Умножение тензорное

Это свойство изоморфизма обусловлено формальным сходством уравнений, определяющих изоморфизм с уравнениями, связывающими компоненты одного и того же тензорного поля в двух координатных системах. Значит, изоморфизм отражает и воспроизводит инвариантные соотношения всех типов независимо от того, включают ли они сложение, вычитание, свертку, ковариантное дифференцирование или внешнее умножение тензорных полей. Именно в этом заключается свойство воспроизводимости, оправдывающее применение термина изоморфизма для взаимно однозначного соответствия —между телесными и пространственными полями. [c.394]

Если имеем псевдотензор и истинный тензор мы пол) им псевдотензор того же веса путем умножения тензорного или скалярного (свертки). [c.47]

Тензорное умножение векторов [c.57]

Определение 1.11.1. Для произвольной пары векторов а, Ь определим бинарную операцию тензорного умножения векторов по правилу [c.57]

Теорема 1.11.1. Тензорное умножение векторов равно нулевому тензору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. [c.58]

Операция тензорного (диадного) умножения состоит в образовании тензора ранга p- -q из двух тензоров , и tf , по закону [c.312]

Используя разложения тензоров по тензорным базисам, можно дать инвариантные определения операций свертки, векторного и тензорного умножения тензоров используемых в механике. [c.315]

Пусть задан симметричный тензор 5 и некоторое, пока неопределенное, направление с единичным вектором е. Выясним, существуют ли для данного тензора 5 такие направления, соответствующие вектору г, чтобы в результате умножения тензора 5 на вектор е получился вектор того же направления, скажем Ке, где X, —пока неизвестный скаляр. Для исследования такой возможности запишем требуемое условие в виде равенства Е — тензорная единица) [c.125]

По определению операции умножения вектора на тензор слева или справа (в данном случае это безразлично, так как тензор инерции, очевидно, симметричен) системе равенств (3) можно придать (см. 33) тензорную форму [c.282]

Например, в результате тензорного (внешнего.) умножения двух тензоров первого ранга (о ) и [bj), т. е. векторов, получим тензор второго ранга (С( ), который называется диадой. Компоненты диады [c.394]

Сложение (вычитание), умножение, свертывание тензоров и любая комбинация этих операций приводит, вообще говоря, также к тензорам. Следовательно, тензорный характер какого-либо объекта можно распознать, подметив, что он определяется совокупностью чисел, которая образуется в результате операций над известными тензорами. В работах по тензорному исчислению [29] доказывается следующая теорема, которая именуется обратным тензорным признаком. [c.396]

Умножение тензоров. Перемножать можно любые тензоры (любого ранга и любого строения) в заданном порядке. Ранг тензора-произведения равен сумме рангов тензоров-сомножителей Например, в результате тензорного умножения тензора второго ранга XA .j) на тензор третьего ранга получим тензор пятого ранга, компоненты которого определяются равенством [c.411]

Свертывание тензора с тензором состоит в предварительном тензорном умножении их, а затем свертывании по соответствующим индексам тензоров-сомножителей. [c.411]

Тензорные уравнения замкнутости закрытых кинематических цепей в форме (3.21), (3.24) или открытых кинематических цепей в форме (3.20) содержат всю информацию о параметрах движения этих цепей. Для определения, например, абсолютных и относительных перемещений звеньев конкретной цепи необходимо заменить входящие в перечисленные уравнения тензоры отображающими их матрицами и после осуществления операций умножения матриц и приравнивания соответствующих элементов правой и левой частей получить систему алгебраических уравнений, решение которой даст возможность определить перемещения звеньев. Как известно, скорости и ускорения движения звеньев и их точек представляют собой соответственно первые и вторые производные по параметру времени от перемещений звеньев. Дифференцируя дважды по параметру времени полученную систему алгебраических уравнений, получим соответственно две системы уравнений одну для определения ускорений, другую для определения скоростей. Разумеется, первая система может иметь коэффициенты, зависящие от величины перемещений, которые следует считать известными после решения исходной системы уравнений. Аналогично коэффициенты системы линейных уравнений для определения ускорений могут содержать величины перемещений и скорости звеньев. Решение линейных систем не представляет принципиальных трудностей и может быть осуществлено по методам Крамера (при помощи определителей) или Гаусса (при последовательном исключении неизвестных). Иллюстрация изложенного дана на примерах (см. 3.4). [c.46]

