Условие Сен-Венана Б. совместности деформаций

Уравнения совместности деформаций в некоторых системах координат (условия Сен-Венана) [c.56]

Если тело многосвязно, то интеграл в формуле (3.44) может, вообще говоря, получить конечные приращения, в силу чего не обеспечивается однозначность перемещений, тогда как они должны быть однозначными. Многосвязное тело с помощью надлежащих мысленных разрезов можно обратить в односвязное, тогда при соблюдении условий совместности деформаций Сен-Венана перемещения Uh, определяемые (3.44), будут однозначными функциями, если кривая интегрирования нигде не пересекает линий разрезов. При приближении точки М к какой-либо точке линии разреза с левого или правого берега uu будут принимать, вообще говоря, различные значения. Отсюда становится ясно, что в случае много-связной области для обеспечения совместности деформаций дополнительными условиями будут (и )л.бер= (Ый)пр.бер ВДОЛЬ ВСеХ ЛИНИЙ разрезов. [c.59]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Из условий совместности деформаций Сен-Венана, как легко видеть, остается следующее [c.100]

Шесть соотношений, вытекаюш,их из зависимостей (1.93) три типа (1.94) и три типа (1.95), — называются условиями неразрывности или совместности деформаций. Впервые (1864) они были получены Сен-Венаном (1797—1886) и часто называются дифференциальными зависимостями Сен-Венана. [c.25]

Соотношения (2.26) — (2.28) называют условиями совместности деформаций Сен-Венана. Покажем, что эти условия являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости соотношений Коши и представляют полную возможность восстановления по деформациям поля смещений. [c.213]

УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ СЕН-ВЕНАНА [c.31]

Условия совместности деформаций Сен-Венана [c.31]

Каков физический смысл условий совместности деформаций Сен-Венана [c.34]

Два последних условия могут быть написаны, если воспользоваться циклической перестановкой букв. Всего составлено шесть условий совместности деформаций. Впервые их получил в 1860 г, Б. Сен-Венан. Поэтому они носят название уравнений Сен-Венана. [c.472]

Если интегралы по замкнутой кривой в (6.30) не равны нулю, то перемещения в точке Mq неоднозначны. Можно показать, что если мысленно произвести разрез, превращающий двухсвязную область в односвязную, и если перемещения хотя бы двух точек, лежащих на противоположных краях разреза друг против друга, оказываются одинаковыми, то и все остальные соответствующие точки краев разреза перемещаются одинаково, т. е. соблюдается совместность деформаций в целом для всего тела. Таким образом, в двухсвязном теле условие однозначности перемещений требует не только выполнения условий Сен-Венана (6.23), без чего нельзя [c.478]

Аналогично можно получить еще два равенства, которые вместе с последним соотношением составляют первую группу условий совместности деформаций Сен-Венана [c.330]

Таким образом, одним из способов сокращения количества неизвестных при решении задач теории упругости является исключение из рассмотрения перемещений. Тогда вместо соотношений Коши в полную систему уравнений будут входить условия совместности деформаций Сен-Венана. [c.331]

Шесть дифференциальных уравнений (1.84), (1.86) называются условиями совместности деформаций или уравнениями Сен-Венана. Эти уравнения, как и законы сохранения, являются фундаментальными уравнениями, поскольку не зависят ни от механических свойств среды, ни от характера ее деформирования. Энергетический смысл уравнений (1.84), (1.86) заключается в том, что потенциальная энергия деформаций, накапливаемая телом, минимальна. [c.24]

Исключив отсюда перемещения, получим условие совместности деформаций Сен-Венана [c.128]

Условие Сен-Венана Б. совместности деформаций 42 [c.316]

Условия совместности деформаций (2.34)... (2.36) часто называют условиями Сен-Венана. [c.48]

Термодинамика деформирования (235). Соотношения линейной теории упругости (238). Условия совместности деформаций для линейных задач (239). Система уравнений теории упругости (240). Граничные условия (242). Принцип Сен-Венана (243). [c.8]

Это условия совместности деформаций в форме Сен-Венана. [c.240]

Мизеса или Кулона-Сен-Венана, деформации являются неопределёнными и, в частности, неопределённой является функция ср в формулах (4.90). Предположим, что напряжения в пластинке, удовлетворяющие уравнениям равновесия (4.86), условию пластичности и некоторым условиям на границе пластической области, найдены. Тогда из условия совместности деформаций (4.90) можно составить следующее дифференциальное зфавнение для функции ср [c.185]

