Локально транзитивный РЧГ -диффеоморфизм

В [14] доказано, что если 5 — локально транзитивный РЧГ-диффеоморфизм класса с мерой Лиувилля, то при некоторых дополнительных предположениях на слоения и он обладает /С-свойством. [c.156]

Теорема 18.3.12. Пусть А — топологически транзитивное компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /. Тогда существует такое N eN, что для любого е >0 и каждой конечной совокупности С отрезков орбит / существует М-разделенная спецификация S, параметризующая С, разделение которой зависит только от е и которая е-приближается точкой из А и е-приближается орбитами периода qN для всех g (М L(S))/N. [c.581]

Спектральное разложение (теорема 18.3.1), свойство спецификации (теорема 18.3.9), следствие 6.4.10 и второе утверждение предложения 3.1.7 позволяют нам применить только что доказанное предложение и, таким образом, получить (18.5.1) (для всех п 6 N) для / = л. где Л — локально максимальное топологически перемешивающее гиперболическое множество диффеоморфизма F или, более общим образом, локально максимальное гиперболическое множество, все топологически транзитивные компоненты которого являются топологически перемешивающими. Для произвольного локально максимального множества можно найти такое число N, что отображение обладает последним свойством (из теоремы 18.3.1). Тогда, принимая во внимание третье утверждение предложения 3.1.7, легко видеть, что соотношение (18.5.1) выполнено для такого множества Л при всех neN, кратных N. Таким образом, мы доказали следующее утверждение. [c.587]

Теорема 18.5.6. Пусть А — компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /, все топологически транзитивные компоненты которого являются топологически перемешивающими. Тогда существуют такие числа с,, j > О, что соотношение (18.5.1) имеет место для всех п 6 N. Если А —компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /, то существует такое число iV 6 N, что соотнош,ение (18.5.1) выполнено для всех п = AiV е N. [c.587]

Доказательство. Если утверждение неверно, то у диффеоморфизма / есть топологически транзитивная компонента, отличная от множества Л, из спектрального разложения, полученного в лемме 18.6.4. Таким образом, для некоторого I существует точка д е 1х Р ) к 1х(/ / )), для которой I является минимальным положительным периодом. Здесь такое же, как выше. Нетрудно видеть, что Л =Лп ( д ) — локально максимальное гиперболическое множество, потому что любая орбита из достаточно малой окрестности отображается под действием к в малую окрестность орбиты д и, следовательно, в силу разделения, в орбиту д. Так как по следствию 3.3.5 неблуждающее множество / д непусто и по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в нем, существует периодическая точка рЕК. По условию I не является периодом р, так что р / р) ф р, в то время как к(р ) = д. Выберем А N так, что / (р) =р. Введем проекцию тг К"—>Т". Если 7г(а)=р, к Ь) — р и 7г(с) = д, то отображения [c.590]

Л-диффеоморфизмы. Говорят, что диффеоморфизм 5 удовлетворяет аксиоме А (или является А-диффеоморфизмом (см. [13]), если его множество неблуждающих точек Q(5) гиперболично и периодические точки S плотны в Q(5). Можно показать, что если S удовлетворяет аксиоме А, то множество I2(5) локально максимально его компоненты топологической транзитивности (т. е. множества Qi в теореме 2.5) называются базисными. [c.135]

Пара слоений 1 и называется локально транзитивной, если для любого >0 сушествует такое Ы, что (е,Л/ )-множество, ассоциированное с любой точкой хбМ, содержит окрестность точки X. РЧ Г-диффеоморфизм называется локально транзитивным, если его пара слоений и 1 локально транзи-тивна. При малом возмущении локально транзитивного РЧГ-диффеоморфизма достаточно высокого класса гладкости получается локально транзитивный РЧГ-диффеоморфизм (см. [c.156]

Для X Щ отображение 5 = а(-, х) R" — имеет максимальный ранг, поскольку Од а = Х ,..Х ). Таким образом, по теореме о неявной функции является локальным диффеоморфизмом. Это показывает, что стабилизатор 5(а ) = i е R" a(t, а ) = а (очевидно, являющийся подгруппой) дискретен, т. е. существует такой 5-щар 5(0, S) с центром в точке OeR , что 5(0, <5)п5(а ) = 0 и, следовательно, B t, <5)n5(a ) = i для каждого t е S xg). Мы хотели бы показать, кроме того, что действие а транзитивно, т. е. что сюръективно. Для этого сначала заметим, что если у ==g t), то g s) = g (t-bs), т. е. 5 R") 5,(R") при 1/е 5 (R"). Теперь зафиксируем и рассмотрим х М . Так как — связное многооб- [c.235]

Заметим, что после сведения к топологически перемешивающему случаю мы использовали только свойство спецификации. Таким образом, мы показали, что для разделяющих отображений со свойством спецификации (определение 18.3.8) топологическая энтропия равна скорости роста числа периодических орбит. Полезно отметить, что, хотя локально максимальные гиперболические множества диффеоморфизмов представляют собой основной пример разделяющих отображений со свойством спецификации, существуют и другие важные классы таких преобразований. Отметим в этой связи транзитивные топологические марковские цепи, а также более общие классы символических систем типа софических систем (см. упражнение 20.1.2). [c.585]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...