Условия совместности Сен-Венана

Условия совместности Сен-Венана [c.509]

Условия совместности Сен-Венана вытекают из постулирования евклидовых свойств пространства, связанного с деформированной средой. Сравнительно недавно такое постулирование внутренних свойств пространства с метрикой, изменяющейся при деформировании твердого тела, не вызывало сомнений. Лишь в пятидесятых годах, в связи с развитием континуальной теории дислокаций, было выяснено, что такое постулирование в ряде случаев должно быть заменено более общими представлениями о внутренних свойствах пространства. Здесь мы ограничимся классическим изложением. Возвратимся к равенствам (IV. 80) и вопросу о возможности преобразования метрики в деформированной среде к евклидовой метрике в эйлеровых переменных. [c.509]

В теории малых деформаций, которые изучает теория упругости, линеаризированные уравнения (IV.97) — (IV. 101) известны под названием условий совместности Сен-Венана. [c.510]

Условия совместности Сен-Венана обеспечивают сплошность полученного таким способом односвязного тела. Но если приближаться к разрезу с двух различных сторон, то компоненты перемещения по (1.60) будут получаться различными. Пусть й+ и М" —значения вектора и, полученные при приближении к некоторой точке разреза с той или другой стороны. Условие неразрывности деформаций для тела в целом будет выполнено только в том случае, если наряду с условиями совместности соблюдены дополнительные требования = и вдоль всех разрезов, мысленно проведенных в теле с целью сделать его односвязным. [c.14]

Таким образом, соотношения (3.45) обеспечивают совместность шести дифференциальных уравнений (3.26) для определения трех функций Uk. Эти уравнения совпадают с условиями совместности Сен-Венана, поэтому условия Сен-Венана также обеспечивают интегрируемость шести дифференциальных уравнений (3.26). С учетом условий Сен-Венана формулы (3.44) определяют Uh независимо от формы кривой интегрирования, лежащей целиком в области т. [c.59]

Тогда условия совместности Сен-Венана (1.93) принимают вид [c.199]

Тогда нагружение элементов тела, как показал А. А. Ильюшин [ ], будет простым. В самом деле, пусть при t= в теле будут напряжения а х,. .. и деформации. .. Другими словами, этими значениями удовлетворены дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, условия совместности Сен-Венана и соотношения теории упруго-пластических деформаций (13.27) при законе (15.2). [c.56]

При выводе вариационного уравнения (20.18) совершенно не затрагивались механические свойства сплошной среды, использована лишь ее непрерывность. Действительному напряженному состоянию соответствуют деформации, для которых выполняются условия совместности Сен-Венана. Можно показать, что условия совместности Сен-Венана вытекают из уравнения (20.18). Следовательно, вариационное уравнение (20.18) является энергетической формулировкой условия неразрывности деформаций (доказательство имеется в курсе Л. С. Лейбензона [ ]). [c.72]

Напряжения, получаемые в результате решений каждой составляющей задачи, будут удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, условиям совместности Сен-Венана и физическим краевым условиям — контурной нагрузке. Однако этих условий недостаточно для определения однозначного решения в случае двухсвязной области. Дополнительными условиями однозначности являются условия (IV. 36), позволяющие определить постоянные Шо, К я Ь [c.309]

Условия (1.2) — условия совместности Сен-Венана. [c.73]

Исключая из (1.10) величину получим условие совместности Сен-Венана [c.347]

Главная заслуга теории Сен-Венана заключается именно в том, что она позволяет точно определить касательные напряжения при изгибе, и это составляет суш,ность теории изгиба призматических стержней. Следует заметить, что напряжённое состояние изогнутого бруса, определяемое в теории сопротивления материалов, не удовлетворяет условиям совместности Сен-Венана, а следовательно, не может сущ,ество-вать в изотропном теле ). [c.305]

С (У X ). Если же потребовать выполнения условий совместности Сен-Венана, то следует брать 6 (У х 3 ) Oi,-, ец, [c.94]

Перейдем к рассмотрению связей третьего рода. Уравнения этих связей выражаются условиями совместности Сен-Венана, совпадающими с условием равенства нулю тензора Эйнштейна [38] [c.21]

