопрочный материал, армированный в двух ортогональных напраапениях с соотношением продольных и поперечных слоев 1 1. Угол между направлением нагружения и направлением армирования обозначен через ф. В табл. 15 приведены стандартные свойства материала. Значе-, ния предела прочности при растяжении, сжатии, изгибе, срезе, модуля упруго-. сти и других механических характеристик однонаправленного материала содержатся в табл. 16. [c.41]

В табл. 44, 45 приведены основные механические характеристики материала 33-18С при нормальной температуре. Рассматриваются механические свойства стеклопластика с однонаправленным расположением нитей и равнопрочного ортогонально армированного материала с соотношением продольных и поперечных слоев 1. 1. Угол между направлением нагружения и направлением армирования обозначен через (р. [c.66]

П. 11.6. Покажите сначала, что ось йдХ Л ft нормальна к плоскости, определяемой векторами даХ и дьх. Поскольку. скалярное произведение в пространстве тензоров определяется как tr(AB), соотношение ( 1.11-22) устанавливает, что тензоры W и йдХ Л х ортогональны друг другу. Поэтому оси их перпендикулярны, т. е. е — ось.тензора W — лежнт в плоскости, определяемой даХ и дь. В соответствии с первым утверждением этого решения вектор е есть ось тензора пЛ f. так что [c.529]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...