Сингулярные интегралы в классах функций

Сингулярное ядро и сингулярный интеграл. Пусть В — ограниченная область из з, а к — функция, принадлежащая классу О (3) яа В X В. Тогда интеграл [c.127]

Теорема. Если 5 с (а), О < а с 1, й есть любая из матриц, перечисленных в теореме 3.25, а ф6 С (5), О < 3 <а, то сингулярный интеграл (3.27) существует в каждой точке х 8 и является функцией класса (5). [c.149]

Сформулируем теорему Племели — Привалова. Утверждается, что для любой функции ф(тг)еЯ(Л, X) соответствующий сингулярный интеграл Ф( ) также принадлежит классу Гельдера — Липшица с тем же показателем (при Х<1) или с показателем 1—(е — сколь угодно малое положительное число), если Х= 1. [c.23]

Для доказательства достаточно показать, что сингулярный интеграл (3.4) принадлежит классу Я (—1, 1). Пусть / (ж) есть четная функция. Перепишем (3.4), используя (2.21), следующим образом [c.66]

Таким образом, интеграл от построенной сингулярной функции Г(1) равен заданному импульсу Р и отличен от нуля, хотя Г(<) равна нулю всюду, кроме точки <о- Построенная функция относится к классу обобщенных функций, изучением свойств которых занимается специальная математическая дисциплина. [c.291]

Как и в одномерном случае, для сингулярных интегралов вида (3.18) имеет место теорема, аналогичная теореме Пле-меля — Привалова, а именно теорема о том, что интеграл будет являться функцией, принадлежащей классу Г. — Л., если плотность принадлежит тому же классу при условии, что характеристика /( 0,0) непрерывно дифференцируема по декартовым координатам точки <7о и углу 9 (эта теорема принадлежит Жиро [35]). [c.59]

Следовательно, /г( 1) = 0, и, кроме того, с учетом (7.31), а также других свойств функций gix) и г1)(ж) придем к заключению, что h x) H4 — i, 1), Y = inf(a, Р — 1/2, б). Проводя далее рассуждения для сингулярного интеграла в (7.30), подобные рассуждениям относительно интеграла (2.3) [18], убедимся, что функция ы(х) В1ща (7.29) принадлежит классу ЯК —1, 1), и теорема доказана. [c.380]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...