Произведение тензора на скаляр. Значительное место при решении задач кинематики пространственных механизмов тензорными методами имеет операция умножения тензоров. [c.60]

Координатный метод в геометрии, наряду с величинами существенно геометрическими, дает и величины случайные, связанные с выбором системы координат. Тензорное исчисление развивает такие вычислительные приемы, которые позволяют отличать геометрически существенное от привнесенного выбором координат. Такими приемами являются операции сложения, умножения тензоров, операция свертывания тензора эти операции инвариантны по отношению к преобразованию координат. [c.237]

В левых частях этих равенств стоят компоненты девиатора напряжений ( 4.3), а в правых — компоненты девиатора деформаций ( 5.3), умноженные на один и тот же коэффициент пропорциональности 2G. Следовательно, девиатор напряжений пропорционален девиатору деформаций, и равенства (6.14) можно записать более компактно в тензорной форме [c.111]

II. 3. Дифференциальные операции над тензорами. Сказанное в п, II.2 обобщается на тензорные поля любого ранга. Ранг тензора уменьшается на единицу при умножении его слева на набла-оператор — образовании дивергенции тензора [c.842]

Из заданных тензорных полей можно получить новые суммированием, умножением на скаляр, сверткой и инверсией (в случае несингулярного тензора второго ранга). В каждом случае тензоры берутся в одной и той же точке, сумма тензоров в разных точках не определена, так как если, например, T i(P) —тензор в точке Р, а S (Q) — тензор в точке Q, то сумма [c.384]

Тензорное умножение тензоров из Тр на тензоры из Тд. Результатом является тензор ранга p + q [c.8]

Знаки операций сложения и вычитания тензоров, умножения тензора на скаляр — обычные. Различные виды произведений двух тензоров обозначаются следующим образом скалярное — точкой между сомножителями, векторное — наклонным крестом, тензорное, а также диадное произведение двух векторов — смежным расположением сомножителей, без знака между ними. [c.18]

Необходимо помнить, что такие условные обозначения введены лишь для удобства. Эти матричные элементы (6x3) не имеют обычных тензорных свойств преобразования или умножения. Наличие свойств перестановочной симметрии позволяет сократить число независимых элементов r.j от 27 до 18, а число элементов 5, , от 81 до 36. [c.241]

Коэффициенты переноса. Как мы видели, при выводе уравнений гидродинамики методами неравновесной статистической механики диссипативные члены в этих уравнениях выражаются через кинетические коэффициенты. Однако в конкретных задачах удобнее записывать кинетические коэффициенты через скалярные коэффициенты переноса коэффициент теплопроводности, коэффициенты вязкости, диффузии и т. д. Основная идея перехода от кинетических коэффициентов к коэффициентам переноса состоит в том, что для изотропной системы корреляционные функции, построенные из векторных или тензорных микроскопических потоков, можно записать в форме скаляров, умноженных на единичные тензоры. [c.173]

Указание. Проверить, что оператор f/, который определяется каноническим преобразованием (8.2.47), не меняет тензорной размерности динамических переменных. Учесть также, что в случае изотропной жидкости все локально-равновесные величины имеют форму скаляров, умноженных на единичные тензоры [c.215]

Чтобы облегчить читателю понимание аналитических преобразований в тензорной форме (сложения, умножения и свертывания), приводим основные понятия тензорной алгебры и краткие сведения [c.13]

Внешнее умножение тензоров (тензорное произведение) [c.24]

