Группа диффеоморфизмов однопараметрическа

Таким образом, мы определили отображение фазовой плоскости на себя g R R . По известным теоремам теории обыкновенных дифференциальных уравнений отображение g является диффеоморфизмом (взаимно однозначным и взаимно дифференцируемым отображением). Диффеоморфизмы g, i G R, образуют группу = g ° g - Далее, отображение g тождественное (g M = = М), а отображение g обратно g . Отображение g R X R -> -> R , g (t, М) = дифференцируемо. Все эти свойства вместе выражают короче, говоря, что преобразования g образуют однопараметрическую группу диффеоморфизмов фазовой плоскости. Эту группу называют также фазовым потоком, заданным системой (2) (или уравнением (1)). [c.25]

Система (2) определяет векторное поле фазовой скорости в четырехмерном пространстве, и тем самым ) фазовый поток нашей системы (однопараметрическую группу диффеоморфизмов четырехмерного фазового пространства). Фазовые кривые системы (2) являются подмножествами четырехмерного фазового пространства. Все фазовое пространство разбивается на фазовые кривые. Проекции фазовых кривых из четырехмерного пространства иа плоскость х , х дают траектории нашей движущейся точки на плоскости Ху , х . Эти траектории называют также орбитами. Орбиты могут иметь точки пересечения, тогда как фазовые кривые друг друга не пересекают. Уравнение закона сохранения энергии [c.27]

Каждая однопараметрическая группа диффеоморфизмов конфигурационного пространства, оставляющая неизменной функцию Лагранжа, определяет закон сохранения (т. е. первый интеграл уравнений движения). [c.52]

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

А. Гамильтоновы фазовые потоки сохраняют симплектическую структуру. Пусть (М , (О ) — симплектическое многообразие, Н М К — функция. Предположим, что соответствующее В гамильтоново векторное поле I д,Н задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов Л/ ", [c.177]

Задача. Всякая ли однопараметрическая группа диффеоморфизмов сохраняющих симплектическую структуру, является гамильтоновым-фазовым потоком [c.179]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — некоторая группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов. Пусть М = Т У — кокасательное расслоение многообразия V с обычной симплектической структурой 0 = йа. Функции Гамильтона однопараметрических групп определим как указано выше [c.339]

Теория гладких динамических систем, или дифференциальная динамика. Как показывает название, фазовое пространство в соответствующей теории обладает структурой гладкого многообразия, например является областью или замкнутой поверхностью в евклидовом пространстве (более детальное описание см. в 3 приложения). Эта теория, которая является основной темой данной книги, изучает диффеоморфизмы и потоки (гладкие однопараметрические группы диффеоморфизмов) на таких многообразиях и итерации необратимых дифференцируемых отображений. Мы будем рассматривать главным образом конечномерные ситуации. Интерес к бесконечномерным динамическим системам, который в большой степени стимулирован проблемами гидродинамики, статистической механики и других областей математической физики, непрерывно возрастал в течение последних двух десятилетий и продолжает расти. Несколько направлений бесконечномерной динамики успешно разрабатываются в значительной степени по аналогии с различными направлениями конечномерной динамики. [c.22]

Таким образом, по крайней мере для маленьких значений Ь, преобразование однозначно определяется векторным полем. Для больших 4 следует рассмотреть композицию отображений, определенных в локальных координатах. Если решения существуют для всех вещественных значений 4, векторное поле называется полным. Следует иметь в виду, что если 4 велико, то мы вынуждены работать на многообразии в различных локальных системах координат, но это не порождает особых трудностей. Если многообразие М компактно и не имеет границы, то оно может быть покрыто конечным числом координатных карт. Внутри любой карты решения существуют для некоторого фиксированного интервала времени. Так как каждая точка X еМ принадлежит некоторой не очень маленькой координатной окрестности, отсюда следует, что любое С -гладкое векторное поле на замкнутом компактном многообразии без границы полно и, таким образом, определяет гладкий поток, т. е. однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия М. [c.25]