Условия совместности деформаций. Компоненты деформации должны удовлетворять шести тождественным соотношениям Сен-Венана [c.26]

В теории малых деформаций, которые изучает теория упругости, линеаризированные уравнения (IV.97) — (IV. 101) известны под названием условий совместности Сен-Венана. [c.510]

Условия совместности Сен-Венана обеспечивают сплошность полученного таким способом односвязного тела. Но если приближаться к разрезу с двух различных сторон, то компоненты перемещения по (1.60) будут получаться различными. Пусть й+ и М" —значения вектора и, полученные при приближении к некоторой точке разреза с той или другой стороны. Условие неразрывности деформаций для тела в целом будет выполнено только в том случае, если наряду с условиями совместности соблюдены дополнительные требования = и вдоль всех разрезов, мысленно проведенных в теле с целью сделать его односвязным. [c.14]

Если задаваться компонентами тензора напряжений atj (хи), то решение обратной задачи будет несколько сложнее. В этом случае перемещения ыг (х ) находятся интегрированием уравнений (4.1), что возможно, если компоненты тензора деформации (х ), которые определяются формулой (4.5) закона Гука по принятым функциям oij (Xk), будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана (4.2). Следовательно, компонентами тензора напряжений oi] (Xfi) надо задаваться так, чтобы выполнялись условия совместности [c.73]

Тогда нагружение элементов тела, как показал А. А. Ильюшин [ ], будет простым. В самом деле, пусть при t= в теле будут напряжения а х,. .. и деформации. .. Другими словами, этими значениями удовлетворены дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, условия совместности Сен-Венана и соотношения теории упруго-пластических деформаций (13.27) при законе (15.2). [c.56]

При выводе вариационного уравнения (20.18) совершенно не затрагивались механические свойства сплошной среды, использована лишь ее непрерывность. Действительному напряженному состоянию соответствуют деформации, для которых выполняются условия совместности Сен-Венана. Можно показать, что условия совместности Сен-Венана вытекают из уравнения (20.18). Следовательно, вариационное уравнение (20.18) является энергетической формулировкой условия неразрывности деформаций (доказательство имеется в курсе Л. С. Лейбензона [ ]). [c.72]

Если из уравнений (1.7) исключить перемещения Uy и иг, то между компонентами деформации получим шесть дифференциальных соотношений, именуемых условиями совместности (или неразрывности) деформаций Сен-Венана [c.17]

Можно доказать, что уравнения совместности деформаций являются необходимыми условиями для возможности определения перемещений по заданным компонентам деформации. Если рассматривается односвязанное тело, не имеющее сквозных полостей, то условия Сен-Венана оказываются достаточными для этой цели. Для многосвязанного тела условия Сен-Венана также позволяют определить перемещения (и, V, т), однако, в этом случае эти перемещения могут представиться как многозначные функции от X, у, г, и требуется введение дополнительных условий. Уравнение совместности деформаций всегда удовлетворяется, если найденные компоненты тензора деформаций имеют постоянное значение и являются функциями декартовых координат (так как вторая производная будет равна нулю). [c.16]

При решении задач теории упругости в напря5кениях необходимо отыскивать такие функции напряжений, которые бы не только удовлетворяли уравнениям равновесия (уравнениям Навье), статическим граничным условиям, но также и условиям совместности деформаций. В связи с этим уравнения совместности деформаций Сеп-Венана необходимо представить в напряясениях. [c.55]

Таким образом, в случае плоской деформации решение задачи теории упругости существенно упрощается, так как от трехмерной задачи мы переходим к двумерной. В самом деле, поскольку Ег = Цхг = Ууг = О, а следовательно, и Ххг = = Хуг — д z/дz = 0, а таклге 2 = 0, то из трех уравнений равновесия Навье (1.16) остаются только первые два, а из шести условий совместности деформаций Сен-Венана (1.29) — только одно первое. Все остальные уравнения удовлетворяются тождественно. Задача сводится к отысканию напряжений щ, Оу, Хху, деформаций Ех, Еу, Уху из уравнений теории упругости, удовлетворяющих граничным условиям. Затем во вторую очередь определяется напряжение Ог = = р(о1 + щ). [c.64]