Предположим сначала, что выполняются условия совместности Сен-Венана (2.21), т. е. отсутствуют источники внутренних напряжений. Тогда разность 0 — ре будет тождественно равна нулю, так как тензор определяется равенствами (2.82), вытекающими из уравнений движения (2.62), точно также в этом случае определяется ё из равенств (2.32). При этом из уравнений движения (2.88), (2.89) находим упрощенные уравнения [c.49]

Остальные две компоненты тензора напряжений агз = Ogg и аз1 = ais должны удовлетворять уравнениям равновесия (2.27), граничным условиям ( 29) н, имея в виду (7.305), условиям совместности Сен-Венана (1.93) [c.199]

В самом деле, пусть при t— ъ теле будут напряжения а г, и деформации г ц. Эти величины, следовательно, удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (4.2) при /у=0, Шу=0, граничным условиям (1.22), условиям совместности Сен-Венана (2.16) и уравнениям деформационной теории (14.24) при степенном законе (15.15). [c.68]

Условия совместности Сен-Венана для малых деформаций получаются из (6.76), (6.71). Символы Кристофеля (учитывая Яи = + 2гг ) будут малыми порядка б, а их произведения— порядка 6 и потому вторая группа слагаемых в (6.76) должна быть опущена. В результате получаем шесть уравнений [c.85]

Условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений (4.2) относительно перемещений являются уравнения совместности Сен-Венана, обращающие в нуль симметричный тензор несовместности Т] [c.235]

Можно представить себе также совместное использование условия пластичности Сен-Венана и закона пластического деформирования [c.209]

Функционал Жа принимает минимальное значение. Теорема, обратная к теореме Кастильяно и гласящая, что если Па есть абсолютный минимум, то тензор напряжения должен удовлетворять заданным граничным условиям и уравнениям совместности Сен-Венана, была доказана Саусвеллом (см. список литературы). Для линейно упругих тел эта обратная теорема приводит в результате к уравнениям в напряжениях Бельтрами — Мичелла. [c.130]

Эти уравнения являются необходимыми условиями того, что существует поле перемещений ш(х, Х2, х ), по которому определяются деформации ец согласно (1.53). Для односвязной области (т. е. области, ограниченной гладкой кривой и не имеющей отверстий) уравнения совместности Сен-Венана являются также достаточными условиями существования однозначного поля перемещений [c.47]

Условия, или уравнения, совместности Сен-Венана в линейном приближении эквивалентны условиям равенства нулю компонент тензора кривизны трехмерного пространства, связан- [c.14]

Уравнения совместности деформаций в некоторых системах координат (условия Сен-Венана) [c.56]

Если тело многосвязно, то интеграл в формуле (3.44) может, вообще говоря, получить конечные приращения, в силу чего не обеспечивается однозначность перемещений, тогда как они должны быть однозначными. Многосвязное тело с помощью надлежащих мысленных разрезов можно обратить в односвязное, тогда при соблюдении условий совместности деформаций Сен-Венана перемещения Uh, определяемые (3.44), будут однозначными функциями, если кривая интегрирования нигде не пересекает линий разрезов. При приближении точки М к какой-либо точке линии разреза с левого или правого берега uu будут принимать, вообще говоря, различные значения. Отсюда становится ясно, что в случае много-связной области для обеспечения совместности деформаций дополнительными условиями будут (и )л.бер= (Ый)пр.бер ВДОЛЬ ВСеХ ЛИНИЙ разрезов. [c.59]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Можно проверить, что линеаризация условий Rprst = по вектору перемещений и приводит к условиям совместности Сен-Венана (1.63) [c.15]

Для получения системы уравнений в компонентах напряжения необходимо к дифференциальным уравнениям равновесия присоединить соотношения, аналогичные тождествам Бельтрами — Мичеля в теории упругости. Для этого в условия совместности Сен-Венана [c.61]

Условия совместности Сен-Венана для малых деформаций получаются из (5.4), (5.9). Символы Кристоффеля (учитывая gij= = бг + 2ег ) будут мзлыми порядка 6, а их произведения — порядка б . В результате получаем шесть уравнений [c.90]

