Закон Гука массы

Жесткость пружины можно найти по ее удлинению под действием силы тяжести груза массой т. По закону Гука [c.289]

Пользуясь законом сохранения энергии, легко решить следующую конкретную задачу. На тело массы т, прикрепленное к пружине (подчиняющейся закону Гука) с коэффициентом упругости к, в какой-то момент начинает действовать постоянная сила F (рис. 82). Каково наибольшее отклонение тела под действием этой силы [c.167]

Если бы смещения были столь велики, что для пружины становились заметными отклонения от закона Гука, а скорости столь велики, что становилась заметной зависимость массы от скорости, собственные колебания по форме отличались бы от гармонических. В этом можно убедиться на простейшем примере груза на пружине если бы закон Гука не соблюдался, то уравнение (17.2) не было бы линейным и его решение не было бы гармоническим. [c.615]

Работа упругого сжатия, равная в соответствии с законом Гука АрД№ /2 (рис. 9.3) и накопленная в массе жидкости р1 , равна запасу кинетической энергии заторможенной массы [c.365]

Найдем уравнение движения сечения 1 системы с одной степенью свободы (рис. XV. , а), в котором расположена сосредоточенная масса т под действием приложенной к ней силы Р = Р(с), изменяющейся по произвольному закону (рис. XV. 1,6). Пусть 5 — перемещение массы т в текущий момент времени от положения статического равновесия. По принципу Даламбера, если сила сопротивления не учитывается, масса т может считаться находящейся в равновесии под действием силы Р и силы инерции Q = —т5. Тогда по закону Гука в силах и перемещениях (1.14) [c.415]

Механические свойства и их изменения под влиянием различных факторов. Полимеры отличаются наличием определенного запаса прочности и в то же время способны к значительным механически обратимым (высокоэластическим) деформациям. При определенных величинах напряжения и деформации пластические массы, подобно металлам, подчиняются закону Гука. Выше определенного предела линейная зависимость между напряжением и деформацией нарушается и пластмасса начинает течь , приобретая при относительно небольшом увеличении напряжения значительную остаточную деформацию. [c.390]

Известно, что волновое движение реализуется благодаря особому свойству газа — способности одновременно обладать массой и упругостью. Скорость звука в двухфазных средах (как и в однофазных) зависит от соотношения упругих и инерционных свойств среды, которые в свою очередь являются функциями физических свойств газа и его состояния. В этой связи интересно рассмотреть двухфазную среду как упругую и применить к ней закон Гука [53]. [c.83]

Спираль для пружинных весов. Выбор спирали и ее калибровка осуществляются следующим образом. Для приготовления спирали использовать плавленый прозрачный кварц с нулевым коэффициентом расширения. Деформация спирали должна соответствовать закону Гука. Для установления пригодности и чувствительности спирали произвести ее калибровку на спираль подвесить чашку 3 с крючком из тонкой стеклянной нити 4, верхний крючок которой служит указателем весов, и отметить катетометром (рис. 5.3) начальное положение указателя весов (/о) затем на чашку поместить гирьку массой 0,5 г и определить новое положение весов (f). Разность между отсчетами будет соответствовать растяжению спирали от нагрузки (0,1 0,3 0,5 гс и т. д.). Чувствительность спирали ф рассчитать по формуле [c.159]

Точка массой т может двигаться по гладкой горизонтальной прямой. Она соединена пружиной с неподвижной точкой, находящейся на расстоянии h от прямой. Найти функцию Лагранжа, предполагая, что пружина подчинена закону Гука ее жесткость с и длина /о в ненапряженном состоянии известны. [c.106]

Теория, описанная в первой части этой монографии, базируется на законе Гука. Уравнения движения твердого тела получаются приравниванием упругим силам произведений масс на ускорения, причем предполагается, что никакие другие силы не играют роли. Поведение многих тел не отличается существенно от вполне упругих при малых деформациях и, как показано в гл. IV, результаты наблюдений часто хорошо согласуются с данными упругой теории. [c.97]

На языке предыдущих параграфов содержание определений (11.6) и (11.7) можно изложить так. Рассматривается изотропная и однородная (по отношению к упругим свойствам) среда с постоянными Ламе А, и ы. Плотность масс этой среды, обозначаемая через р, предполагается постоянной. Предполагается также положительная определенность удельной энергии деформации (см. (6.19)). Компоненты напряжений считаются непрерывно дифференцируемыми как по декартовым координатам точки среды, так и по времени, а компоненты смещений — дважды непрерывно дифференцируемыми по тем же переменным (предположение I из 11.7). Предполагаются также применимыми уравнения движения (4.3) (предположение II из 11.7) и закон Гука (5.15) (предположение III из 11.7). [c.43]

