Диффеоморфизм контактный

Определение. Диффеоморфизм контактного многообразия ва себя называется контактным, если он сохраняет контактную структуру, т. е. переводит каждую плоскость задающего структуру поля гиперплоскостей в плоскость того же поля. [c.325]

Определение. Образом контактной формы р с точкой контакта х под действием контактного диффеоморфизма / контактного многообразия на себя называется форма [c.326]

Форма f p контактная, ибо диффеоморфизм / контактный. [c.326]

Поэтому сформулированная выше теорема для всех случаев, кроме случая вырождения контактной структуры, вытекает из соответствующих результатов теории неявных уравнений. При этом нормализующий диффеоморфизм приводит к нормальной форме не только интегральные кривые следов поля контакт- [c.180]

Вырождение контактной структуры. В этом случае можно рассуждать так. Складывание определяет инволюцию медленной поверхности, переставляющую обе точки одного слоя. В окрестности точки складки медленная поверхность приводится к нормальной форме у=х расслоенным диффеоморфизмом у—медленная, х — быстрая переменная). Будем пользоваться на медленной поверхности локальными координатами (х, г), где Z — вторая медленная переменная. Тогда указанная выше инволюция запишется в виде х, z) (—х, г). [c.181]

Е. Контактные диффеоморфизмы в векторные поля. [c.325]

Теорема. Геодезический поток ориентированных контактных элементов состоит из контактных диффеоморфизмов. [c.326]

Определение. Векторное поле на контактном многообразии называется контактным, если оно является полем скоростей однопараметрической (локальной) группы контактных диффеоморфизмов. [c.326]

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из того, что каноническая 1-форма, симплектическая 2-форма и действие группы вещественных чисел определены самой контактной структурой (при их построении не использовались координаты или иные неинвариантные средства), а диффеоморфизм / сохраняет контактную структуру. Из этого следует, что / переводит в себя все то, что инвариантно построено по контактной структуре, в частности 1-форму а, ее производную йа и действие группы, ч. т. д. [c.327]

Теорема. Все контактные многообразия одинаковой размерности локально контактно диффеоморфны (т. е. существует диффеоморфизм достаточно малой окрестности любой точки одного контактного многообразия на окрестность любой точки другого, переводящий отмеченную точку первой окрестности в отмеченную точку второй и поле плоскостей в первой окрестности в поле плоскостей второй). [c.328]

Теорема. Диффеоморфизм одного контактного многообразия на другое, переводящий контактные плоскости в контактные, переводит каждое лежандрово многообразие в лежандрово. [c.332]

Эквивалентностью лежандровых расслоений называется диффеоморфизм пространств расслоений, переводящий контактную структуру и слои первого расслоения в контактную структуру и слои второго. Можно доказать, что всякое лежандрово расслоение эквивалентно только что описанному специальному в окрестности каждой точки пространства расслоения. [c.333]

М и покажем, что сильно неустойчивое многообразие W (p) плотно в М для каждой периодической точки р потока р . Аналогично тому, как это имеет место для диффеоморфизмов, из этого факта следует топологическое перемешивание. Пусть dim M = 2m -1. Контактная форма 9 индуцирует инвариантную гладкую меру, соответствующую элементу объема в так что по теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 NW(ip ) = M. Таким образом, топологическая транзитивность следует из связности и наличия спектрального разложения. Достаточно показать, что множество W (p) плотно в окрестности U точки р, потому что тогда классы эквивалентности, определенные пересечениями многообразий, открыты, так что на самом деле есть только один такой класс и W (p) плотно. [c.577]

Определение. Два ростка / и g- из с/ называются контактно или Ж-эквивалентны.ма, если существуют росток h диффеоморфизма пространства (С", 0) и росток М в ОбС" невырожденной X р-матрицы, такие что f — [c.24]

Теория особенностей проектирований подмногообразий располагает, на первый взгляд, меньшим запасом отображений, нежели общая теория отображений. Да и отношение эквивалентности более жесткое два проектирования многообразий из пространств расслоений на базы считаются эквивалентными, если одно переходит в другое при диффеоморфизме пространства первого расслоения в пространство второго,- -переводящем слои первого расслоения в слои второго. На уровне ростков это соответствует подгруппе контактной группы, сохраняющей выделенные параметры (см. [22, п. 3.2.4]). [c.42]

Теорема 2. Предположим, что ростки ограничений на подмногообразие двух контактных структур объемлющего пространства совпадают. Тогда существует локальный диффеоморфизм объемлющего пространства, неподвижный на подмногообразии, отправляющий первую структуру во вторую. [c.62]

Таким образом мы сконструировали отображение из пространства лежандрова расслоения в пространство контактных элементов к базе. Это отображение является (локальным) диффеоморфизмом, так как невырожденность контактной структуры влечёт тот факт, что проекция гиперплоскости, задающей контактную структуру, вращается с ненулевой скоростью, когда точка пространства расслоения движется с ненулевой скоростью вдоль слоя. [c.63]

Проективная структура слоёв лежандрова расслоения имеет даже большее геометрическое содержание, так как любое отображение лежандровых расслоений (сохраняющее контактную структуру и слои) автоматически индуцирует единственное проективное отображение слоёв (определённое действием диффеоморфизма баз на контактных элементах к базам). В симплектическом случае аффинные отображения слоёв определены только с точностью до сдвигов. [c.63]

