Условие ортогональности собственных фор

Условие ортогональности собственных векторов. Рассмотрим два вектора 1оО) и 1оО), которые удовлетворяют уравнению (4.101) [c.102]

С точки зрения краевых условий в правой части (4.112) имеется только два различных слагаемых, например (AQo< -Uo< >) и (АМо< )-<1о< ). При однородных краевых условиях эти скалярные произведения всегда при е=0 и е—1 равны н тю, поэтому из (4.111) получаем условие ортогональности собственных векторов [c.103]

Коэффициенты разложения Ф (0 получим из (10.3.2), пользуясь условиями ортогональности собственных функций свободной системы [c.334]

Соотношения (13.2.5) выражают условия нормирования и одновременно повторяют условия ортогональности собственных форм. [c.434]

Подставив (1.70) и (1.71) в (1.69) и учтя условие ортогональности собственных форм [c.47]

Из условия ортогональности собственных функций с весом с (М) в правой части этого равенства отличным от нуля и равным согласно [c.164]

Из условия ортогональности собственных функций в правой части этого равенства отличным от нуля и равным единице будет лишь тот из интегралов, для которого т п. Отсюда следует, что Лщ = Тщ (М ( ) и (4.53) переводит решение в изображениях в искомый оригинал, т. е. с учетом (4.52) и выражения для (p. ) получили решение задачи стационарной теплопроводности [c.167]

Оно показывает, что формы колебаний ортогональны друг другу относительно матрицы масс, и называется поэтому условием ортогональности собственных форм. [c.361]

Путем рассуждений, вполне аналогичных изложенным в 6-1, пользуясь условием ортогональности собственных функций, которое в данном случае имеет вид [c.93]

В последнем случае частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде разложения в ряд по найденным собственным функциям. Доказывается условие ортогональности собственных функций в случае учета деформации сдвига. [c.90]

Мы видели, что собственные формы колебаний системы образуют последовательность, причем каждая форма отличается от всех остальных. На языке математики говорят, что каждая собственная форма ортогональна ко всем остальным формам, причем условие ортогональности может быть записано в виде математического соотношения. Это условие играет важную роль в теоретических исследованиях, и поэтому весьма существенно, что условие ортогональности собственных форм колебаний системы без демпфирования оказывается гораздо проще соответствующего условия для собственных форм, наблюдаемых при наличии демпфирования. [c.51]

Соответственно условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко найти А и В для любого номера г. [c.210]

Так как собственные функции ф<б уравнения (7.126) удовлетворяют условию ортогональности, то из (7.143) получаем [c.203]

Условие ортогональности (17.13) собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям, полностью сохраняется для непрерывного спектра [c.108]

Последние два соотношения являются условиями ортогональности 5-й и г-й форм колебаний. Вектор называется вектором силы инерции, соответствующим з-му нормальному колебанию, а вектор kKs — вектором силы упругости, соответствующим тому же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) можно трактовать как условия ортогональности формы г-го нормального колебания к векторам силы инерции и силы упругости, соответствующим 5-му нормальному колебанию. Использование условий ортогональности нормальных колебаний дает возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с п степенями свободы. Покажем, например, что кинетическая энергия любого собственного колебания равна сумме кинетических энергий всех нормальных колебаний. Кинетическую энергию системы (8.1.4) в матричной форме можно записать в виде [c.286]

Минимум этого выражения при дополнительном условии ортогональности (8.2.15) достигается, когда Хр = С К , т. е. когда начальное распределение колебаний совпадает со второй собственной формой. Аналогичным образом можно найти все собственные частоты колебаний (о, и собственные формы К . [c.288]

В случае же задачи 1 (полагая, что собственные функции союзного уравнения уже найдены и условие существования решения при заданном краевом условии проверено) и задачи 11+ следует воспользоваться соображениями, изложенными в 2 ГЛ. I. Первый прием заключается в том, что ряд (2.18) надо рассматривать в асимптотическом смысле, отказавшись от выполнения сколь угодно большого числа итераций при фиксированной дискретизации поверхности. Второй же прием заключается в корректировке каждой итерации (осуществления ортогонального проектирования на подпространство функций, удовлетворяющих условию ортогональности).Тогда формулы (2.32 ) ГЛ. I преобразуются к виду [c.576]

Выполнение условий ортогональности легко проверяется. Амплитуды каждой из собственных форм можно умножить на [c.181]

Равенство (13.2.4) выражает свойство ортогональности собственных форм колебаний, установленных для элементарной теории стержневых систем в 6.2. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты Шл всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что toi = = а + г . Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень (02 = а — ф. Соответствующие собственные формы будут также комплексно сопряженными [c.434]

Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой кратности. Пусть, например, Х будет т-кратным корнем векового уравнения. В этом случае нам нужно будет получить m ортогональных и нормированных собственных векторов fli, . т- Для этого достаточно взять т любых собственных векторов а[,. .а и образовать из них соответствующие линейные комбинации. Вектор можно получить тогда, умножая а[ на соответствующий коэффициент. После этого можно образовать вектор й2, составляя линейную комбинацию векторов а[ и с, и т. д. Число постоянных, подлежащих при этом определению, будет равно сумме m первых целых чисел, т. е. у m (т + 1). Но так как эти постоянные должны удовлетворять m условиям нормирования и — т(т — 1) условиям ортогональности, то в общей сложности у нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения всех этих постоянных. [c.358]

Найденные описанным выше способом п линейно независимых собственных векторов Ur удовлетворяют условиям ортогональности. [c.153]