Две точки одинаковой массы т находятся. на неподвижном гладком и горизонтальном стержне длины За. Эти точки соединены друг с другом и с концами стержня тремя пружинами, подчиненными закону Гука (жесткость каждой из пружин и длина в ненапряженном состоянии соответственно равны х и а). Найти закон движения системы вблизи ее положения устойчивого равновесия. [c.277]

В дальнейшем принимают два допущения 1) справедливость закона Гука в случае ударного приложения сил и 2) пренебрежение массой тела, подвергаемого ударной нагрузке. Первое из этих допущений не противоречит данным опытных наблюдений, второе же справедливо в тех случаях, когда масса ударяемого тела мала сравнительно с массой ударяющего тела. [c.515]

Выбор спирали для пружинных весов и ее калибровка осуществляются следующим образом. Для изготовления спирали используется плавленый прозрачный кварц с нулевым коэффициентом расширения. Деформация спирали должна подчиняться закону Гука. Калибровку спирали производят путем подвешивания к спирали чашки с крючком из тонкой стеклянной нити, который служит указателем весов (положение /о). Затем на чашку помещают гирю массой 0,5 г и определяют новое положение весов (/). Разность между отсчетами будет соответствовать растяжению спирали от нагрузки (0,1 0,3 0,5 гс и т. д.). [c.144]

С использованием обобщенного закона Гука могут быть решены некоторые задачи об определении напряженного и деформированного состояний. В качестве примера рассмотрим определение напряженного и деформированного состояний, относительного и абсолютного изменения объема стального кубика с ребрами а = 1 см, который вставлен в щель без зазора и натяга (рис. 4.86). Массив с щелью выполнен из недеформируемого материала. Трение кубика о стенки отсутствует. Кубик по верхней площадке нагружен давлением Р = 100 МПа. Механические характеристики кубика Е = 2-10 МПа, [c.351]

Уравнения (9.15) полностью совпадают с уравнениями (8.2 ), которые описывают движение системы п + 1 материальных точек, взаимодействующих взаимно по закону Гука (8.4 ). Таким образом, система п - - 1 совершенно произвольных по форме и структуре неизменяемых твердых тел, материальные частицы которых также взаимодействуют по закону Гука, движется так, как если бы масса каждого тела была сконцентрирована в его центре масс. При этом уравнения (9.15) совершенно не зависят от уравнений (9.16), т. е. поступательные и вращательные движения тел вовсе не зависят друг от друга. [c.407]

Примечание. Силовая функция системы п + 1 твердых тел, элементарные частицы которых взаимодействуют по закону Гука, имеет такой простой вид (9.17) только благодаря специальному выбору собственных систем координат. При произвольном выборе собственных систем силовая функция будет иметь более сложный вид, хотя и представится конечной формулой. Но эта формула будет содержать не только координаты центров масс С,-, но и эйлеровы углы, а поэтому уравнения движения всей системы уже не разделятся на уравнения поступательного и вращательного движения по отдельности. [c.408]

Из полученных результатов следует, между прочим, что однородный шар притягивает внешнюю точку Р так, как будто бы вся масса шара сконцентрирована в его центре если же точка р находится внутри шара, то она притягивается к его центру с силой, прямо пропорциональной расстоянию до центра (закон Гука). [c.71]

Уравнение (14) верно при сделанных предположениях (включая предположение о линейности пружины или о справедливости для нее закона Гука (13)), Заметим, что длина пружины I, которая появляется в правой части уравнения (14), является функцией х. Из-за этого возвращающая сила, действующая на массу М, не будет в точности пропорциональна смещению и (14) не будет точным уравнением для гармонических колебаний. [c.24]

Моды колебаний струны с грузами. Начнем с изучения поперечных колебаний струны с грузами. Под струной мы подразумеваем пружину. Предположим, что мы имеем линейные (т. е. подчиняющиеся закону Гука) невесомые пружины, на которых расположены точечные массы М (грузы). (На рисунках будем изображать пружины прямой, а не винтовой линией.) [c.58]

