А-диффеоморфизм сдвиг

Замечание. Доказательство теоремы не просто. Кроме того, справедлива формулируемая ниже неожиданная теорема о жесткости . Росток гладкого диффеоморфизма прямой в неподвижной точке X - х+ах +..., а О, представим в виде сдвига за единичное время по фазовым кривым гладкого однозначно определенного векторного поля v, называемого порождающим v x) =ах +. .. [c.44]

Вместо семейств диффеоморфизмов в этом параграфе рассматриваются семейства векторных полей, сдвиги по траекториям которых за единичное время приближают исходные семейства диффеоморфизмов. [c.55]

Хотя эти упрощенные семейства сдвигов не эквивалентны исходным семействам диффеоморфизмов, тем не менее они обладают многими свойствами, присущими исходным семействам. [c.55]

Другими словами, росток диффеоморфизма в неподвижной точке является ростком преобразования фазового потока за время 1 единственного С -гладкого векторного поля. Оба возникающие вблизи неподвижных точек поля разносятся диффеоморфизмом на весь интервал между особыми точками. Фактор-пространство этого интервала по действию диффеоморфизма диффеоморфно окружности. На этой окружности возникают два векторных поля без особых точек, для которых окружность — цикл с периодом 1. Поэтому на окружности возникают две карты, определенные однозначно с точностью до сдвига времена движения, соответствующие каждому из полей. Функция пе- [c.75]

Сдвиги в образе и в прообразе переводят этот диффеоморфизм в следующий [c.76]

Можно ввести понятие трансверсальности критических точек функций как частный случай трансверсальности неподвижных точек отображений. А именно, пусть / М—>К является -функцией. Тогда отображение сдвига за единичное время градиентного потока является С -диффеоморфизмом относительно любой римановой метрики и его неподвижные точки — это в точности критические точки /. Таким образом, мы называем критическую точку р функции / невырожденной, если она является трансверсальной неподвижной точкой отображения сдвига за единичное время градиентного потока /. Чтобы показать, что это определение корректно, мы должны доказать, что оно не зависит от выбора римановой метрики для построения градиентного потока. Для этого выберем ортонормированный базис в пространстве и локальные координаты в окрестности точки р так, [c.297]

Следствие. Если р — гиперболическая неподвижная точка диффеоморфизма / М М, обладающая трансверсальной гомоклинической точкой, то для любой окрестности II(р) и любого натурального. в найдутся такие к и подмножество Л- С и(р), инвариантное относительно что ограничение / Л топологически сопряжено гомеоморфизму сдвига в пространстве з-ичных последовательностей. [Для, 5 = 1 это утверждение тривиально). [c.71]

Пусть М — гладкое многообразие, Т М- М — диффеоморфизм, или Р — однопараметрическая группа сдвигов вдоль траекторий некоторого гладкого векторного поля на М. Рассмотрим какую-то абсолютно непрерывную меру цо и ее сдвиги ц , ц (С) =цо(Г "С) (в случае дискретного времени), Hi( ) =цо(7 С) (в случае непрерывного времени). Может быть так, что при п- оо (соответственно, при t- oo) сдвинутые меры стремятся к пределу ц, не зависящему от выбора начальной меры Цо. Предельная мера ц будет инвариантной, и ее можно признать наиболее существенной инвариантной мерой для рассматриваемой динамической системы. [c.15]

Проективная структура слоёв лежандрова расслоения имеет даже большее геометрическое содержание, так как любое отображение лежандровых расслоений (сохраняющее контактную структуру и слои) автоматически индуцирует единственное проективное отображение слоёв (определённое действием диффеоморфизма баз на контактных элементах к базам). В симплектическом случае аффинные отображения слоёв определены только с точностью до сдвигов. [c.63]

Упомянутый выше диффеоморфизм отправляет 1-струи функции времени в точках любого фиксированного луча (т. е. в точках фиксированной геодезической на М) в многочлены (+), получающиеся друг из друга сдвигом вдоль оси х. [c.248]

Таким образом, в качестве упрощенной модели двупараметрического семейства диффеоморфизмов вблизи резонанса е , in 2npfq, мы рассматриваем семейство сдвигов за единичное время вдоль траекторий Z, — эквивариантных векторных полей. Нормальные формы семейств таких полей описаны в п.п. 3.3 и [c.55]

Аналогично, отбрасывая плоский добавок, деформацию ростка диффеоморфизма в остальных случаях сильного резонанса можно превратить в деформацию сдвига по фазовым кривым векторного поля так, что сдвиг и деформация будут эквивалентны относительно конечной группы движений. Для пары мультипликаторов 1 и —1 это будет группа Ss, порожденная симметрией (х, г) I- (х, —г) для пары ехр 2nip q) это будет группа Z порожденная поворотом на 2n q. [c.56]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

При еег диффеоморфизму соответствует функциональный инвариант — класс эквивалентных диффеоморфизмов окружности на себя. А именно, росток диффеоморфизма ft в каждой из двух его полуустойчивых неподвижных точек порождается ростком векторного поля росток диффеоморфизма является сдвигом за единичное время по фазовым кривым поля. Росток каждого из порождающих полей однозначно определен диффеоморфизмом /е- Оба поля разносятся с помощью ft на весь интервал между неподвижными точками диффеоморфизма, п на всём этом интервале порождают fe. Тем самым, построены два векторных поля на интервале, перестановочные с диффеоморфизмом интервала на себя без неподвижных точек. Такая пара полей порождает диффеоморфизм окружности на себя, определенный с точностью до сдвига в образе и в прообразе, как это описано в п. 5.8. Два диффеоморфизма окружности эквивалентны, если они имеют вид причем ф(<- -а) =ij5( )+fe для некоторых а и Ь. Семейство таких классов эквивалентных диффеоморфизмов окружности, построенных для отображений при ебГ, и образует функциональный инвариант деформации /e ee(R3, 0) . [c.78]

