А-диффеоморфизм траектории

Обозначим через у(ф) векторное поле, порождающее поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом ф. Обозначим через R множество дуг фе в пространстве диффеоморфизмов, таких что у(фь)6б1, у(фе) трансверсально пересекает B в точке (фб) г (фь) удовлетворяет условиям типичности, главное из которых состоит в следующем. Неблуждающее множество у(фг,) состоит из конечного множества циклов, причем если один из них ме гиперболический, то его устойчивые и неустойчивые множества и многообразия трансверсально пересекаются между собой и с многообразиями других циклов, а если все циклы гиперболичны, то их многообразия трансверсально пересекаются по всем траекториям, за исключением одной. [c.125]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

Периодическая точка диффеоморфизма — это такая точка, траектория которой конечна эта траектория называется циклом, а число точек цикла — его периодом. [c.46]

Существование систем Морса—Смейла с заданными топологическими свойствами порождающего диффеоморфизма или векторного поля, а также с заданными свойствами периодических траекторий. [c.199]

Приведем простое объяснение того, в каком смысле при появлении гомоклинической точки возникают стохастические траектории . Ограничимся случаем С -диффеоморфизма двумерного цилиндра М, имеющего неподвижную гиперболическую точку ( . Обозначим отрезки неустойчивой и устойчивой сепаратрис этой точки через и и предположим, что один их общий конец есть точка а другой — трансверсальная гомо-клиническая точка Ло (см. рис. 3). Точка 5 (Ло)=Л 1 также, очевидно, является гомоклинической. Геометрически ясно, что между А-1 и Ло должна быть по крайней мере еще одна гомо-клиническая точка, которую мы обозначим через Во- Окружим Во и Ло достаточно малыми окрестностями и и и" и бу- [c.134]

Иден а траекторий, вероятно, приходила в голову многим. Предложение 3.6 в явном виде доказано в [61, хотя более ранние аналогичные утверждения содержатся в [4], а У-диффеочорфизмов — в [2], Синай 112] в явном виде сформулировал 3.6 для У-диффеоморфизмов. Следствие 3.7 имеется в [2] длн У-диффеоморфизмов и в [3] для диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А, Как видно из названия, 3.8 доказал Аносов. Результаты 3.9 к ЗЛО заимствованы из (7] к [151, в доказательствах мы следовали работе [6]. [c.74]

Теорема 5.3 (об е-траекторнях). Пусть А —гипербо.тче-ское множество диффеоморфизма [ М— М. Существует такая окрестность Л, что для любого б > О найдется такое е > 0. что любой г-траектории а с и соответствует траек-тория х , для которой Хп. 1"х) < б. [c.212]

Затем, в главе 6, мы получили частичные результаты общего характера, например предложение 6.4.6, утверждающее, что для возмущения / диффеоморфизма / с гиперболическим множеством А существует такая окрестность и множества Л, что любое / -инвариантное подмножество и гиперболично для /. Тогда, однако, не было ясно, существует ля вообще какое-нибудь инвариантное нетривиальное множество в этой окрестности. Теорема о семействах е-траекторий, доказанная в предыдущем параграфе, позволяет доказать существование такого / -инвариантного множества, го-меоморфного А. В то же время опадает топологическое сопряжение. Таким образом, мы получаем структурную устойчивость, более того, даже сильную структурную устойчивость (определение 2.3.4). [c.572]

Для положения равновесия х индекс Кронекера (L. Кгопе-скег)—Пуанкаре равен вращению поля фазовой скорости на малой сфере, охватывающей х (с помощью локальных координат поле и сфера переносятся в R ). В топологии в этом случае говорят об индексе нуля векторного поля. Индекс ind (а, f) изо-,. лированной неподвижной точки а непрерывного отображения -f -.(необязательно гладкого) равен, в терминах локальных координат, индексу соответствующего нуля поля смещения f(x)—x. (Топологи часто берут индекс для поля х—f(x) тогда пропадает множитель (—1)" в формуле Лефшеца см. в) ниже). Индекс периодической (с периодом I) точки а отображения f равен ind(a,f ). Оказывается, что все точки f a имеют такой же Индекс, так что его можно приписать соответствующей периодической траектории. (Это очевидно, если f в точках этой траектории является локальным диффеоморфизмом. В общем случае можно использовать аппроксимационные соображения, сочетая [c.182]

Можно считать, что разложение на ручки связано с градиентным потоком ((17) гл. 1) или с аппроксимирующим его потоком М.—С. С системой М.—С., не имеющей замкнутых траекторий ( в том числе с любым каскадом М.—С.), можно связать аналогичное разложение й а рзгчяси. В случае потока поле фазовой скорости иа дMt по-прежнему направлено строго внутрь а в случае каскада этому соответствует то, что gM лежит строго внутри Ми ПЬСЛеднее свойство выражают словами ДС (или диффеоморфизм) сохраняет фильтрацию (2), или [c.196]

Пусть шз = О (предположе-иис 1 тг > О ПС вносит ничего принципиально нового). Тогда рг и р2 описывают в ХОУ симметричные кеплеровские орбиты около О, которые в случае к < О будут эллипсами. В момент, когда рз проходит через О, состояние системы определяется скоростью этого тела и фазой г (истинной или средней аномалией) эллиптического движения тел рх и р2- Примем (г , г) за полярные координаты в некоторой плоскости Ф (ввиду симметрии относительно ХОУ знаком V можно пренебречь). Сдвиг вдоль траектории в фазовом пространстве от одного попадания рз в О к следующему определяет локальный диффеоморфизм 3 Д+ К С Ф. Оказывается, что можно указать такое открытое множество Г С Ф, что максимальное инвариантное множество А, содержащееся в Г, является марковским и допускает описание в терминах символической динамики. [c.152]

Определение 2.1. Динамическая система называется системой Аносова (ссютветственно говорят о диффеоморфизмах Аносова и потоках Аносова), если каждая ее траектория является равномерно полно гиперболической, а постоянные С и Л можно выбрать одинаковыми для всех точек . [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...