Формула (1.5) определяет однопараметрическую группу диффеоморфизмов [c.12]

Определение. Однопараметрической группой диффеоморфизмов области и называется такое отображение g прямого произведения Rxi/ в U [c.14]

Теорема. Любая однопараметрическая группа диффеоморфизмов, состоящая нз линейных преобразований g имеет вид = где А У—> У — некоторый линейный оператор (производящий оператор группы). Решение линейного уравнения х=Ах, х У с начальным условием ф(0) = имеет вид [c.24]

В самом деле, пусть за время t течение жидкости осуществило диффеоморфизм gt, а скорость в этот момент времени задается векторным полем v. Тогда диффеоморфизм, осуществляемый течением за время i + т (где т мало) будет с точностью до малых по сравнению с т величин (здесь — это однопараметрическая группа с вектором скорости v, т. е. фазовый поток заданного полем v дифференциального уравнения). [c.296]

Определение. Векторное поле на контактном многообразии называется контактным, если оно является полем скоростей однопараметрической (локальной) группы контактных диффеоморфизмов. [c.326]

A. Пуассоновские действия групп Ли. Рассмотрим симплектическое многообразие (М , о ), и пусть группа Ли G действует на нем как группа симплектических диффеоморфизмов. Каждая однопараметрическая подгруппа группы G действует тогда как локально-гамильтонов фазовый поток на М. Во многих важных случаях эти потоки имеют однозначные функции Гамильтона. [c.338]

Теперь мы предположим, что задано такое симплектическое действие группы Ли С на связном симплектическом многообразии М, что каждому элементу а алгебры Ли группы С соответствует однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов с однозначным гамильтонианом Н . Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так, чтобы зависимость Н от а была линейной. Для этого достаточно как угодно выбрать константы в функциях Гамильтона для каких-нибудь базисных векторов алгебры Ли группы С и затем определить функцию Гамильтона для любого элемента алгебры как линейную комбинацию базисных. [c.338]

Определение 1.1. Классическая динамическая система (М, //, (pt) — это набор, состоящий из гладкого многообразия М, меры // на М с непрерывной положительной плотностью и однопараметрической группы ift диффеоморфизмов многообразия М, сохраняющих меру [c.11]

Основной момент, используемый в доказательстве этого-утверждения, — наличие экспоненциального отображения, то есть возможность проинтегрировать элемент v расширенной алгебры Ли r, i(/) и росток u векторного поля на пространстве параметров (R, 0), построив по ним однопараметрическую деформацию (gt, gt ) пары (единица группы (i), тождественный диффеоморфизм R ) такую что [c.185]

Система (2.1) инвариантна относительно аддитивной группы вещественных чисел К, действие которой L h Lh, h G Ш на фазовом пространстве Z каждому h G Ш ставит в соответствие диффеоморфизм Lh Z Z V 1- LhV = в, (fi + h,. .., (fin + h) для любой точки v G Z. Заметим, что образ L R) = есть однопараметрическая подгруппа полной [c.356]

Пусть М — гладкое многообразие, Т М- М — диффеоморфизм, или Р — однопараметрическая группа сдвигов вдоль траекторий некоторого гладкого векторного поля на М. Рассмотрим какую-то абсолютно непрерывную меру цо и ее сдвиги ц , ц (С) =цо(Г "С) (в случае дискретного времени), Hi( ) =цо(7 С) (в случае непрерывного времени). Может быть так, что при п- оо (соответственно, при t- oo) сдвинутые меры стремятся к пределу ц, не зависящему от выбора начальной меры Цо. Предельная мера ц будет инвариантной, и ее можно признать наиболее существенной инвариантной мерой для рассматриваемой динамической системы. [c.15]

Определение. Нейтральной гиперповерхностью однопараметрической группы контактных диффеоморфизмов называется гиперповерхность, в точках которой вектор скорости принадлежит контактной гиперплоскости ( ( ) = О, где V — вектор скорости, а = О — уравнение контактной гиперплоскости). [c.244]