Решим теперь задачу другим способом, основывая решение не на алгебре квадратичных форм, а на уравнениях движения. Если корни уравнения периодов простые, то уравнение (9.2.2) определяет собственные значения единственным образом с точностью до скалярного множителя условия ортогональности (9.2.34), (9.2.35) при этом выполняются автоматически. [c.153]

Определим действительный собственный вектор и , соответствующий каждому собственному значению р - В случае простых собственных значений никаких трудностей при этом не возникает собственные векторы определяются однозначно (с точностью до скалярного множителя), и любая их пара удовлетворяет условиям ортогональности (9.2.34), (9.2.35). Если же уравнение периодов имеет кратные корни, регаение усложняется, к собственных векторов, соответствующих /с-кратному корню, должны быть выбраны так, чтобы они образовали независимую систему векторов и чтобы каждая их пара удовлетворяла условиям ортогональности (см. 9.2, п. 3). Практически бывает достаточно удовлетворить условию (9.2.34) условие (9.2.35) тогда выполняется автоматически. [c.155]

Условие ортогональности (109.3) удовлетворяется (и поэтому сохраняется собственная масса), если 4-сила зависит от 4-скорости следующим образом [c.400]

Обращаем внимание на то, что 1 а т могут быть непостоянны вдоль оси балки и являться функциями от г. Если бы была известна функция Ко (г), описывающая с точностью до множителя, зависящего лишь от времени, вид оси балки в процессе колебаний по одной из собственных форм, то, подставляя ее в (17.336), получили бы точное значение квадрата соответствующей собственной частоты колебаний но функция Vo z) нам неизвестна. Однако, если задаться видом функции VQ z) для аппроксимации одной из собственных форм колебаний, разумеется, удовлетворяя при этом граничным условиям и условиям ортогональности аппроксимации искомой собственной формы колебаний всем ранее принятым аппроксимациям собственных форм с меньшими номерами, то, подставляя принятый вид функции в (17.336), получаем приближенное значение соответствующей собственной частоты колебаний. Степень близости этого значения к точному [c.239]

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций щ (дг) и у/, (х), соответствующих двум различным собственным значениям Pi и Р/,, выполняются условия 6 6 [c.301]

Если все коэффициенты вязкого трения тг]. . = 0, то уравнение (1-2) имеет действительные собственные значения +со . и Зп действительных собственных векторов Д, удовлетворяющих условию ортогональности Я" МЯ = о при кфт [c.10]

Так как между координатами двух собственных винтов, соответствующих собственным частотам и Я ), существует условие ортогональности [c.255]

Математическая особенность задач с неортогональными собственными функциями состоит в том, что параметр X, имеющий физический смысл частоты или постоянной распространения, входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов, а также содержится в выражениях для граничных условий. Такого типа краевые задачи называются обобщенными [4]. Наиболее глубокие результаты в этой области получены в работе Келдыша [5]. В ней исследованы вопросы полноты и ортогональность собственных функций дифференциальных уравнений, содержащих параметр X в виде полинома степени п с граничными условиями, не содержащими этого параметра. [c.6]

Коэффициенты определяются в зависимости от начальных условий. В работе [81 эти коэффициенты определены исходя из ортогональности собственных функций. Если при t = to задано начальное распределение w (х, to), то для можно получить формулу [c.192]

Для того чтобы определить аналитический вид профилей температуры и концентрации целевого компонента в жидкой пленке, используем условие ортогональности собственных функций оператора Штурма—Лиувилля. С этой целью домножим уравнение (8. 4. 31) на 7 , (т ) и проинтегрируем по т [c.323]

Если коэффициент вяэкого трения т] постоянен для всего объема, то, воспользовавшись условием ортогональности собственных функций, получим [c.24]

Ортогональным поляризациям соответствуют нормальные циклические операторы [82], т. е. такие, для которых выполняется соотношение (где — эрмитово сопряженный оператор). Отсюда легко получить условие ортогональности собственных поляризаций [c.154]

Величины р2/0(х) и р 1ф(л ) называются иногда собственными нагрузками стержня. Применив к этим нагрузкам обобщенный принцип взаимности Рэлея [77], выражающийся здесь в равенстве работы нагрузки pfiQlix) на перемещении бДх) работе нагрузки р11в ,х) на перемещении 64(0 ), получим условие ортогональности собственных форм крутильных колебаний. В самом деле, из равенства этих работ [c.252]

Собственное значение и собственную функцию системы, находящейся в данном квантовом состоянии, определяют. путем отысканий волновой функции, которая дает минимум энергии в выражении (2-47), удовлетворяющей условию ортогональности, граничным условиям. Необходимо также сделадь еще одно замечание. Так как Н представляет собой с) мму энергии кинетической и потенциальной, причем кйнетическая энергия определяет в основном величину энергии связи, то в дальнейшем будем считать, что Н = Ек- [c.53]

Представляется небезынтересным отметить следующий момент, вытекающий из соответствия между интегральными уравнениями задач 1+ и II . Допустим, число /г есть частота собственных колебаний. Тогда интегральное уравнение задачи 1+ будет иметь нетривиальное решение, но из разрешимости краевой задачи будет следовать, что условия ортогональности выполняются. Ввиду же союзности интегрального уравнения задачи II число также оказывается на спектре, но условия ортогональности здесь не должны выполняться, что и приводит к неразрешимости уравнения. В этом случае необходимо модифицировать представление для амплитуд, введя в него определенные слагаемые [27]. [c.571]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...