В точках 2=а, 2а,..., Ь а. Полная длина L равна (Л - -1)а. Масса каждого груза равна М., отрезки струны (пружины) между грузами одинаковы, невесомы и подчиняются закону Гука. Натяжение в равновесии равно Т0. Если пружины (струны) удовлетворяют приближению пружины (натяжение пропорционально длине), то колебания могут иметь произвольно большую амплитуду и все же будут описываться линейными уравнениями движения. Если же пружины не являются пружинами , то для того, чтобы получить линейные уравнения движения, следует ограничиться рассмотрением малых колебаний, [c.79]

Число колебаний струны можпо также вычислить из механических элементов системы по формуле Тэйлора, однако, чтобы обеспечить точность, здесь необходимы большие предосторожности. Натяжение осуществляется с помощью груза, массу которого (выраженную в тех же самых единицах, что и р) можно обозначить через Р, так что T = gP, где =32,2, если за единицы длины и времени принять соответственно фут и секунду. Чтобы на колеблющийся участок струны действовало полное натяжение, следует отказаться от применения подставок — условие, которому можно удовлетворить, только подвесив струну вертикально. После того как груз подвешен к струне, выделяют определенный участок струны, прочно зажимая ее в двух точках, а затем измеряют длину этого участка. Масса единицы длины р относится к натянутой струне ее можно найти косвенным путем, наблюдая удлинение при натяжениях того же порядка, что и Т , затем вычисляя удлинение, соответствующее 7, по закону Гука и взвешивая определенный кусок струны в ее нормальном состоянии. После того как зажимы закреплены, необходимо старательно избегать колебаний температуры, которые могут серьезно повлиять на натяжение струны. Этим путем Зеебек получил очень точные результаты. [c.206]

В этом режиме смещение груза пропорционально внешней силе и не зависит от величины его массы т. Решение (2.12) является, по существу, математическим выражением закона Гука для статической деформации пружины. Поэтому этот режим можно назвать квазистатическим (почти статическим). Амплитуда колебаний в соответствии с этим законом равна Sq = F k, а смещение i(i) изменяется в фазе с внешней силой. [c.29]

Вопрос о возможности линеаризации реальной физической системы мы иллюстрируем на примере механической системы с трением, например массы от, подвешенной на пружинах, но при условии, что груз либо испытывает известное сопротивление движению со стороны окружающего его газа (или жидкости), либо движется с трением вдоль поверхности какого-либо твердого тела (рис. 4). Вопрос о линеаризации такой системы в случае отсутствия трения не вызывает никаких трудностей, ибо при малых отклонениях упругая сила пружины, как это следует из закона Гука, [c.25]

Примером такой системы является (при соответствующих предположениях), например, тело массы т, которое может совершать горизонтальные движения вдоль стержня под действием двух пружин (рис. 9). Чтобы рассмотрение этой системы привело к интересующему нас случаю, сделаем следующие упрощающие предположения ). Предположим, во-первых, что силы, с которыми действуют пружины на тело, пропорциональны его смещению X относительно положения равновесия. В действительности это с некоторой степенью точности выполняется только при достаточно малых смеш,ениях (только при малых деформациях пружина подчиняется закону Гука). Во-вторых, мы будем предполагать, что система при движении не испытывает трения (нет трения ни о воздух, ни о поддерживающий стержень, пружины не обладают внутренним трением). Это второе предположение об отсутствии трения в системе, конечно, еще с меньшей степенью точности выполняется в реальных физических системах. При сделанных предположениях [c.35]

Решим простейшую задачу, моделирующую распространение плоских волн в идеальной (бездефектной) и неограниченной решетке. Рассмотрим линейную цепочку, состоящую из одинаковых атомов массы М, расположенных на одном и том же расстоянии а друг от друга (рис. 4.6). Пусть взаимодействуют только ближайшие соседи, т. е. каждый атом связан двумя пружинками одинаковой жесткости только с соседом справа и соседом слева. Смещение атома с номером п из положения равновесия обозначим через и (п). Если смещения всех атомов малы (выполняется закон Гука), [c.150]

Другое очень важное физическое заключение, которое может быть выведено из выражения (3.4), состоит в том, что частота колебания зависит только от Кита совсем не зависит ни от ни от и,,. Это значит, что для данной массы и данной пружины, пока закон Гука применим, т. е, Р =—кх, частота колебания будет той же самой, независимо от того, каким образом система была приведена в колебательное движение, и будет ли амплитуда колебания равна 1 см или 0,001 мм. Это очень важно в практических приложениях. Если бы закон Гука не соблюдался (т. е. F — Кх), то ни один музыкальный инструмент не мог бы играть в должном строе. Попробуйте вообразить игру на фортепиано, у которого частота колебания каждой ноты зависела бы от того, с какой силой ударять по клавише. Сравните это с задачей 1 предыдущей главы. [c.38]