Тензорное произведение представляет собой сумму всевозможных произведений одной компоненты на другую. При этом ранг тензора повышается и становится равным сумме рангов сомножителей. Операция умножения не коммутативна. Проверим, что тензор [c.24]

Подобно тому как среди скалярных величин существует одна осо-бая величина — единица, обладающая тем свойством, что умножение на нее любых других величин — скаляров, векторов или тензоров — не изменяет этих величин, точно также существует обладающая аналогичным свойством тензорная единица 1 , представляющая симметричный тензор с таблицей ) [c.52]

Компоненты симметричного тензора в главных осях, расположенные по главной диагонали, называют главными компонентами, остальные компоненты в главных осях равны нулю. Разыскание направлений главных осей производится теми же приемами, как разыскание осей симметрии поверхностей второго порядка в аналитической геометрии. Геометрическим представлением тензорной единицы, так же как и всякого другого тензора, получаемого из тензорной единицы умножением на скалярный множитель, служит сфера. Такого рода тензоры называют сферическими. [c.53]

Операция совершенно другого рода — умножение функции 8 от одного переменного на другую функцию Т, зависящую от другого переменного 8 х)Т у). Оно определяет тензорное произведение [c.63]

Тензоры Н можно строить из тензоров Т при помощи двух тензорных операций умножения и свертывания. Операция свертывания по любым двум индексам всегда возможна в силу наличия среди тензорных аргументов тензора д. Неопределенное умножение нескольких тензоров приводит к тензору, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Свертывание по 21 индексам понижает ранг тензора на 21 единиц. Умножение и очевидная свертка данного тензора Т с компонентами на тензор с компонентами б бт приводит к тензору Т того же ранга с компонентами [c.439]

Дальнейшее обобщение действия умножения на случай произвольного количества тензорных сомножителей различного строения очевидно. Например, даны сомножители Т1, Rafi, одним из возможных произведений будет смешанный тензор пятого ранга [c.57]

Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два тензора А "" и Bft, свертывая четырьмя способами их тензорное произведение, получим скалярное произведение, а именно А " A " BU, а "Bn, А" BU- Скалярное произведение контравариантно-го вектора и ковариантного вектора дает инвариант Л 5п, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов Л и Вп- В случае аффинных ортогональных векторов и Ьт, получим скалярное произведение этих векторов а-Ь = апЬп. [c.11]

Таким образом, операция умножения тензоров дает снова тензор. Теперь ставится вопрос — будет ли некоторая система величин тензором, если ее произведение на тензор дает гензор. На этот счет существует теорема, позволяющая легко установить тензорный ха- [c.11]

Производится также свертывание тензора с тензором, Эта операция, называемая внутренним произведением тензоров, состоит в предварительном тензорном (внешнем) умножении тензоров, а затем полученный мультипликативный тензор свертывается по индексам, принадлежащим тензорам-сомножителям. Например, перемножая тен-зорно два вектора (а ) и (6 ), а затем свертывая полученную диаду ( i/) = (ад (bj), приходим к инварианту [c.394]

Позднее были опубликованы работы Сан Жуана (1947 г.), Флейшмана (1951 г.) и Пэйджа (1952 г.) [4—7]. Этими работами была подтверждена возможность выполнения действий умножения и деления над величинами, подобно тому, как эти действия в элементарной алгебре производятся над обычными числами. К величинам одного и того же рода применимы действия сложения и вычитания. Все эти операции, производимые над величинами, получили название исчисление величин (quantity al ulus). Обычно геометрический характер (скалярный, векторный, тензорный) при исчислении величин не принимается во внимание, хотя в работах последнего времени [8, 9] эти свойства величин также рассматриваются. В настоящей статье предполагается, что векторы и тензоры представлены их составляющими. [c.37]

Инварианты тензора второго ранга Henoq>eA TBeHHo связаны с его главными направлениями. Направление, характеризуемое вектором у, называется главным на/давлением тензора Та, если при окал ном умножении этого вектора на тензор направлшие вектора остается ншз-менным, т.е. в тензорном виде [c.248]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...