Введенное понятие однопараметрической группы допускает естественное обобщение на г-параметрические группы преобразований. Пусть имеется множество локальных диффеоморфизмов, определенных в некоторой окрестности V точки б заданных функциями ж" = к х, а ), х = к(жо, а ), к = , К . (2.49) [c.28]

Различные законы сохранения (импульса, момента и т. д.) являются частными случаяьш одной общей теоремы всякой однопараметрической группе диффеоморфизмов конфигурационного многообразия лагранжевой системы, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл уравнений движения. [c.81]

Теорема Нётер. Если система М, Ь) допускает однопараметрическую группу диффеоморфизмов Н М М, 5 е К, к = Е, то соответстеующа.4 Ь система уравнений Лагранжа имеет первый интеграл Г. ГМ- -К. [c.81]

Задача 6. Докажите, что однопараметрическая группа диффеоморфизмов симплектического многообразия тогда и только тогда сохраняет симплектическую структуру, когда она яеляется локально гамильтоновым фазовым потоком. [c.191]

Определение. Пусть Г" — тг-мерный тор, ф = (ф ,. . ., ф ) modd 2п — угловые координаты. Тогда условно-периодическим движением называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов Г" заданная дифференциальными уравнениями (рис. 221) [c.251]

Гамильтонова, или симплектическая, динамика. Эта теория — естественное обобщение анализа дифференциальных уравнений классической механики. Фазовое пространство в этом случае представляет собой четномерное гладкое многообразие с замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой П. Однопараметрические группы диффеоморфизмов, сохраняющих форму Q, соответствуют дифференциальным уравнениям классической механики в гамильтоновой форме. Сохраняющий форму П диффеоморфизм обобщает понятие канонического преобразования. Мы впервые встретимся с такими системами в 1.5 и рассмотрим эту тему более систематически в 5.5. [c.23]

Напомним, что в канонических локальных координатах (р, я) на М форма принимает вид dp/ dq, а поле sgгadД = ->=(—5Я/( д, с)Я/йр). Уравнения Гамильтона х — sgrad// порождают однопараметрическую группу диффеоморфизмов много-обрагия М (сохраняющих симплектическую структуру ю)—фазовый поток +. [c.151]

Теорема Нётер. Пусть М, Ь)—лагранжева система и V — гладкое поле на М. С полем V связана однопараметрическая группа диффеоморфизмов М- М, определяемая дифференциальным уравнением [c.91]

Диффеоморфизм М —> М называется каноническим, если он сохраняет скобку Пуассона / о <р ( ) = /> 5 (<р( ))-Канонические диффеоморфизмы симплекти чес кого многообразия М,и) образуют, конечно, группу ). Фазовый поток любой гамильтоновой системы на М является однопараметрической подгруппой группы канонических диффеоморфизмов М. [c.20]

Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием ( фазовым пространством ), симплектической структурой на нем ( интегральным инвариантом Пуанкаре ) и функцией на нем ( функцией Гамильтона ). Каждая однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения. [c.142]

Задача 7. Докажите, что в симплектическом пространстве всякая однопараметрическая группа канонических (сохраняющих dp Д йд) диффеоморфизмов всегда яеляется гамильтоновым потоком. [c.191]

Определение. Симплектизация контактного векторного поля определяется следующей конструкцией. Рассматриваем поле как поле скоростей однопараметрической группы контактных диффеоморфизмов. Симплектизируем диффеоморфизмы. Получаем однопараметрическую группу симплектических диффеоморфизмов. Рассматриваем поле скоростей этой группы. Оно и называется симплектизацией исходного контактного поля. [c.327]

Доказательство теоремы. Теорема утверждает, что функция Гамильтона На однопараметрической группы Л при диффеоморфизме я переходит в функцию Гамильтона однопараметрической группы ghfg . [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...