Группа Ли действует на себе левыми и правыми сдвигами для каждого элемента g группы G онределены диффеоморфизмы [c.284]

Построение такого диффеоморфизма тора использует свойство вращения граничных окружностей в разные стороны. На каждом соединительном кольце все точки сдвигаются в ту же сторону, что и на обеих окружностях, ограничивающих соединительное кольцо. Поскольку направления сдвига на обоих соединительных кольцах противоположны, величину сдвт а можно подобрать так, чтобы обеспечить сохранение центра тяжести. [c.387]

Данные заметки состоят из четырех разделов. Сначала мы изучим статистические свойства гиббсовских мер. Эти меры на пространстве последовательностей возникают в современной статистической механике оии интересуют нас постольку, поскольку являются решением задачи о восстаиов-ленни инвариантной меры, если она в некотором смысле приближенно известна. Гиббсовские меры удовлетворяют также вариационному принципу, нажность которого определяется тем, что он применим в более общих пространствах, чем пространство последовательностей. Исходя нз этого принципа мы строим термодинамический формализм на компактных простраиствах, чему посвящен второй раздел. В третьем вводятся диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, и для них строится символическая динамика, т. е. выясняется, как они связаны со сдвигом на пространстве последовательностей. В последнем разделе с помощью символической динамики изучается эргодическая теория диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме Л. [c.10]

Таким образом, рассматривая множество Ас А, мы видим, что замечания из п. 2.5 в, вплоть до следствия 2.5.1, могут быть применены практически дословно к нашему множеству Л. В частности, кодирование динамики на Л получается путем топологического сопряжения с полным 2-сдвигом а . Так как каждый прямоугольник, являющийся подковой для /, является также подковой для любого диффеоморфизма /, достаточно близкого к / в С-то-пологии, мы получаем следующий полулокальный результат о структурной устойчивости. [c.280]

В этом параграфе мы рассматриваем группы, снабженные топологией, инвариантной относительно групповых операций. Топологическая группа — это группа с такой топологией, что все левые сдвиги g - ддд, правые сдвиги д -> дд к отображение 31- д являются гомеоморфизмами. Хорошо известные элементарные примеры — это К" с операцией сложения, окружность и тор. В этих случаях групповые операции, очевидно, являются диффеоморфизмами. Другие важные примеры включают группы матриц относительно умножения, напрнмер ОЦп, ), 5Ь(п,К) и другие группы, описанные после определения П 3.1. Топологическая группа называется локально компактной, если любая точка (или, что эквивалентно, единичный элемент) имеет окрестность, замыкание которой компактно. На такой группе имеется единственная с точностью до скалярного множителя локально конечная борелевская мера, инвариантная относительно правых сдвигов, которая называется правой (илн правоинвариантной) 1 мерой Хаара. Аналогичным образом, левая (илн левоинвариантная мера Хаара — это единственная с точностью до скалярного множителя борелевская мера, инвариантная относительно всех левых сдвигов. Эти меры конечны тогда и только тогда, когда группа компактна. Наиболее интересны и важны для нас ситуации, когда правоинвариантная мера Хаара является также и левоинварнантной. Это имеет место для всех коммутативных групп, компактных групп и, что особенно важно, для унимодулярных линейных групп, т. е. замкнутых подгрупп группы ЗЦп, К) всех (п х п)-матрнц с определителем единица. Группы, для которых левая и правая меры Хаара совпадают (и естественно называются просто мерой Хама), называются унимодулярными, и мы будем обсуждать только такие группы. [c.719]

На пространстве проектирований действуют различные группы диффеоморфизмов пространства расслоения, индуцирующие различные преобразования базы С тождественное, сдвиг, произвольный диффеоморфизм. Если проектируемое многообразие У гладкое, то эти группы осуществляют соот-ветствейно 52-, 52+- ([20]) и я -эквивалён нбс Тй сквознйх отображений У->-С на базу проекции. Поэтому мы так же будем именовать и соответствующие эквивалентности проектирований произвольных полных пересечений. [c.57]

Пусть шз = О (предположе-иис 1 тг > О ПС вносит ничего принципиально нового). Тогда рг и р2 описывают в ХОУ симметричные кеплеровские орбиты около О, которые в случае к < О будут эллипсами. В момент, когда рз проходит через О, состояние системы определяется скоростью этого тела и фазой г (истинной или средней аномалией) эллиптического движения тел рх и р2- Примем (г , г) за полярные координаты в некоторой плоскости Ф (ввиду симметрии относительно ХОУ знаком V можно пренебречь). Сдвиг вдоль траектории в фазовом пространстве от одного попадания рз в О к следующему определяет локальный диффеоморфизм 3 Д+ К С Ф. Оказывается, что можно указать такое открытое множество Г С Ф, что максимальное инвариантное множество А, содержащееся в Г, является марковским и допускает описание в терминах символической динамики. [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...