Соблюдение условий совместности деформаций (6.23), как уже указывалось, гарантирует интегрируемость уравнений Коши (6.И) для любой области, односвязной и неодносвязной, но однозначность перемещений это соблюдение гарантирует лишь в телах односвязных. В неодносвязной области при соблюдении лишь условий Сен-Венана нельзя гарантировать однозначность перемещений. Действительно, совершая интегрирование по замкнутой [c.478]

Поскольку, как уже отмечалось, любым непрерывным функциям ы, у и ш соответствуют всегда совместные деформации (уравнения Сен-Венана удовлетворяются тождественно, если в них вместо Ех,. .., Угх подстзвить выражения через и, v vi w согласно уравнениям Коши), условия сплошности при решении в перемещениях удовлетворяются автоматически. [c.623]

Второй этап решения задачи. Произведем проверку удозле-творения функциями (11.64) и (11.65) условиям равновесия — уравнениям Ламе (9.30). Условия совместности деформаций Сен-Венана при решении задачи в перемещениях удовлетворяются тождественно. [c.43]

Покажем, что при этом строго выполняются все основные соотношения теории упругости. Очевидно, что, если a = onst, а x,j = 0, то уравнения равновесия (16.1) обращаются в тождества. Из закона Гука (16.3) получим, что также постоянны по объему тела, а у,у = 0. Отсюда следует, что условия совместности деформаций Сен-Венана (16.4) и (16.5) также выполняются. Рассмотрим граничные условия в напряжениях (16.7). Проектируя нагрузку р в любой точке поверхности на оси координат (рис. 16.10), получим [c.341]

На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тензор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При решении же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны бьпъ наложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое назьшается условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности деформаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций в (1.2.88) является необходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравнений О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П1.108) с заменой в ней а на и ао на uo Тс на Т о и Ть на Те [c.42]

Сначала рассмотрим напряжения, вызванные в цилиндрическом теле перерезывающим и крутящим усилиями, являющимися следствиями сосредоточенной поперечной силы, приложенной на одном из его концов. В основном мы будем следовать рассуждениям Сен-Венана. Однако мы используем условия совместности деформаций и а priori приведем оправдание наших предположений, воспользовавшись принципом, установленным в 92 гл. III. Последний заключается в том, что тела, подчиняющиеся закону Гука, всегда стремятся принять в условиях рассматриваемой задачи конфигурацию, соответствующую минимальной упругой энергии. [c.418]

Дифференциальные зависимости (1.144) между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений позволяют простым дифференцированием по известным перемещениям V, ш как некоторых функций координат точек тела определить компоненты тензора деформаций. Решение обратной задачи — нахож дение перемещений как функций координат точек тела по известным компонентам деформаций — сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.144). Для существования решений этой системы необходимо наличие определенных связей между шестью компонентами деформаций т. е. выполнение определенного условия интегрируемости уравнений (1.144). Это условие называют условием сплошности или совместности деформаций Сен-Венана. Условия сплошности деформаций получаются из уравнений (1.144) исключением из них частных производных от соответствующих перемещений по соответствующим координатам [c.67]

В статьях Ф. С. Чурикова [121], Ю. Н. Работнова [85] и О. В. Соснина [104], [105] задача неустановившейся ползучести диска постоянной толщины решена по гипотезе упрочнения в формулировках (14), (15) и (14), (16). В работе [121] основные уравнения решены методом упругих решений А. А. Ильюшина. В статье [85] постулируется существование потенциала текучести Сен-Венана. Это дает возможность получить решение задачи в замкнутом виде. В работе [105] выражения для напряжений берутся в той же форме, что и в книге Л. М. Качанова [32], но неизвестная функция времени определяется из условия минимума квадратичной ошибки, вследствие невыполнения условий совместности деформаций. [c.266]

Необходимо отметить, что в основе вывода условий совместности деформаций (Сен-Венана) лежат геометрические представления об изменениях формы тела, а конкретные свойства деформхфуемой среды учитываются на последующих стадиях преобразования общих уравнений. [c.29]

По-другому уравнения (119) могут быть получены из зависимостей (10бу путем исключения из них составляющих перемещения, наподобие того Йак в теории упругости получаются условия совместности деформаций Сен-Венана из уравнений Коши. [c.81]

Условия совместности Сен-Венана для малых деформаций получаются из (5.4), (5.9). Символы Кристоффеля (учитывая gij= = бг + 2ег ) будут мзлыми порядка 6, а их произведения — порядка б . В результате получаем шесть уравнений [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...