Определение. Нейтральной гиперповерхностью однопараметрической группы контактных диффеоморфизмов называется гиперповерхность, в точках которой вектор скорости принадлежит контактной гиперплоскости ( ( ) = О, где V — вектор скорости, а = О — уравнение контактной гиперплоскости). [c.244]

Рассмотрим лежандровы проекции лежандровых поверхностей с полукубическими рёбрами возврата. Само ребро является гладкой интегральной кривой распределения контактных плоскостей. Типичная интегральная кривая контактной структуры нигде не вертикальна. Следовательно, её проекция является гладкой кривой, которая локально может быть преобразована в прямую диффеоморфизмом базового 3-пространства. Объемлющее контактное многообразие и его лежандрово проектирование могут быть отождествлены с расслоением контактных элементов базы. Элементы, соответствующие ребру возврата, могут быть сделаны параллельными при помощи нового диффеоморфизма, сохраняющего описанную выше прямую. [c.257]

Приведение осуществляется выбором подходящих гладких координат (х,у) в пространстве-времени и диффеоморфизмом FT R + , сохраняющим контактную структуру, световую гиперповерхность и уже имеющуюся в нашем распоряжении нормальную форму лежандрова подмногообразия L . [c.314]

Ж. Сииплектизация контактных диффеоморфизмов и полей. По каждому контактному диффеоморфизму контактного многообразия каноническим образом строится симплектический диффеоморфизм его симплектизации. [c.326]

Доказательство. Всякий диффеоморфизм, коммутирующий с действием мультипликативной группы, проектируется в некоторый диффеоморфизм контактного многообразия. Чтобы доказать, что этот диф омор-физм контактный, достаточно доказать второе утверждение теоремы (так как в контактную плоскость проектируются те и только те векторы , для которых а (I) = 0). [c.327]

Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Рассмотрим точку, где наше поле плоскостей невырождено (задает контактную структуру) . Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Значит, расслоение ле-жандрово (состоит из интегральных многообразий максимальной размерности). Все лежандровы расслоения в контактном пространстве фиксированной размерности локально контактно-морфны (переводятся друг в друга вместе с контактной структурой диффеоморфизмом в окрестности каждой точки пространства расслоения). Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным (над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой. [c.179]

Теорема. Определенное выше отображение /1 симплектизации контактного многообразия в себя является симплектическим диффеоморфизмом, коммутирующим с действием мультипликативной группы вещественных чисел и сохраняющим каноническую -форму на симплектизации. [c.327]

Теорема. Всякий симплектический диффеоморфизм симплектизации контактного многообразия, коммутирующий с действием мультипликативной группы 1) проектируется на исходное контактное многообразие в виде контактного диффеоморфизма [c.327]

Определение. Симплектизация контактного векторного поля определяется следующей конструкцией. Рассматриваем поле как поле скоростей однопараметрической группы контактных диффеоморфизмов. Симплектизируем диффеоморфизмы. Получаем однопараметрическую группу симплектических диффеоморфизмов. Рассматриваем поле скоростей этой группы. Оно и называется симплектизацией исходного контактного поля. [c.327]

Определение 5.6.2. 1-форма в на (2п — 1)-мерном ориентируемом многообразии М называется контактной формой, если (2п — 1)-форма 9 A(de)" невырождена. Соответственно, пара (М, в), состоящая из гладкого многообразия и контактной формы, называется контактным многообразием. Под контактным потоком понимают поток на М, сохраняющий контактную форму на М. Диффеоморфизм, сохраняющий контактчую форму, называется контактным диффеоморфизмом. [c.238]

Предположим теперь, что X — векторное поле, порождающее поток, сохраняющий контактную форму 9. Тогда этот поток должен сохранять и kerd0" и, следовательно, должен коммутировать с характеристическим потоком формы в. Таким образом, контактные потоки всегда возникают как потоки, коммутируюоще с характеристическим потоком контактной формы. То же остается в силе для контактных диффеоморфизмов. [c.238]

Начало классификации. Естественно считать росткн полных пересечений эквивалентными, если они перетодятся друг в друга диффеоморфизмом объемлющего пространства. Это равносильно контактной эквивалентности задающих их отображений [c.24]

Будем считать, что V — росток многообразия нулей некоторого отображения. Тогда эквивалентность проектирований с точностью до расслоенных над базой диффеоморфизмов пространства расслоения — это расслоенная контактная эквива лентность соответствующих отображений. Поэтому если нас интересуют проектирования конечной коразмерности в функциональном пространстве, то максимальное вырождение, которое может иметь проектируемое подмногообразие, — это изолированная особенность полного пересечения, а У° должно иметь вырождение конечной Х-коразмервости....... [c.51]

Эта теорема Мельроза не может быть применена в контактном 3-пространстве, так как условия 1-3 в этом случае противоречивы. Линия пересечения типичной пары поверхностей в контактном 3-пространстве касается характеристик в изолированных точках, и для пары общего положения порядок касания равен 1, но зта линия не трансверсальна контактным плоскостям в этих точках. Вблизи таких точек пара приводима (формальным или С°° диффеоморфизмом) к нормальной форме (в координатах Дарбу) [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...