Общий запас упругостной энергии твердого тела выражается формулой (4.31). Пружина же массой М кг, материал которой работает до напряжения на разрыв Ор в пределах закона Гука, позволяет накопить удельную энергию в количестве [c.113]

Исследовать продольные упругие колебания бесконечно длинного упругого стержня, аппроксимируя эту систему дискретной системой точек равной массы, связанных между собой одинаковыми пружинками пренебрежимо малой массы. Предполагается, что силы — чисто гармонического характера (т. е. соответствуют закону Гука) и что массы отстоят друг от друга на равных расстояниях. Рассмотреть предельный случай, когда расстояния между точечными массами стремятся к нулю, и получить втим способом волновое уравнение (8.101). [c.219]

Данная модель была модифицирована в работе Уэйнера и Пира [87] с целью учета зарождения и движения дислокаций в кристаллах при движении трещины. На основании результатов численного моделирования был сделан вывод о том, что характер разрушения при трещинообразовании — хрупкий или вязкий — зависит от параметров закона межатомного взаимодействия. Исчерпывающее компьютерное моделирование двумерной задачи динамического роста трещины в дискретной решетке-было проведено Эшёрстом и Гувером [11] в предположении в том, что элементарные частицы массы взаимодействуют друг с другом согласно упрощенному закону Гука, а также Пэскином с соавторами [75], которые для описания межатомного взаимодействия использовали потенциал Леннард-Джонса. В обеих работах установлено, что максимум скорости движения трещины не превосходит скорости волны Рэлея для данного материала.. [c.123]

Представим себе устройство, ноказанное на рис. IX. 8. Тело массы т колеблется на горизонтальной плоскости без трения вдоль прямой линии под действием упругих сил, вызываемых пружинами, которые подчиняются закону Гука. Предполагаем, что эксперимент проводится в вакууме и что пружины напряжены ниже предела упругости. Едипственное сопротивление, которое рассматривается, внутреннее вязкое сопротивление пружин, соответствующее уравнению [c.164]

В отлпчпе от системы (5), здесь в правых частях стоят пе нули, а произведения плотности среды р на составляющие ускорения (вдоль соответствующих осей х, у и z). Так и должно быть, ведь фактически перед нами запись второго закона Ныотопа сумма внешних сил, действующих па элемептарнып кубик, равна его массе, умпожеппоп на ускорение, вызванное приложенными силами ). Все остальные формулы (закон Гука (15) пли выражения деформаций через перемещения (8) —(9)) остаются справедливыми в случае движения упругого тела. [c.57]

Рассмотрим движение простейшей кoлeбaтeль oй механической системы, состоящей из массы т, которая может перемещаться горизонтально вдоль направляющего стержня под действием двух пру-, жин (рис. 1.2.1). Предположим, что деформация пружин подчиняется закону Гука [c.7]

Позднее в книге И. М. Герсеванова и Д. Е. Польшина [47] была выписана система уравнений, названная общими уравнениями консолидации грунта в состоянии грунтовой массы . В эту систему входили уравнения сплошности фаз — и твердой и жидкой, — но в предположении о несжимаемости материала твердых частиц и жидкости, а также соотношение типа закона Гука между фиктивными напряжениями и деформациями (аналогичные связи (5.V), но при Pi = 0), причем перед введением этих связей система уравнений предварительно не линеаризовалась. В системе И. М. Герсеванова — Д. Б. Польшина не вводилось понятие суммарных напряжений Тц и не выписывалось уравнение неразрывности импульса для всей пористой среды, а уравнения движения выписывались сразу для каждой из фаз в отдельности и имели в принятых здесь обозначениях следующий вид [c.52]

В. Н. Николаевский (1962, 1963) записал уравнения движения насыщенной пористой среды в виде совокупности уравнений импульса для всей реды в целом и для жидкости и уравнений баланса массы для твердой и жидкой фаз. Линеаризованные (относительно состояния покоя и и установившегося фильтрационного течения) уравнения движения были замкнуты им с помощью обобщенного закона Гука, связывающего эффективные напряжения ), пороВое давление и деформации твердой фазы. В последнем использовалось предположение об аддитивности деформаций переупаковки твердых, как бы несжимаемых, частиц скелета среды и деформаций гидростатического расширения (сжатия) этих частиц под действием [c.592]

