Диффеоморфизм

Синай Я. Г., Марковские разбиения и К-диффеоморфизмы, Функциональный анализ 2, № 1 (1968). [c.384]

Диссипация полная, 549 Диффеоморфизм, 189 Дифференциал [c.706]

Например, если параметр всего один, то типичная бифуркация, с точностью до расслоенного над осью параметра диффеоморфизма, такая же, как в семействе с кривой равновесий е = = (рождение или смерть пары равновесий). Если парамет- [c.15]

Слабая эквивалентность локальных семейств векторных полей определяется так же, только росток Я- не должен быть непрерывным представитель ростка Я — семейство диффеоморфизмов Я(-, е), определенных в общей окрестности точки Xq, но не обязательно непрерывных по е. [c.17]

Определение. Главной однопараметрической деформацией ростка диффеоморфизма прямой в неподвижной точке с мультипликатором 1 называется одно из двух семейств [c.43]

Теорема. В типичных однопараметрических семействах диффеоморфизмов встречаются только такие ростки диффеоморфизмов в неподвижной точке с мультипликатором 1, которые с помощью гомеоморфизма приводятся к виду х Дефор- [c.43]

Требования типичности. 1. Редуцированный росток диффеоморфизма с мультипликатором 1 имеет вид [c.43]

Замечание. Доказательство теоремы не просто. Кроме того, справедлива формулируемая ниже неожиданная теорема о жесткости . Росток гладкого диффеоморфизма прямой в неподвижной точке X - х+ах +..., а О, представим в виде сдвига за единичное время по фазовым кривым гладкого однозначно определенного векторного поля v, называемого порождающим v x) =ах +. .. [c.44]

Рис. 17. Орбиты групп степеней ростков диффеоморфизмов семейства (1+)

Теорема ([20], [180]). В типичных однопараметрических семействах диффеоморфизмов встречаются только такие ростки диффеоморфизмов в неподвижной точке с мультипликатором [c.45]

В семействе (2 ) при переходе параметра слева направо через О происходит мягкая потеря устойчивости. А именно, при е 0 неподвижная точка О ростка fe устойчива. При е>0 она теряет устойчивость, но возникает устойчивый цикл периода 2 пара точек, близких к Уе, переставляемых диффеоморфизмом /е. Для диффеоморфизма каждая из этих точек неподвижна и устойчива. Этой перестройке соответствует мягкая потеря устойчивости предельным циклом (в предположении, что при 6 0 все остальные мультипликаторы по модулю меньше 1). При е>0 исходный цикл сохраняется, но становится неустойчивым, а рядом с ним на расстоянии порядка Уе появляется устойчивый предельный цикл примерно вдвое большего периода (рис. 18. ) [c.45]

Пара комплексно сопряженных мультипликаторов. Деформации ростков диффеоморфизмов с парой комплексно сопряженных мультипликаторов имеют топологический инвариант, пробегающий единичную окружность (аргумент мультипликатора, по модулю равного-единице), и даже в классе ростков с парой мультипликаторов е (a> фиксировано) конечно параметрические версальные деформации не построены и, видимо, не существуют. [c.46]

Бифуркации в исходном семействе существенно сложнее. Гомеоморфная окружности инвариантная кривая действительно рождается, но не является гладкой. Ограничение диффеоморфизма на нее не обязательно эквивалентно повороту. Число вращения диффеоморфизма на инвариантной кривой зависит от параметра и стремится к со/2л, когда параметр стремится к критическому значению 0. [c.47]

Теорема ([87], [173], [191], [192]). Рассмотрим локальное семейство диффеоморфизмов (/ О, 0) [c.47]

Теорема ([180]). Если две типичные однопараметрические деформации ростков диффеоморфизмов (R , 0)->(R , 0) с парой невещественных мультипликаторов на единичной окружности топологически эквивалентны, то мультипликаторы деформируемых ростков совпадают. [c.47]

Эта теорема следует из топологической инвариантности числа вращения для диффеоморфизма окружности. [c.47]

Нелокальные бифуркации в однопараметрических семействах диффеоморфизмов. Число вращения диффеоморфизма семейства (4) на его инвариантной кривой меняется с измене- [c.47]

Это явление удобно изучать, рассматривая двупараметрическое семейство диффеоморфизмов, в котором параметр пропорционален логарифму комплексного мультипликатора его вещественная и мнимая части — два вещественных параметра семейства. Заменой координат такое семейство приводится к виду [c.48]

Рис. 19. Бифуркационная диаграмма семейства диффеоморфизмов (7) и соответствующего семейства дифференциальных уравнений. Жирной линией выделены база однопараметрического семейства и вещественная ось