Распространение методов лагранжевой и гамильтоновой механики на непрерывные среды оказалось нетривиальным. Пришлось начинать с изучения основополагающих для аналитической механики представлений о внутренних связях в сплошной среде, которая рассматривалась как несвободная система, без предварительного введения аксиомы об освобождаемости от связей. В механике сплошной среды следует различать связи первого, второго, третьего и четвертого рода. Этим связям соответствуют введенные нами переменные поля четырех родов. Связи третьего и четвертого рода, которыми являются условия совместности Сен-Венана и несовместности Кренера, налагают ограничения на внутреннюю геометрию пространства, связанного с деформируемой средой. Даже в случае выполнения условий совместности Сен-Венана реакции этих связей. [c.3]

Второе поле напряжений выявляется на уровне деформаций, описываемых тензором деформаций, или на уровне скоростей деформаций, описываемых тензором скоростей деформаций. Это поле связано с условиями совместности Сен-Венана или условиями несовместности Кренера, если рассматривать состояния [c.36]

Возвратимся к механике сплошной среды. Из предыдущего видно, что уравнения движения элемента сплошной среды в переменных поля первого рода не содержат компоненты реакций связей третьего и четвертого рода. Поля реакций этих связей не изучались ранее. Они не могут быть выявлены при наличии вектора перемещений элементов твердого тела и переменных поля, совпадающих с компонентами этого вектора. Действительно, в этом случае физической геометрией пространства, связанного с деформируемой средой, является евклидова геометрия, и условия несовместности Кренера превращаются в условия совместности Сен-Венана, которые тождественно удовлетворяются, если переменными поля избрать компоненты вектора перемеи ений. Иначе говоря, связи третьего рода как бы исчезают. Не выявляются и их реакции. Однако эти обстоятельства существенно зависят от выбора переменных поля. [c.37]

Множители fi имеют размерность напряжений. Заметим, что члены, содержащие множители [i и в каждом уравнении соответствуют левым частям условий совместности Сен-Венана или условий несовместности Кренера. [c.42]

Слагаемые, содержащие компоненты тензора множителей Лагранжа, являются компонентами реакций внутренних связей, определяемых условиями совместности Сен-Венана, или условиями несовместности Кренера, при указанных выше упрощающих предположениях относительно тензора т) . Кроме уравнений (2.88), (2.89) множители входят в краевые условия [c.42]

Недостающие уравнения дает условие совместности. Если предположить, что тензор Р найден, то, в силу (6), будет известен и- тензор. Построение перемещения 3 - Р тогда. сведется к задаче об отыскании поля перемещений игпо тензору деформаций й. Эта задача была рассмотрена в лекции 7 где было выяснено,, что она разрешима тогд и только тогда, когда тензор удовлетворяет условию совместности Сен-Венана 7(11). Если ввести в рассмотрение "тензор несовместимости" [c.24]

На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тензор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При решении же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны бьпъ наложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое назьшается условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности деформаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций в (1.2.88) является необходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравнений О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П1.108) с заменой в ней а на и ао на uo Тс на Т о и Ть на Те [c.42]

Уравнение совместности. В некоторых случаях удобно решать задачу в терминах деформаций, не рассматривая перемещения. Однако не нужно забьшать о том, что деформации выражаются через перемещение, а потому не являются независшыш. Для случая малой деформации необходимым и достаточным условием для определения переменил по деформации (с точностью до жесткого перемещения).является выполнение уравнения совместности Сен-Венана [c.66]

Можно доказать, что уравнения совместности деформаций являются необходимыми условиями для возможности определения перемещений по заданным компонентам деформации. Если рассматривается односвязанное тело, не имеющее сквозных полостей, то условия Сен-Венана оказываются достаточными для этой цели. Для многосвязанного тела условия Сен-Венана также позволяют определить перемещения (и, V, т), однако, в этом случае эти перемещения могут представиться как многозначные функции от X, у, г, и требуется введение дополнительных условий. Уравнение совместности деформаций всегда удовлетворяется, если найденные компоненты тензора деформаций имеют постоянное значение и являются функциями декартовых координат (так как вторая производная будет равна нулю). [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...