Коэффициент пропорциональности Мбжду напряжением а и относительной деформацией I = АНI (здесь I — база расстояние между двумя точками детали до нагрузки А/ — абсолютная деформация под нагрузкой), устанавливаемый законом Гука, ювестен как модуль упругости материала, или модуль Юнга а = Е/. Отсюда видно, что для определения локальных напряжений необходимо измерять абсолютную деформацию на наименьшей возможной базе и, следовательно, первичный преобразователь измерителя деформации должен иметь очень малые размеры. Если учесть при этом необходимость измерений в статическом и динамическом режимах, то первичный преобразователь должен также обладать высокой чувствительностью и незначительной массой. [c.254]

Существуют пластические массы — эластомеры, которые обладают способностью деформироваться в значительных пределах, имеют так называемую высокоэластическую деформацию. Высокоэластическая деформация исчезает при снятии нагрузки, но от обычной упругой деформации отличается по величине и по механизму проявления. Напомним, что упругая деформация стали составляет около 0,1% и резко отграничена пределом текучести. Деформация эластомеров может превысить 1000 , а модуль их упругости очень мал и колеблется в пределах 20—200 кГ1см . При растяжении высокоэластичных тел зависимость между напряжением и деформацией не является линейной. Диаграмма деформации здесь имеет вид кривой, напоминающей по форме букву 5 (рис. 184). Таким образом, высокоэластические деформации не подчиняются закону Гука, и модуль упругости эластомеров является переменной величиной. Для суждения об упругих свойствах высокоэластичных материалов на основании кривой растяжения обычно пользуются значением [c.309]

Явления Р. в нелинейныхсисте-м а X, т. е. в системах, параметры к-рых зависят от координат или скоростей, несравненно более сложны и подчас даже выходят из рамок того определения Р., к-рое дано в начале статьи. При этом характер явлений существенно зависит от характера нелинейности , т. е. от того, какие именно параметры системы не остаются величинами постоянными и зависят напр, от координат или скоростей. В этом смысле следует различать два случая. 1) Нелинейность в параметрах, существенно определяющих собственную частоту системы (т. е. зависимость этих параметров от координат или скоростей) в емкости и самоиндукции для электрич. систем или в упругости и массе (или моменте инерции) для механич. систем. Такие системы нередко встречаются на практике. Примером емкости, величина к-рой зависит от заряда, может служить конденсатор с диэлектриком из сегнетовой соли, а самоиндукции, величина которой зависит от силы тока,—катушка с железным сердечником. В механич. системах особенно часто встречаются случаи переменной упругости, вообще переменной восстанавливающей силы.Примером этого могут служить обычный маятник при больших амплитудах, пружина при столь больших отклонениях, при к-рых нарушается закон Гука, и т. д. Во всех этих случаях частота собственных колебаний системы зависит от амплитуды колебаний, и термин собственная частота системы теряет свою определенность. Вместе с тем и явления Р. приобретают совершенно иной характер. В некоторых случаях явлений Р., в смысле наступления резкого максимума амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешней силы, вообще не наступает. Зато, с другой стороны, наступают новые явления—неустойчивые положения, срывы, резкое скачкообразное изменение амплитуды и фазы вынужденного колебания. 2) Переменное сопротивление в электрич. системах ( неомические проводники) и переменное трение в механических системах. Примером таких систем могут служить колебательный контур, в к-рый включена нить, накаливаемая током (t°, а значит и сопротивление нити, зависит от силы тока), регенератор (см.), т. е. колебательный контур с электронной лампой и обратной связью, механич. колебательная система с трением (напр, в подшипнике), зависящим от скорости, и т. д. В этих случаях, если трение не достигает слишком больших значений, т. ч. система не слишком сильно затухает при всех значениях амплитуд вынужденных колебаний, явление Р. качественно [c.217]

При малых отклонениях от равновесия, потенциальную функцию можно почти всегда достаточно хорошо аппроксимировать квадратичной параболой. Для грузика на пружинке это справедливо до тех пор, пока верен закон Гука, т.к. пока возвращающая сила пропорциональна отклонению. Другой пример такой аппроксимации дает рассмотрение колебаний под действием силы веса массы ш, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной I. (рис.З). Такая колебательная система называется математическим маятником. Считая потенциальную энергию в РисЗ. Маятник положении равновесия (ф=0) равной нулю, получим, что при отклонении на угол (р [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...