Этот параграф начинается с перечня вырождений, встречающихся в типичных двупараметрических семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и соответствующих изолированным значениям параметров. Бифуркации неподвижных точек с мультипликатором 1 или—1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах во многом напоминают бифуркации особых точек с собственным значением 0. Напротив, бифуркации в случае пары комплексно сопряженных мультипликаторов при дополнительном вырождении в нелинейных членах, наряду с появлением замкнутых инвариантных кривых, приводят к совершенно новым эффектам. [c.52]

Случаи 8° и 10° в определенном смысле сводятся к исследованию бифуркаций положений равновесия с нулевым и парой чисто мнимых собственных значений и с двумя мнимыми парами соответственно. Специальные исследования бифуркаций неподвижных точек диффеоморфизмов в случаях 8°—10°, насколько нам известно, не проводились. [c.53]

Замечание. Слово теорема заключено здесь в кавычки, поскольку доказательство, насколько нам известно, не опубликовано. Классификация описанных в теореме семейств диффеоморфизмов с обычным отношением эквивалентности при имеет функциональные модули (см. п. 5.11 главы 2). [c.53]

Теорема ([130]). Рассмотрим семейство / ростков диффеоморфизмов [c.54]

Рассмотрим решение уравнений движения, начальные условия которого при < = О изображаются некоторой точкой М фазового пространства. Для момента I будем иметь преобразование в силу уравнений движения, переводящее точку М в точку М 1). Пусть уравнения движения автономны, т. е. ускорение не зависит явно от времени, и пусть любое их решение продолжается на всю ось вpevteни. Преобразование (7 , обеспечивающее переход М —> М 1), взаимно однозначно и дифференцируемо по фазовым координатам диффеоморфизм). Все такие преобразования С образуют группу [c.189]

Бифуркации фазовых портретов в окрестности цикла полностью описываются бифуркациями соответствующего Преобразования монодромии. Поэтому основным объектом изучения в этой главе являются бифуркации ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке. Локальные семейства ростков диффеоморфизмов, их эквивалентность, слабая эквивалентность, индуцированные и нереальные деформации ростков определяются так же, как и для ростков векторных полей (см. п. 1.5). Для ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке справедливы аналоги теорем сведения ([26, п. 2.4, гл. 6] и п. 1.6, гл. 1). Ограничение ростка диффеоморфизма на центральное многообразие называется редуцированном ростком диффеоморфизма. Отметим, что редуцированный росток может менять ориентацию, даже если исходный росток ее не менял пример diag(l —1 [c.42]

Пятый параграф посвящен конечногладкой теории. В нем исследуются нормальные формы локальных семейств векторных полей и диффеоморфизмов, к которым семейства могут быть приведены конечногладкой заменой координат в фазовом пространстве. Эти нормальные формы полезны для теории нелокальных бифуркаций и релаксационных колебаний. [c.42]

Бифуркации орбит диффеоморфизмов в главном семействе (1+) изобр1ажены на рис. 17. При отклонении е вправо от нуля неподвижная точка исчезает, а при отклонении влево распадается на две гиперболические притягивающую н отталкивающую. Этой перестройке в соответствующем семействе дифференциальных уравнений на плоскости отвечает столкновение двух предельных циклов — устойчивого и неустойчивого с образованием на мгновение полуустойчивого цикла и последующим его исчезновением при е>0. [c.44]

На рис. 21 изображена типичная бифуркационная диаграмма в резонансном языке. В точке О диффеоморфизм, как на рис. 20а изменениям параметра вдоль кривых Ь, f и г отвечают последовательности бифуркаций, изображенные в левом, среднем и правом столбцах рис. 20 соответственно, bi, Ьг — бифуркационные кривые, отвечающие образованию точек простого касания на каждом из лучей а Ь — бифуракционная [c.52]

Теорема . В типичных х-параметричесйих семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке встречаются только такие ростки с мультипликатором 1 (или —1) и одномерным центральным многообразием, вблизи которых семейства локально слабо эквивалентны надстройке седла над одним из главных семейств (8 ) (соответственно, (9 )) при слу- [c.53]

Пара мультипликаторов на единичной окружности с дополнительным вырождением в нелинейных членах (см. [130] и [131 6—13]). Следуя Шансине, рассмотрим росток диффеоморфизма fo. (R 0) (R2, 0) с парой невещественных мультипликаторов на единичной окружности и дополнительным вырождением нарушается требование (36). [c.53]

Шансине [131 10] утверждает также, что в области W сколь угодно близко к нулю существуют такие значения параметра (е, а), для которых отображение /е,п имеет в любой окрестности нуля сколь угодно много периодических точек и гомоклинических кривых. Подобные эффекты ранее наблюдались для ростков диффеоморфизмов плоскости только при наличии вырождений коразмерности бесконечность. [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...